اتحادهای مثلثاتی مجموع زوایا

بلوک های سازندۀ اصلیِ اتحادها عبارت از اتحادهای معکوس، نسبت، و فیثاغورثی می باشند، که با جزئیات کامل در فصل 11 مورد بحث قرار دادم. در این فصل، شما آن اتحادها را یک گام جلوتر می برید و اتحادهای جدیدی را توسعه می دهید، در می یابید چگونه توابع مثلثاتی را جمع، تفریق، ضرب، و تقسیم کنید ـــ مخصوصاً مقادیر زیبایِ زوایای $0$، $30$، $45$، $60$، و $90$ درجه. (این زوایا تنها زوایایی نیستند که می توانید بر روی آنها عملیات ها را انجام دهید؛ آنها صرفاً راحتترین زوایا برای استفاده جهت نشان دادن چگونگی کارکرد اتحادهای مثلثاتی می باشند.) با انجام اینگونه عملیات ها، شما می توانید مقادیر توابع را حتی برای زوایای بیشتری تعیین کنید. دنیای کاملاً جدیدی به روی شما گشوده می شود!

عملیات جمع

جمع زوایا توسط سه اتحاد اصلی پوشش داده شده است؛ این اتحادها شامل سینوس، کسینوس، و تانژانت می باشند. بعد از اینکه این سه اتحاد را شناسایی کردید، می توانید آنها را با استفاده از اتحادهای معکوس، برای سه تابع دیگر (کسکانت، سکانت، و کتانژانت) ویرایش کنید. تمام کاری که انجام می دهید اینست که با یک اتحاد جمع ساده آغاز کنید، از یک اتحاد معکوس برای تغییر دادن آن عبارت به عبارتی که می خواهید استفاده کنید، ساده سازی های مورد نیاز را انجام دهید، و سپس اتحاد جمع مورد نیاز را مورد استفاده قرار دهید. شما اغلب مجبور نیستید که این کار را انجام دهید؛ شما معمولاً می توانید با یکی از این سه اتحاد اصلی آنها را بدست آورید.

از اتحادهای جمع-زوایه (angle-sum identities) برای یافتن مقادیر توابع زوایای بسیار زیادی استفاده کنید، اما مثالهای این بخش صرفاً راحتترین ترکیب ها را به شما نشان می دهند ـــ مواردی با مقادیر دقیق که می توانید در این فرمول ها جایگذاری کنید. به عنوان مثال، فرض کنید، می خواهید مقدار دقیق سینوس $75$ درجه را بیابید. برای اینکه تلاش کمتری کنید، می توانید از مجموع $30$ درجه و $45$ درجه و اتحاد مناسب استفاده کنید.

اتحادهای جمع-زاویه (angle-sum identities) مقادیر توابع را برای مجموع زاویۀ $\alpha$ و زاویۀ $\beta$ پیدا می کند:
$$
\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\
\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
$$

اکنون به عنوان یک مثال از اتحاد جمع زوایا استفاده کنید.

با استفاده از اتحاد برای سینوس یک جمع، سینوس یک زاویۀ $75$ درجه را بیابید:

دو زاویه را که مجموع آنها $75$ می شود تعیین کنید، که در آنها شما مقادیر سینوس و کسینوس را می دانید.
$30+45$ را انتخاب کنید، نه $50+25$ یا $70+5$ را، زیرا چسبیدن به زوایای رایج تر، مقادیر زیباتر و دقیقتری را برای استفاده در فرمولها ایجاد می کند، و شانس موفقیت شما را بالاتر می برد.
اندازۀ این زوایا را در این اتحاد جایگذاری کنید. $$
\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\sin(30+45)=\sin 30 \cos 45 + \cos 30 \sin 45
$$
این توابع برای زوایا را با مقادیرشان جایگزین کنید و ساده سازی انجام دهید. $$
\sin(30+45)=\sin 30 \cos 45 + \cos 30 \sin 45 \\
=\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \\
= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} = \sin (75)
$$

گاهی اوقات شما بیش از یک انتخاب برای جمع دارید. در مثال بعدی، کسینوس $120$ درجه را با استفاده از اتحاد کسینوس مجموع بیابید.

دو زاویه را که جمع آنها $120$ درجه می شود، تعیین کنید.
با انتخاب از میان راحتترین زوایا، شما می توانید یا از $90+30$ و یا از $60+60$ استفاده کنید. در این مثال، من از $90+30$ استفاده می کنم، زیرا سینوس $90$ درجه، برابر با $1$ می باشد، و کسینوس آن برابر با $0$ است. هر دوی آن اعداد در محاسبات بسیار زیبا هستند، زیرا محاسبات را ساده نگه می دارند.
این مقادیر را در این اتحاد جایگذاری کنید. $$
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\
\cos (90+30) = \cos 90 \cos 30 - \sin 90 \sin 30
$$
این توابع را با مقادیرشان جایگزین کنید و سپس ساده سازی کنید. $$
\cos (90+30)=\cos 90 \cos 30 - \sin 90 \sin 30 \\
= 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} = \cos(120)
$$

اما اگر بخواهید مجموعۀ متفاوتی از زوایا را برای یافتن کسینوس $120$ درجه مورد استفاده قرار دهید، چه می شود؟

دو زاویه را که مجموع آنها $120$ درجه می شود، تعیین کنید.
تنها ترکیب دیگری که به سرعت به ذهن شما می آید $60+60$ می باشد.
این مقادیر را در این اتحاد جایگذاری کنید. $$
\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\
\cos(60+60) = \cos 60 \cos 60 - \sin 60 \sin 60
$$
این توابع را با مقادیرشان جایگزین کنید و ساده سازی نمایید. $$
\cos(60+60) = \cos 60 \cos 60 - \sin 60 \sin 60 \\
=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}=\cos (120)
$$

در واقع مهم نیست که از کدام جفت زوایا استفاده می کنید ـــ شما به پاسخ یکسانی دست خواهید یافت.

همچنین، این اتحادها با واحد اندازه گیری رادیان نیز بدرستی کار می کنند، مانند یافتن تانژانت $\frac{7\pi}{12}$ با استفاده از اتحاد تانژانت مجموع زوایا.

دو زاویه که مجموع آنها برابر با تانژانت $\frac{7\pi}{12}$ می شود را تعیین کنید.
به نظر می رسد ساده تر این باشد که به یافتن دو عدد که مجموع آنها $\frac{7}{12}$ باشد فکر کنیم، و موقتاً $\pi$ را نادیده بگیریم.
دو کسری که به ذهن می رسند عبارت از $\frac{1}{3}$ و $\frac{1}{4}$ می باشند. زیرا:
$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$$
در واقع شما خواهید داشت:
$$\frac{7\pi}{12}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$$
این مقادیر را در اتحاد مربوطه جایگذاری کنید. $$
\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \\
\tan \biggl( \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4} \biggr) = \frac{\tan \frac{\pi}{3} + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan \frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{4}}
$$
این توابع را با مقادیرشان جایگزین کنید و ساده سازی کنید. $$
\tan \biggl( \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4} \biggr) = \frac{\sqrt{3} + 1}{1-\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1-\sqrt{3}} = \tan \frac{7\pi}{12}
$$

نتیجۀ بدست آمده در مرحلۀ آخر، این پاسخ را در زیباترین شکل ممکن آن نشان نمی دهد. مخرج این کسر دارای دو جمله می باشد و یکی از آنها یک رادیکال است. یک روش برای اینکه این پاسخ را اندکی بهتر و قابل فهم تر کنیم استفاده از تکنیکی است که "عمل گویا کردن" (rationalization) ـــ به آن "عمل از زیر رادیکال در آوردن" نیز گفته می شود ـــ نامیده می شود.

برای گویا کردن (rationalize) صورت یا مخرج یک کسر، هم صورت و هم مخرج را در "مزدوج" (conjugate) ـــ مزدوج عبارت از همان جملات با علامتهای متضاد می باشد ـــ بخشی که می خواهید عمل گویا کردن را روی آن صورت دهید، ضرب کنید. هنگامی که چنین کاری را انجام دهید، به تفاضل بین دو مربع می رسید، که به شما امکان می دهد از شرّ آن بخش های آزار دهنده خلاص شوید.

در مورد مثال آخر، شما گویا کردن را به شیوۀ زیر انجام می دهید تا رادیکال را در مخرج کسر از بین ببرید:
$$\frac{\sqrt{3} + 1}{1-\sqrt{3}} \cdot \frac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}+3+1+\sqrt{3}}{1-3} = -2 - \sqrt{3}$$
این پاسخ آخر به منظور درک و برآورد آن، اندکی زیباتر است. از آنجا که $\sqrt{3}$ در حدود $1.7$ است، شما می توانید برآورد کنید که $-2-\sqrt{3} \approx -2-1.7 = -3.7$ می باشد.

در ادامه، من از جهتی دیگر به این اتحادهای جمع زاویه می پردازم. گاهی اوقات، شما ممکن است اندازۀ این زوایا را نداشته باشید، اما اطلاعاتی را در مورد مقادیر توابع این زوایا داشته باشید. به عنوان مثال، فرض کنید دو زاویه دارید، زاویۀ $\alpha$ در $QII$ و زاویۀ $\beta$ در $QI$ . شما می دانید که $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ و $\cos \beta=\frac{24}{25}$ . در اینصورت با این اطلاعات $\sin (\alpha + \beta)$ و $\cos (\alpha + \beta)$ چه می باشند؟

تمامی مقادیر توابع مورد نیاز برای این مجموع را بیابید.
هر دوی اتحادهای جمع زوایا برای سینوس و کسینوس از سینوس و کسینوس هر کدام از زوایا استفاده می کنند. شما هم اکنون سینوس یک زاویه و کسینوس زاویۀ دیگر را می دانید، بنابراین باید کسینوس و سینوس مجهول را تعیین کنید ـــ شما می توانید با استفاده از یک اتحاد فیثاغورثی این کار را انجام دهید:
- ابتدا از مقدار $\sin \alpha$ برای بدست آوردن $\cos \alpha$ استفاده کنید:
  $$
  \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \\
  \biggl( \frac{3}{5} \biggr)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \\
  \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \\
  \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}
  $$
  در نهایت به دو پاسخ می رسید. از آنجا که ضلع نهایی زاویۀ $\alpha$ در ربع صفحۀ دوم قرار دارد، در این مورد، کسینوس $\alpha$، منفی می باشد:
  $$\cos \alpha = - \frac{4}{5}$$
- اکنون از مقدار $\cos \beta$ برای بدست آوردن $\sin \beta$ استفاده کنید:
  $$
  \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \\
  \sin^2 \beta + \biggl( \frac{24}{25} \biggr)^2 = 1 \\
  \sin^2 \beta = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625} \\
  \sin \beta = \pm \sqrt{\frac{49}{625}} = \pm \frac{7}{25}
  $$
  دوباره، در اینجا نیز دو علامت مختلف برای انتخاب جهت سینوس $\beta$ داریم. ضلع نهایی زاویۀ $\beta$ در ربع صفحۀ اول می باشد، که در آن سینوس مثبت می باشد، در نتیجه داریم:
  $$\sin \beta = \frac{7}{25}$$
مقادیر این توابع را در اتحادهای سینوس و کسینوس جمع زوایا جایگذاری کنید. $$
\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\
\sin (\alpha + \beta) = \biggl( \frac{3}{5} \biggr) \biggl( \frac{24}{25} \biggr) + \biggl( -\frac{4}{5} \biggr)\biggl( \frac{7}{25} \biggr) \\
\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\
\cos (\alpha + \beta) = \biggl( -\frac{4}{5} \biggr) \biggl( \frac{24}{25} \biggr) - \biggl( \frac{3}{5} \biggr) \biggl( \frac{7}{25} \biggr)
$$
این اتحادها را ساده سازی کنید و آنها را برای بدست آوردن پاسخها حل کنید. $$
\sin (\alpha + \beta) = \biggl( \frac{3}{5} \biggr) \biggl( \frac{24}{25} \biggr) + \biggl( -\frac{4}{5} \biggr)\biggl( \frac{7}{25} \biggr) \\
= \biggl( \frac{72}{125} \biggr) + \biggl( -\frac{28}{125} \biggr) = \frac{44}{125} \\
\cos (\alpha + \beta) = \biggl( -\frac{4}{5} \biggr)\biggl( \frac{24}{25} \biggr) - \biggl( \frac{3}{5} \biggr) \biggl( \frac{7}{25} \biggr) \\
=\biggl( -\frac{96}{125} \biggr)-\biggl( \frac{21}{125} \biggr)=-\frac{117}{125}
$$

با بررسی اندازۀ زوایا، شما می توانید پیش بینی کنید که آیا مقدار تابع مثبت یا منفی می باشد. در مثال قبلی، هنگامی که این زوایای کوچکتر با یکدیگر جمع می شوند، زاویه ای را می سازند که ضلع نهایی آن در ربع صفحۀ دوم می باشد. در فصل 9، شما دریافتید که سینوس زاویه ای که در ربع صفحۀ دوم می باشد، مثبت است. بنابراین، تعجبی ندارد که سینوس حاصله مقداری مثبت باشد، به همین ترتیب، کسینوس مقداری منفی می باشد (زیرا کسینوس در ربع صفحۀ دوم منفی می باشد).

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی