اگر به گذشته های دور و زمانی که برای اولین بار توابع مثلثاتی ایجاد یا شناسایی شدند، باز گردیم، انگیزۀ ایجاد این توابع این نبود که مردان زیادی دور هم بنشینند و بگویند: "هِی سِزار، آیا میدونستی که سینوس \(45\) درجه می شه \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)؟" در عوض، اساتید ریاضی در گذشته بر روی اصول مثلثات کار می کردند زیرا آنها نیاز به برخی نظم ها و سازگاریها بر روی اعدادی که در اخترشناسی، کشاورزی، و معماری، مورد استفاده قرار می دادند، داشتند. آنها ارتباطاتی را بین این اعداد کشف کردند و این کشفیات را با سایر دنیای شناخته شدۀ متمدن به اشتراک گذاشتند.

زاویۀ فراز، زاویۀ شیب

مسأله های ریاضی که نیاز به توابع مثلثاتی دارند اغلب یکی از دو زاویۀ مرتبط را دارند: زاویۀ فراز (angle of elevation) یا زاویۀ شیب (angle of depression). سناریویی که از این زوایا استفاده می کند اغلب شامل محاسبۀ مسافتهایی است که به صورت فیزیکی قابل اندازه گیری نیستند. به عنوان مثال، این زوایا هنگامی که به دنبال یافتن مسافت بین یک هواپیما، بالون، یا هر شیء دیگری بالای سرتان، تا نقطه ای بر روی زمین هستید، مورد استفاده قرار می گیرند. از توابع مثلثاتی برای بدست آوردن بخش مجهول از نسبت یا ضلع این مثلث قائم الزاویۀ خیالی استفاده کنید.

یک زاویۀ فراز از یک خط افقی رو به بالا اندازه گیری می شود. این خط افقی معمولاً زمین، خیابان، کف، یا هر شیء مسطح دیگر می باشد. اگرچه زمین کاملاً مسطح یا افقی نیست، شما این اندازه گیری ها را با این پیش فرض که زمین مسطح و افقی است، تعیین می کنید. در مثلثات شما باید وضعیت مطلوب را در نظر بگیرید ـــ بر روی تصویر کلی تمرکز کنید و نه نقص ها. شکل 1-10 یک زاویۀ فراز (angle of elevation) را به شما نشان می دهد.


یک زاویۀ شیب از خط افقی رو به سمت پایین اندازه گیری می شود. در مورد این زوایا، خط افقی، به عنوان مثال، مسیر پرواز یک هواپیما یا خط دید یک شخص در حالی که بر روی بالای قلۀ یک کوه ایستاده است، می باشد. این زاویه زمانی شکل می گیرد که یک شخص در آن هواپیما یا قلۀ کوه به شیئی بر روی زمین (یا روی یک مسیر موازی با زمین) نگاه می کند. به عنوان یک نمونه از زاویۀ شیب (angle of depression) به شکل 1-10 مراجعه کنید.