با وجود اینکه هر تابع کاملاً فوق العاده می باشد، قادر بودن به اینکه هر کدام از آنها را به لحاظ تمامی پنج تابع مثلثاتی دیگر بیان کنید، غالباً به نفع شما تمام می شود. به عنوان مثال، شما ممکن است یک معادله یا عبارت با تعداد زیادی سینوس داشته باشید، اما تمامی جملات سینوس نباشند. یکسان کردن همۀ آنها ـــ همگی به لحاظ سینوس باشند ـــ می تواند در حل کردن مسأله به شما کمک کند.





با مجهز شدن به اتحادهای معکوس، اتحادهای نسبت، و اتحادهای فیثاغورثی، شما می توانید این کار را انجام دهید ـــ هر تابع مثلثاتی را به لحاظ سایر توابع بنویسید. در این بخش، من بسیاری از دگرگونی های سینوس را به شما نشان می دهم؛ با بکار بردن برخی از اتحادهای یکسان و دنبال کردن گامهایی مشابه، شما می توانید تعداد زیادی از دگرگونی ها را برای سایر توابع مثلثاتی شکل دهید. این پنج روش برای نگارش سینوس به لحاظ پنج تابع مثلثاتی دیگر، به شما نشان می دهد که تمامی این اتحادها چقدر قدرتمند، تطبیق پذیر، و سودمند هستند. یک هشدار: برخی از این معادلات خیلی زیبا نیستند. اما، فراموش نکنید که زیبایی در چشمان بیننده می باشد. و شما می توانید فکر کنید که اینها خوش تیپند!

چهره های مختلف سینوس

در اینجا پنج روش برای بیان کردن تابع سینوس به لحاظ سایر توابع را داریم:

• سینوس به لحاظ کسینوس:
  $$\sin \theta = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$$
  
• سینوس به لحاظ تانژانت:
  $$\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\pm \sqrt{\tan^2 \theta + 1}}$$
  
• سینوس به لحاظ کتانژانت:
  $$\sin \theta = \frac{1}{\pm \sqrt{1+\cot^2 \theta}}$$
  
• سینوس به لحاظ سکانت:
  $$\sin \theta = \frac{\pm \sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$$
  
• سینوس به لحاظ کسکانت:
  $$\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$$
  

به کار بردن این نسخه ها

انتخاب یک نقطۀ آغاز خوب، کمک کننده است ـــ و منجر به یک نتیجۀ زیباتر می شود. شما هیچ عبارتی را که بسیار آشفته یا سخت برای یادآوری باشد را نمی خواهید. از اتحادهایی بهره ببرید که تابع مقصد شما را در یک جملۀ واحد منزوی کرده اند. این بخش رایج ترین روش برای تبدیل یک تابع مثلثاتی به تابعی دیگر را نشان می دهد.

تبدیل سینوس به کسینوس

شما می توانید تابع سینوس را بدون انجام کار زیادی به لحاظ کسینوس بیان کنید.

1. با اتحاد فیثاغورثیِ شاملِ \(\sin \theta\) و \(\cos \theta\) کار را آغاز کنید و \(\cos^2 \theta\) را از هر دو سمت آن تفریق کنید. $$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$$
   
2. جذر هر دو سمت را بگیرید. $$
   \sqrt{\sin^2 \theta} = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \theta} \\
   \sin \theta = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \theta}
   $$
   

بسته به کاربرد مورد نظرتان می توانید از ریشۀ منفی و یا از ریشۀ مثبت استفاده کنید.

تبدیل سینوس به تانژانت

برای بازنویسی تابع سینوس به لحاظ تانژانت:

1. با اتحاد نسبتِ شاملِ سینوس، کسینوس، و تانژانت کار را آغاز کنید، و هر سمت آن را در کسینوس ضرب کنید تا سینوس را در سمت چپ تنها کنید. $$\require{cancel}
   \cancel{\cos \theta} \cdot \frac{\sin \theta}{\cancel{\cos \theta}} = \tan \theta \cdot \cos \theta \\
   \sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta$$
   
2. کسینوس را با تابع معکوس آن جایگزین کنید. $$\sin \theta = \tan \theta \biggl( \frac{1}{\sec \theta} \biggr)$$
   
3. اتحاد فیثاغورثیِ \(\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta\) را برای بدست آوردن سکانت حل کنید.
   این معادله این نتیجه را به شما می دهد:
   $$\pm \sqrt{\tan^2 \theta + 1} = \sec \theta$$
   
4. این سکانت را در معادلۀ سینوس در مرحلۀ 2 جایگزین کنید.
   به نتیجۀ زیر می رسید:
   $$
   \sin \theta = \tan \theta \biggl( \frac{1}{\pm \sqrt{\tan^2 \theta + 1}} \biggr)= \frac{\tan \theta}{\pm \sqrt{\tan^2 \theta + 1}}
   $$
   

خیلی زیبا نشد، اما اگر معادلۀ شما دارای عباراتی با تانژانت در آنها باشد، شما شانس بهتری برای ترکیب جملات یا کاهش کسرها دارید.

تبدیل سینوس به کتانژانت

برای نوشتن تابع سینوس به لحاظ کتانژانت، با معادله ای که در بخش قبلی به آن رسیدید، کار را آغاز کنید:
$$
\sin \theta = \tan \theta \biggl( \frac{1}{\pm \sqrt{\tan^2 \theta + 1}} \biggr)= \frac{\tan \theta}{\pm \sqrt{\tan^2 \theta + 1}}
$$

1. تمامی تانژانت ها را با \(1\) بر روی معکوس تانژانت (که کتانژانت می باشد)، جایگزین کنید و عبارت را ساده سازی کنید. $$\sin \theta = \biggl( \frac{\frac{1}{\cot \theta}}{\pm \sqrt{\frac{1}{\cot^2 \theta}+ 1}} \biggr)$$
   نتیجه یک کسر مرکب (complex fraction) می باشد ـــ کسر مرکب کسری است که صورت و مخرج آن نیز یک کسر باشد ـــ بنابراین اگر آن را ساده سازی کنید بسیار بهتر به نظر خواهد رسید.
   
   
2. بخش زیر رادیکال را به شکل یک کسر مجزا بنویسید و با استفاده از قوانین توانها/رادیکالها آن را ساده سازی کنید، جذر هر سمت از آن را بگیرید. $$
   \sin \theta = \frac{\frac{1}{\cot \theta}}{\pm \sqrt{\frac{1}{\cot^2 \theta} + \frac{\cot^2 \theta}{\cot^2 \theta}}} = \frac{\frac{1}{\cot \theta}}{\pm \sqrt{\frac{1+\cot^2 \theta}{\cot^2 \theta}}} \\
   = \frac{\frac{1}{\cot \theta}}{\pm \frac{\sqrt{1+\cot^2 \theta}}{\sqrt{\cot^2 \theta}}} = \frac{\frac{1}{\cot \theta}}{\pm \frac{\sqrt{1+\cot^2 \theta}}{\cot \theta}}
   $$
   
3. صورت این کسر را در معکوس مخرج آن ضرب کنید. $$
   = \frac{\frac{1}{\cot \theta}}{\pm \frac{\sqrt{1+\cot^2 \theta}}{\cot \theta}} = \frac{1}{\cancel{\cot \theta}} \cdot \frac{\cancel{\cot \theta}}{\pm \sqrt{1+\cot^2 \theta}} =\frac{1}{\pm \sqrt{1+\cot^2 \theta}}
   $$
   

تمام شد. و حتی نسبت به سینوس نوشته شده به لحاظ تانژانت، ساده تر به نظر می رسد.

تبدیل سینوس به سکانت

تابع بعدی برای تعریف کردن، تابع سکانت می باشد. شما رادیکال های بیشتری را در آیندۀ نزدیک خواهید دید، اما این رادیکال های سرکش می توانند رام شوند.

1. با سینوس به لحاظ کسینوس کار را آغاز کنید (به اولین تغییر در این بخش مراجعه کنید). $$\sin \theta = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$$
   
2. اکنون کسینوس را با \(1\) بر روی معکوس آن جایگزین کنید. $$
   \sin \theta = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \theta} \\
   = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{\sec^2 \theta}}
   $$
   این رادیکال، یک کسر در درون خودش دارد. یک شکل بهتر ساده سازی آن کسر می باشد، بنابراین یک مخرج مشترک بیابید و آن کسر را به دو رادیکال بشکنید:
   $$
   \sin \theta = \pm \sqrt{\frac{\sec^2 \theta}{\sec^2 \theta} - \frac{1}{\sec^2 \theta}} = \pm \sqrt{\frac{\sec^2 \theta - 1}{\sec^2 \theta}}
   $$
   

تبدیل سینوس به کسکانت

آخرین تابعی که می خواهید سینوس را به لحاظ آن بنویسید، کسکانت می باشد ـــ من ساده ترین مورد را برای آخرین مورد رزرو کرده ام. معکوس کسکانت، سینوس می باشد، بنابراین این معادله صرفاً یکی از اتحادهای معکوس اصلی می باشد:
$$\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}$$