خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


دایرۀ واحد (Unit Circle)

دایرۀ واحد (Unit Circle)
نویسنده : امیر انصاری
یکی از روش هایی که ریاضیدانان در ابتدا توابع مثلثاتی را تعریف کردند با استفاده از نسبتهای شکل گرفته از روی اندازۀ اضلاع مثلث های قائم الزاویه بود (فصل 7 را ببینید). مثلث های قائم الزاویه و اندازۀ اضلاع آنها برای ایجاد این نسبتها، راحت و آسان می باشند. این حقیقت به سمت نوعی از توسعۀ طبیعی توابع مثلثاتی هدایت می کند، و اثبات شده است که مفیدترین است، زیرا مهندسان، اخترشناسان، و ریاضیدانان را قادر می سازد تا محاسبات دقیقی را بر روی ارتفاع اشیاء بلند، نواحی دارای وسعت زیاد، و پیش بینی خورشید گرفتگی ها و ماه گرفتگی ها و سایر پدیده های نجومی، انجام بدهند. اما مسلماً آنها نمی توانستند در اینجا متوقف شوند. دنیای مثلثات و کاربردهای آن، هنگامیکه آنها توابع مثلثاتی و ویژگیهای آنها را به زوایایی در هر اندازه ـــ مثبت و منفی ـــ و نه فقط محدود به زوایای مثلث های قائم الزاویه، بسط دادند، حتی بیش از این گسترش یافته است. این توسعه های زوایا آن ها را قادر ساخت تا مناطقی از مثلثهایی شامل زوایای منفرجه (obtuse angles) را محاسبه کنند و هدایت با نقشه های ناوبری را صورت دهند. بهترین مکان برای توصیف این مقادیر توابع جدید و مقایسۀ آنها با مقادیر قبلی اینست که با پایه ای ترین دایره ـــ دایرۀ واحد ـــ کار را آغاز کنیم.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



آشنایی با دایرۀ واحد (Unit Circle)


دایرۀ واحد، دایره ای است که مرکز آن در مبدأ صفحۀ مختصات قرار دارد و شعاع آن \(1\) واحد می باشد. هر دایره ای که مرکز آن در مبدأ مختصات باشد دارای معادلۀ \(x^2+y^2=r^2\) می باشد، که در آن \(r\) شعاع دایره می باشد. در مورد دایرۀ واحد، این معادله \(x^2+y^2=1\) می باشد. این معادله نشان می دهد که نقاطی که بر روی محیط دایرۀ واحد قرار گرفته اند باید مختصات هایی داشته باشند که، وقتی آنها را مربع می سازید و با یکدیگر جمع می زنید، حاصلشان برابر با \(1\) شود. مختصات های نقاطی که بر روی محیط دایرۀ واحد و همچنین بر روی محورها قرار گرفته اند، عبارت از \((1,0)\)، \((-1,0)\)، \((0,1)\)، و \((0,-1)\) می باشند. این چهار نقطه تقاطع ها (intercepts) نامیده می شوند و در شکل 1-8 نشان داده شده اند.

دایرۀ واحد (Unit Circle)

قرار دادن نقاط بر روی محیط دایرۀ واحد


سایر نقاط قرار گرفته بر روی محیط دایرۀ واحد به زیبایی و شسته و رفته بودن آنهای که در شکل 1-8 دیدید، نمی باشند. همگی آنها دارای کسرها یا رادیکال ها ـــ یا هر دوی اینها ـــ هستند. به عنوان مثال، نقطۀ \(\biggl( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)\) بر روی محیط دایرۀ واحد قرار گرفته است. ببینید چگونه این مختصات ها در معادلۀ دایرۀ واحد کار می کنند:
$$\bigl( \frac{1}{2} \bigr)^2 + \bigl( \frac{\sqrt{3}}{2} \bigr)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4}=1$$
هنگامیکه هر مختصات را مربع می سازید و آن مقادیر را با یکدیگر جمع می زنید، به \(1\) می رسید.

هر ترکیبی از این دو مختصات، خواه اینکه مختصات ها مثبت یا منفی باشند، نقطۀ متفاوتی بر روی محیط دایرۀ واحد به شما می دهند. آنها همگی درست کار می کنند، چرا که خواه عددی مثبت یا منفی باشد، مربع آن همان عدد مثبت خواهد شد. در اینجا چندین ترکیب از این دو مختصات داریم که معادلۀ دایرۀ واحد را برآورده می سازند:
$$
\begin{array}{c c c}
\biggl( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr) & \biggl( -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr) & \biggl( \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} \biggr) \\
\biggl( -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} \biggr) & \biggl( -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \biggr) &
\end{array}
$$
جفت دیگری از مختصات ها که بر روی محیط دایرۀ واحد قرار می گیرند عبارت از \(\biggl( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \biggr)\) می باشد، زیرا مجموع مربع آنها برابر با \(1\) می باشد:
$$\biggl( \frac{\sqrt{2}}{2} \biggr)^2 + \biggl( \frac{\sqrt{2}}{2} \biggr)^2 = \frac{2}{4}+\frac{2}{4} = \frac{4}{4}=1$$
اعدادی که به صورت مداوم در مختصات نقاط قرار گرفته بر روی محیط دایرۀ واحد ظاهر می شوند، عبارت از \(0\)، \(\frac{1}{2}\)، \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)، \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)، \(1\) می باشند. اگر فصل 7 را خوانده باشید، این اعداد باید برایتان آشنا به نظر برسند ـــ اینها مقادیر سینوس و کسینوس رایج ترین زوایای حاده می باشند. شکل 2-8 موقعیت این نقاط را بر روی دایرۀ واحد نشان می دهد.

دایرۀ واحد (Unit Circle)
نقاط روی دایرۀ واحد که در شکل 2-8 نشان داده شده اند به وفور در مثلثات و سایر کاربردهای ریاضی مورد استفاده قرار می گیرند، اما آنها تنها نقاط موجود بر روی آن دایره نیستند. هر دایره ای دارای بی نهایت نقطه با انواع مختصات های جذاب می باشد ـــ حتی جذاب تر از چیزهایی که نشان داده شده اند. اگر به دنبال مختصات چندین نقطۀ دیگر بر روی دایرۀ واحد می باشید، می توانید چندین عدد بین \(-1\) و \(1\) را به عنوان مقادیر \(x\) و \(y\) انتخاب کنید و سپس معادله را برای بدست آوردن عدد دیگر حل کنید. من این روش برای یافتن بخش دیگر یک مختصات را در بخش بعدی تشریح خواهم کرد. تمامی این مختصات های دیگر زمانی وارد صحنه می شوند که شما یک نیمخط را ترسیم کنید که از مرکز دایرۀ واحد آغاز شده باشد و بخواهید توابع مثلثاتی زاویۀ تشکیل شده توسط این نیمخط و محور \(x\) مثبت را بیابید.

یافتن یک مختصات مجهول


اگر مقدار یکی از مختصات های یک نقطه بر روی دایرۀ واحد را داشته باشید و نیاز به یافتن مختصات دیگر داشته باشید، می توانید مقدار معلوم را در معادلۀ دایرۀ واحد جایگزین کنید و آن را برای بدست آوردن مقدار مجهول حل کنید.

شما می توانید هر عددی بین \(1\) و \(-1\) را انتخاب کنید، زیرا این مسافتی است که دایرۀ واحد در امتداد محور \(x\) و \(y\) گسترش یافته است. به عنوان مثال، فرض کنید \(\frac{2}{5}\) مختصات \(x\) یک نقطه بر روی دایرۀ واحد باشد. شما می توانید مختصات \(y\) را اینگونه بیابید:

  1. مقدار مختصات \(x\) را در معادلۀ دایرۀ واحد جایگذاری کنید. $$\biggl( \frac{2}{5} \biggr)^2 + y^2 = 1$$
  2. مختصات \(x\) را مربع سازید و آن را از هر دو سمت معادله تفریق کنید. $$
    \frac{4}{25} + y^2 = 1 \\
    y^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}
    $$
  3. جذر هر سمت را بدست آورید. $$
    \sqrt{y^2} = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} \\
    y = \pm \frac{\sqrt{21}}{5}
    $$
توجه داشته باشید که مختصات \(y\) می تواند دو مقدار داشته باشد، زیرا دایرۀ واحد به ازاء هر مختصات \(x\) خاص (و به ازاء هر مختصات \(y\)) دارای دو نقطۀ متفاوت می باشد. شکل 3-8 را ببینید.

دایرۀ واحد (Unit Circle)
مثالی دیگر: مختصات (یا مختصات های) \(x\) را در صورتیکه مختصات \(y\) برابر با \(-\frac{7}{25}\) باشد، بیابید.

  1. مقدار مختصات \(y\) را در معادلۀ دایرۀ واحد جایگذاری کنید. $$x^2+\biggl( \frac{7}{25} \biggr)^2 = 1$$
  2. مختصات \(y\) را مربع سازید و آن را از هر دو سمت معادله تفریق کنید. $$
    x^2 + \frac{49}{625}=1 \\
    x^2 = 1 - \frac{49}{625} \\
    = \frac{576}{625}
    $$
  3. جذر هر سمت را محاسبه کنید. $$
    \sqrt{x^2} = \pm \sqrt{\frac{576}{625}} \\
    x= \pm \frac{24}{25}
    $$
همانطور که می بینید، مختصات \(x\) در اینجا دارای دو مقدار می باشد، و این نقاط عبارت از \(\biggl( \frac{24}{25} , \frac{7}{25} \biggr)\) و \(\biggl( -\frac{24}{25} , \frac{7}{25} \biggr)\) می باشند.

چسبیدن به مختصات های گویا


ممکن است متوجه شده باشید که در بخش آخر، یکی از مسائل نتیجه اش مختصات با یک رادیکال در آن و نتیجۀ مسالۀ دیگر اینطور نبود. هنگام انجام مسأله های مثلثات، رادیکال ها اجتناب ناپذیرند، اما گاهی اوقات شما صرفاً می خواهید چیزها را گویا نگه دارید. یک عدد گویا (rational number) یک عدد حقیقی است که می تواند به شکل یک کسر نوشته شود. و اعداد گویا دارای مقادیر اعشاری هستند که درست رفتار می کنند ـــ برخلاف مقادیر اعشاری در رادیکال ها (اعداد اصم). چیزی که در اینجا برای شما دارم، روشی است که با آن اطمینان حاصل می کنید که تنها به مختصات های گویا برای یک نقطه روی دایرۀ واحد می رسید. برای انجام این کار، از فرمول زیر استفاده کنید، \(m\) می تواند هر عدد گویایی باشد:
$$(x,y)=\biggl( \frac{1-m^2}{1+m^2}, \frac{2m}{1+m^2} \biggr)$$
آیا می خواهید این فرمول را در عمل ببینید؟ ابتدا این فرمول را با یک عدد گویایِ زیبا و متمدن آغاز می کنم؛ \(m=4\) .

  1. هر \(m\) در این فرمول را با \(4\) جایگزین کنید. $$\biggl( \frac{1-m^2}{1+m^2}, \frac{2m}{1+m^2} \biggr) = \biggl( \frac{1-4^2}{1+4^2}, \frac{2 \cdot 4}{1+4^2} \biggr)$$
  2. ساده سازی کنید. $$=\biggl( \frac{1-16}{1+16}, \frac{8}{1+16} \biggr) = \biggl( -\frac{15}{17},\frac{8}{17} \biggr)$$
شک دارید؟ کافیست این مختصات ها را در معادلۀ دایرۀ واحد قرار دهید و درست آزمایی کنید.
$$\biggl( -\frac{15}{17} \biggr)^2 + \biggl( \frac{8}{17} \biggr)^2 = \frac{225}{289} + \frac{64}{289} = \frac{289}{289} = 1$$
و حالا، برای اینکه حتی بزرگترین شکاکان را نیز قانع سازیم، انتخاب من \(m=-\frac{2}{3}\) می باشد.

  1. هر \(m\) در فرمول را با \(-\frac{2}{3}\) جایگزین کنید. $$\biggl( \frac{1-m^2}{1+m^2}, \frac{2m}{1+m^2} \biggr) = \biggl( \frac{1-(-\frac{2}{3})^2}{1+(-\frac{2}{3})^2} , \frac{2(-\frac{2}{3})}{1+(-\frac{2}{3})^2} \biggr)$$
  2. ساده سازی کنید. $$=\biggl( \frac{1-\frac{4}{9}}{1+\frac{4}{9}}, \frac{-\frac{4}{3}}{1+\frac{4}{9}}\biggr) = \biggl( \frac{\frac{5}{9}}{\frac{13}{9}} , \frac{-\frac{4}{3}}{\frac{13}{9}} \biggr) = (\frac{5}{13},-\frac{12}{13})$$
و مسلماً این نقطه نیز با موفقیت درست آزمایی می شود.

می خواهم رازی را با شما در میان بگذارم: این فرمول مبتنی بر استفاده از سه تائی های فیثاغورثی در صورت و مخرج این کسرها می باشد. اندکی بیش از این در موردش گفتنی هست ـــ این فرمول با استفاده از شیب یک خط که از میان یک تقاطع از دایرۀ واحد عبور کرده است، ایجاد شده ـــ اما برای بهره مند شدن از راحتی اعداد تولید شده توسط این فرمول، نیازی به دانستن این اطلاعات ندارید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.