خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


اتحادهای زاویه مقابل

اتحادهای زاویه مقابل
نویسنده : امیر انصاری
اتحادهای زاویۀ مقابل (opposite-angle identities) عبارتهای دارای زوایای منفی را به معادل آنها با زاویه مثبت تبدیل می کند. زوایای منفی برای توصیف یک وضعیت عالی هستند، اما هنگامی که صحبت از الصاق آنها به یک تابع مثلثاتی و محاسبۀ مقدار آن می رسد، واقعاً سودمند نیستند. بنابراین، به عنوان مثال، شما می توانید سینوس \(-30\) درجه را به شکل سینوس \(30\) درجه بازنویسی کنید و یک علامت منفی قبل از آن تابع قرار دهید:

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار
$$\sin (-30^{\circ}) = - \sin(30^{\circ})$$


این اتحاد برای سایر زوایا نیز به درستی کار می کند. اندازۀ این زاویه الزاماً نباید \(-30\) درجه باشد؛ هر زاویه منفی به درستی کار خواهد کرد. با این حال، این کارِ زوایای منفی برای توابع مختلف به شکل متفاوتی عمل می کند. ابتدا اتحادها را در نظر بگیرید، و سپس ببینید آنها باید چگونه باشند.

اتحادهای زاویه مقابل برای سه تابع اصلی تر عبارت از این موارد می باشند:
$$
\sin (- \theta)=-\sin \theta \\
\cos (- \theta) = \cos \theta \\
\tan (- \theta) = -\tan \theta
$$

قانون سینوس و تانژانت یک زاویه منفی تقریباً بدیهی به نظر می رسد. اما در مورد کسینوس چطور؟ چگونه کسینوس یک زاویۀ منفی می تواند با کسینوس زاویۀ متناظر مثبت آن یکسان باشد؟ در اینجا چگونگی کارکرد آن را می بینید.

اگر به فصل 8 مراجعه کنید، در می یابید که مقادیر توابع برای زوایایی که ضلع نهایی آن در ربع صفحه های متفاوت باشند دارای علامتهای متفاوت می باشند. به عنوان مثال، سینوس، در هنگامیکه ضلع نهایی آن زاویه در ربع صفحۀ اول و دوم قرار داشته باشد، مثبت می باشد، در مقابل کسینوس در اولین و چهارمین ربع صفحه مثبت می باشد. علاوه بر آن، در فصل 4 چگونگی ترسیم زوایا در یک صفحۀ مختصات را به شما نشان می دهد: زوایای مثبت در جهت پادساعت گرد از محور \(x\) مثبت، پیش می روند، و زوایای منفی در جهت ساعت گرد پیش می روند.

با در نظر گرفتن این نکات، به شکل 1-11 نگاهی بیندازید، که یک زاویۀ \(-45\) درجه و یک زاویۀ \(45\) درجه را نشان می دهد.

اتحادهای زاویه مقابل
ابتدا این زاویۀ \(-45\) درجه را در نظر بگیرید. ضلع نهایی این زاویه در ربع صفحۀ چهارم می باشد، بنابراین سینوس آن منفی است. از سوی دیگر، ضلع نهاییِ یک زاویۀ \(45\) درجه، در ربع صفحۀ اول می باشد، بنابراین دارای سینوس مثبت است. در مورد یک زاویۀ منفی مانند \(-200\) درجه که ضلع نهایی آن در ربع صفحۀ دوم قرار دارد، چطور؟ یک زاویۀ \(+200\) درجه، دارای سینوس منفی می باشد، زیرا ضلع نهایی آن در ربع صفحۀ سوم قرار دارد، اما یک زاویۀ \(-200\) درجه داری سینوس مثبت می باشد، زیرا ضلع نهایی آن در ربع صفحۀ دوم قرار دارد. مقادیر سینوس متضاد یکدیگرند ـــ شما را بیشتر متقاعد می کند که قاعدۀ اینکه سینوس یک زاویۀ منفی مقدار متضاد آن، یعنی زاویه ای مثبت با همان اندازه است.

اکنون به سراغ تابع کسینوس می رویم. با در نظر گرفتن علامت کسینوس نسبت به صفحۀ مختصات، شما می دانید که یک زاویۀ \(-45\) درجه دارای کسینوسی مثبت می باشد. بنابراین، به همین دلیل است که نقطۀ مقابل آن، زاویۀ \(45\) درجه برابر است با:
$$\cos(-45^{\circ}) = \cos (45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
بنابراین، می بینید که کسینوس یک زاویۀ منفی با کسینوس زاویه ای مثبت با همان اندازه، یکسان می باشد.

در ادامه، این اتحاد را روی زاویه ای دیگر امتحان کنید، یک زاویۀ منفی که ضلع نهایی آن در ربع صفحۀ سوم قرار دارد. شکل 2-11 یک زاویۀ منفیِ \(-120\) درجه را همراه با زاویۀ متناظر مثبت آن، \(120\) درجه، نشان می دهد.

اتحادهای زاویه مقابل
ضلع نهاییِ این زاویۀ \(-120\) درجه در ربع صفحۀ سوم قرار دارد، بنابراین هم سینوس و هم کسینوس آن منفی می باشند. ضلع نهاییِ نقطۀ مقابل آن، زاویۀ \(120\) درجه، در ربع صفحۀ دوم قرار دارد، که در آن سینوس مثبت و کسینوس منفی می باشد. بنابراین، سینوس \(-120\) درجه معکوس سینوس \(120\) درجه، و کسینوس \(-120\) درجه برابر با کسینوس \(120\) درجه می باشد. این ماجرا در نمادهای مثلثات، اینگونه است:
$$\sin(-120^{\circ})=-\sin(120^{\circ})=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\cos(-120^{\circ})=\cos(120^{\circ})=-\frac{1}{2} $$
هنگامیکه این اتحاد زاویۀ مقابل را بر روی تانژانت \(120\) درجه بکار می برید (که نتیجه اش منفی می شود)، شما در می یابید که متضاد یک منفی یک مثبت است. سورپرایز، سورپرایز! بنابراین، با اعمال این اتحاد، متضاد آن این تانژانت را مثبت می کند، که چیزی است که بعد از استخراج تانژانت \(120\) درجه بدست می آورید، که در آن ضلع نهایی در ربع صفحۀ سوم قرار دارد، و از اینرو، مثبت است.

اما بررسی اتحاد زاویه مقابل برای این تانژانت به روش دیگری است: از اتحاد نسبت (ratio identity) برای اثبات درست کار کردن آن استفاده کنید.
$$\tan(-\theta)=\frac{\sin(-\theta)}{\cos(-\theta)}=\frac{-\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=-\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=-\tan(\theta)$$



نمایش دیدگاه ها (2 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.