خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


اندازه گیری ساختمان های بلند با مثلثات

اندازه گیری ساختمان های بلند با مثلثات
نویسنده : امیر انصاری
هر روزه افراد از مثلثات برای اندازه گیری چیزهایی که نمی توانند به آن برسند، استفاده می کنند. ارتفاع آن ساختمان چقدر است؟ آیا این نردبان به نوک آن درخت می رسد؟ با استفاده از توابع مثلثاتی مناسب، شما می توانید پاسخ اینگونه سوالات را بیابید. دو ملاحظۀ مهم که هنگام کار کردن بر روی مسأله هایی که از توابع مثلثاتی استفاده می کنند، باید بیاد داشته باشید، اینها هستند: از چه تابع مثلثاتی باید استفاده کنید، و واحد اندازه گیری در پاسخ چه می باشد؟

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



مقادیر مجهول در نسبت های توابع مثلثاتی نشان دهندۀ بخش های مجهول مسأله می باشند. شما مقادیر معلوم را به درستی نسبت می دهید و مسأله را برای بدست آوردن آنچه که باقی می ماند، حل می کنید.

نجات دادن یک دوشیزه از یک برج


این سناریویِ بسیار رایج را در نظر بگیرید: یک دوشیزۀ مضطرب و پریشان در یک برج زندانی شده است. شوالیۀ قهرمان او در زرهی درخشان همراه با یک نردبان در سطح زمین ایستاده است. او می خواهد بداند که آیا با این نردبان می تواند به آن دوشیزه برسد یا اینکه نیاز به یک نردبان بلندتر دارد.

هنگامی که این شوالیۀ جذاب در فاصلۀ \(15\) فوتی از پایۀ این برج ایستاده است و به دوشیزۀ گرانبهایش می نگرد، زاویۀ فراز تا پنجره ای که دوشیزه در آن دیده می شود برابر با \(60\) درجه است. ارتفاع این نردبان باید چقدر باشد؟ شکل 2-10 این وضعیت را به شکل تصویری نشان می دهد.

اندازه گیری ساختمان های بلند با مثلثات
  1. بخشهایی از این مثلث قائم الزاویه را که می توانید برای حل کردن این مسأله مورد استفاده قرار دهید، شناسایی کنید.
    شما می دانید که این زاویۀ حاده برابر با \(60\) درجه است، و ضلع مجاور آن در امتداد زمین قرار دارد؛ فاصلۀ بین رأس این زاویه (جایی که شوالیه ایستاده است) تا پایۀ برج برابر با \(15\) فوت است (ضلع مجاور). وتر برابر با طول مورد نیا برای این نردبان است ـــ آن را \(x\) بنامید. شکل 3-10 این مثلث را به شما نشان می دهد.

    اندازه گیری ساختمان های بلند با مثلثات
  2. تعیین کنید که باید از کدامیک از توابع مثلثاتی استفاده کنید.
    ضلع مجاور و وتر بخشی از نسبت کسینوس می باشند. این اضلاع همچنین بخشی از نسبت سکانت نیز می باشند، اما تا آنجا که امکان دارد، شما باید از سه تابع اصلی استفاده کنید، و نه معکوس آنها.

  3. با آن تابع مثلثاتی یک معادله بنویسید؛ آن گاه مقادیر معلوم را در آن جایگذاری کنید.
    برای یادآوری در مورد این مقادیر، به جدول های موجود در فصل 7 مراجعه کنید. کسینوس \(60\) درجه برابر با \(\frac{1}{2}\) می باشد، ضلع مجاور (adjacent side) برابر با \(15\) فوت است، و وتر (hypotenuse) مجهول است.
    $$\cos 60 = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}} \\
    \frac{1}{2}=\frac{15}{x}$$
  4. این معادله را حل کنید.
    با ضرب صلیبی (طرفین-وسطین کردن)، به این نتایج می رسید:
    $$
    \frac{1}{2}=\frac{15}{x} \\
    1 \cdot x = 15 \cdot 2 \\
    x = 30
    $$
    بلندی این نردبان باید \(30\) فوت باشد. (بهتر است که این شوالیه خیلی قوی باشد!)

تعیین ارتفاع یک درخت


فرض کنید یک بادبادک هوا کرده اید، و در نوک یک درخت گیر کرده است. شما تمامی نخ \(100\) فوتی بادبادک را باز کرده اید، و زاویه ای که آن نخ با زمین می سازد (زاویۀ فراز) برابر با \(75\) درجه است. به جای اینکه نگران باشید چطور بادبادکتان را برگردانید، به این فکر می کنید که "ارتفاع این درخت چقدر است؟"

شکل 4-10 این سناریو را نشان می دهد.

اندازه گیری ساختمان های بلند با مثلثات
برای یافتن پاسخ مسأله تان، این مراحل را دنبال کنید:

  1. بخش هایی از این مثلث قائم الزاویه را که می توانید از آنها برای حل این مسأله استفاده کنید، شناسایی کنید.
    وتر این مثلث قائم الزاویه طول نخ می باشد. ضلع روبروی این زاویۀ \(75\) درجه چیزی که است که مسأله را برای بدست آوردن آن حل می کنید؛ آن را \(x\) بنامید.

  2. تعیین کنید که از کدام تابع مثلثاتی باید استفاده کنید.
    وتر و ضلع روبرو بخشی از نسبت سینوس می باشند.

  3. معادله ای با این تابع مثلثاتی بنویسید؛ آن گاه مقادیر معلوم را در آن جایگذاری کنید.
    زاویۀ \(75\) درجه یکی از زوایای رایج نمی باشد، بنابراین از یک ماشین حساب علمی یا یکی از جدولهای موجود در ضمیمه این کتاب برای بدست آوردین مقدار این سینوس، استفاده کنید، و آن را تا دقت سه رقم اعشار تصحیح کنید. سینوس \(75\) درجه در حدود \(0.966\) می باشد، وتر (hypotenuse) برابر با \(100\) فوت است، و ضلع روبرو (opposite side) چیزی است که مجهول است.
    $$\sin 75 = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} \\
    0.966 = \frac{x}{100}$$
  4. این معادله را حل کنید.
    با ضرب صلیبی (طرفین-وسطین کردن)، به نتایج زیر می رسید:
    $$
    0.966=\frac{x}{100} \\
    0.966 \cdot 100 = x \\
    96.6 = x
    $$
    ارتفاع این درخت بالغ بر \(96\) فوت می باشد. برگرداندن این بادبادک شانس خیلی زیادی می خواهد.

اندازه گیری مسافت بین ساختمان ها


یهوشافاط پرش گر (Jumping Jehoshaphat)، زندگی اش را با پریدن بر روی موتورسیکلتش می گذراند، از ساختمانی به ساختمان دیگر، از پرتگاهی به پرتگاه دیگر، یا هر محل دیگری که می توانست توجه سایرین را جلب کند، این کار را انجام می داد. رکورد پرش او یک مسافت \(260\) فوتی، از ساختمانی به ساحتمان دیگر بود. یهوشافاط در تدارک شاهکار بعدی اش بود و نیاز داشت تا فاصلۀ بین یک ساختمان تا ساختمانی دیگر را مشخص سازد. دستیار او لاولی لیندسی (Lovely Lindsay)، یک دیرک \(6\) فوتی را عمود بر سقفی که بر روی آن ایستاده بود، نگه داشته بود. هنگامی که یهوشافاط بر روی ساختمان اول ایستاده بود، دید مستقیم از یک نقطه تا پایۀ آن دیرک و دید یک نقطه در وسط دیرک، یعنی زاویۀ فراز، برابر با \(1\) درجه بود. آیا او می تواند این مسافت را بپرد؟ برای دیدن یک جلوۀ بصری از محاسبات یهوشافاط، شکل 5-10 را ببینید.

اندازه گیری ساختمان های بلند با مثلثات
  1. بخشهایی از این مثلث قائم الزاویه را که برای استفاده در حل این مسأله می توانید مورد استفاده قرار دهید، شناسایی کنید.
    شما می دانید که طول ضلع روبروی این زاویۀ \(1\) درجه، برابر با نصف اندازۀ دیرک (یعنی \(3\) فوت) می باشد، و ضلع مجاور، مسافت مجهول می باشد. این مسافت را \(x\) بنامید.

  2. تعیین کنید که از کدامیک از توابع مثلثاتی استفاده می کنید.
    تانژانت یک زاویه از نسبت ضلع روبرو (opposite) تقسیم بر ضلع مجاور (adjacent) استفاده می کند.

  3. یک معادله با این نسبت مثلثاتی بنویسید؛ سپس مقادیر معلوم را در آن جایگذاری کنید.
    طول نصف این دیرک برابر با \(3\) فوت می باشد، بنابراین این معادله اینگونه خواهد بود:
    $$\tan 1^{\circ} = \frac{\text{opp}}{\text{adj}} = \frac{3}{x}$$
  4. این معادله را برای بدست آوردن مقدار \(x\) حل کنید.
    از ضمیمۀ این کتاب یا یک ماشین حساب علمی برای یافتن مقدار تانژانت \(1\) درجه استفاده کنید.
    $$
    \tan 1^{\circ}=\frac{3}{x} \\
    0.0175 =\frac{3}{x} \\
    x = \frac{3}{0.0175} \\
    x = 171.4
    $$
    شما دریافتید که مسافت بین این دو ساختمان اندکی کمتر از \(172\) فوت می باشد. یهوشافاط قادر خواهد بود تا به سادگی این پرش را انجام دهد، زیرا رکورد او \(260\) فوت می باشد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.