با افزودن زوایا به یکدیگر، شما گنجینۀ دانشتان در این زمینه را بسط دادید. شما یک لیست طولانی تر از مقادیر دقیق توابع دارید ـــ نه صرفاً مقادیر سادۀ توابع، بلکه تمامی جمع های ممکن این زوایای رایج تر. به همین ترتیب، شما حتی امکانات بیشتری برای یافتن مقادیر توابع زوایا در هنگامی که آنها را از یکدیگر تفریق می کنید، در اختیار دارید. به عنوان مثال، شما می توانید سینوس \(15\) درجه را با استفاده از \(45\) درجه و \(30\) درجه و اتحاد مناسب، تعیین کنید.






توجه کنید که چگونه هر کدام از این اتحادهای تفریق (subtraction identities) به اتحاد جمع زوایۀ متناظرش شباهت دارد. در مورد قاعدۀ سینوس، علامت بین دو حاصلضرب از \(+\) به \(-\) تغییر یافته است، که به نظر معنادار می آید. در مورد کسینوس، متضاد این برقرار است. قاعدۀ جمع در کسینوس دارای \(-\) می باشد، و قاعدۀ تفریق (یا تفاضل) دارای \(+\) می باشد. قاعدۀ تانژانت دارای هر دو \(+\) و \(-\) می باشد؛ عملیات موجود در صورت کسر معکوس نوع اتحاد می باشد.


برای اینکه یکی از اتحادهای تفریق را در عمل ببینید، مثال زیر را بررسی کنید، که به شما نشان می دهد چگونه سینوس \(15\) درجه را بیابید.

1. دو زاویه با تفاضل برابر با \(15\) درجه را انتخاب کنید.
   برای اینکه امور ساده نگهداشته شوند، از زوایای \(45\) و \(30\) درجه استفاده کنید.
   
   
2. این زوایا را در اتحاد سینوس یک تفاضل جایگذاری کنید. $$
   \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\
   \sin 15 = \sin (45-30)=\sin 45 \cos 30 - \cos 45 \sin 30
   $$
   
3. این جملات را با مقادیر توابع جایگزین کنید و پاسخ را ساده سازی کنید. $$
   \sin (45-30) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\
   \frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\sin(15)
   $$
   

استفاده از رادیان ها منجر می شود تا کسرهای بیشتری در مسأله درگیر گردند، مانند یافتن \(\tan \frac{\pi}{12}\) با استفاده از اتحاد تانژانت یک تفاضل.

1. تعیین کنید تفاضل کدام زوایا را نیاز دارید.
   این دو زاویه عبارت از \(\frac{\pi}{3}\) و \(\frac{\pi}{4}\) می باشند:
   $$\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{12} - \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$$
   
2. این زوایا را در اتحاد تانژانت یک تفاضل جایگذاری کنید. $$
   \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta} \\
   \tan \biggl( \frac{\pi}{12} \biggr) = \tan \biggl( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \biggr) = \frac{\tan \frac{\pi}{3} - \tan \frac{\pi}{4}}{1+\tan\frac{\pi}{3} \tan \frac{\pi}{4}}
   $$
   
3. این جملات را با مقادیر توابع جایگزین کنید و پاسخ را ساده سازی کنید. $$ \tan \biggl( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \biggr) = \frac{\sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}} = \tan\biggl( \frac{\pi}{12} \biggr) $$
   این نتیجه نسبتاً بی نظم است. شما می توانید با ضرب کردن صورت و مخرج این کسر در مزدوج (conjugate) (جملات یکسان، علامتهای متفاوت) مخرج، ساده سازی کنید:
   $$\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}} \cdot \frac{1-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-3-1+\sqrt{3}}{1-3} = \frac{2\sqrt{3}-4}{-2}=-\sqrt{3}+2$$
   

در فصل 11 ، اتحادهای زاویۀ مقابل (opposite-angle identities) را توضیح دادم. مثال بعدی از اتحاد کسینوس یک تفاضل، همراه با زاویه ای با اندازۀ \(0\) درجه استفاده می کند تا یک اتحاد زاویۀ مقابل را بسازد. شما ممکن است این توضیحات را بیشتر از توضیحات فصل 11 بپسندید، و این به شما نشان خواهد داد که اتحادهای مثلثاتی چقدر انطباق پذیر و ساده می باشند ـــ و چگونه آنها اینقدر خوب با یکدیگر دوست هستند.

در این مثال، \(\cos \biggl( -\frac{\pi}{3} \biggr)\) را با استفاده از اتحاد تفاضل بین زوایا بیابید.

1. تعیین کنید کدام زوایا را برای بدست آوردن تفاضلشان، نیاز دارید.
   با استفاده از \(0\) و \(\frac{\pi}{3}\) و تفریق آن از \(0\) به یک نتیجۀ منفی می رسید:
   $$0 - \frac{\pi}{3} = - \frac{\pi}{3}$$
   
2. این زوایا را در اتحاد کسینوس یک تفاضل جایگذاری کنید. $$
   \cos (\alpha - \beta)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\
   \cos (0 - \frac{\pi}{3})=\cos 0 \cos \frac{\pi}{3} + \sin 0 \sin \frac{\pi}{3}
   $$
   
3. این زوایا را با مقادیر توابع جایگزین کنید و پاسخ را ساده سازی کنید.
   $$
   \cos \biggl( -\frac{\pi}{3} \biggr) = \cos 0 \cos \frac{\pi}{3} + \sin 0 \sin \frac{\pi}{3} \\
   = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} = \cos \biggl( -\frac{\pi}{3} \biggr)
   $$
   این پاسخ دقیقاً چیزی است که اگر از اتحاد زاویۀ مقابل استفاده کنید به آن می رسید:
   $$
   \cos (-\theta) = \cos \theta \\
   \cos \biggl( -\frac{\pi}{3} \biggr) = \cos \biggl( \frac{\pi}{3} \biggr)=\frac{1}{2}
   $$
   

در مثال بعدی، دو منفی یک مثبت را می سازند. این زوایا مثبت هستند، اما مقادیر توابع آنها منفی می باشند. این دو زاویۀ موجود در پرسش عبارت از \(\alpha\) که در ربع صفحۀ چهار قرار دارد، و \(\beta\) که در ربع صفحۀ سوم قرار دارد، می باشند. مقادیر توابع معلوم، عبارت از \(\sin \alpha = -\frac{4}{5}\) و \(\cos \beta = -\frac{5}{13}\) می باشند. \(\cos (\alpha - \beta)\) را بیابید.

1. مقادیر لازم توابع برای محاسبۀ این تفاضل را بیابید.
   کسینوس تفاضل دو زاویه هم از سینوس و هم از کسینوس هر دو زاویه استفاده می کند. شما هم اکنون سینوس \(\alpha\) و کسینوس \(\beta\) را می دانید، بنابراین شما باید کسینوس \(\alpha \) و سینوس \(\beta\) را بیابید. با استفاده از یک اتحاد فیثاغورثی می توانید مقادیر مجهول را بدست آورید:
   
   
   • ابتدا از مقدار \(\sin \alpha\) برای بدست آوردن \(\cos \alpha\) استفاده کنید:
     $$
     \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \\
     \biggl( -\frac{4}{5} \biggr)^2 + \cos^2 \alpha =1 \\
     \cos^2 \alpha = 1-\frac{16}{25} = \frac{9}{25} \\
     \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}
     $$
     شما باید بین این دو مقدار مثبت و منفی یکی را انتخاب کنید. از آنجا که زاویۀ \(\alpha\) در ربع صفحۀ چهارم قرار دارد، شما می دانید که کسینوس \(\alpha\) مثبت می باشد: \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\) .
     
     
   • اکنون از مقدار \(\cos \beta\) برای یافتن \(\sin \beta\) استفاده کنید:
     $$
     \sin^2 \beta + \cos^2 \beta =1 \\
     \sin^2 \beta + \biggl( -\frac{5}{13} \biggr)^2 =1 \\
     \sin^2 \beta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \\
     \sin \beta =\pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13}
     $$
     دوباره، شما علامت صحیح را انتخاب می کنید. زاویۀ \(\beta\) در ربع صفحۀ سوم قرار دارد، که در آنجا سینوس منفی می باشد، بنابراین \(\sin \beta = -\frac{12}{13}\) .
     
     
2. مقادیر این توابع را درون اتحاد کسینوس یک تفاضل جایگذاری کنید. $$
   \cos(\alpha - \beta) =\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\
   = \biggl( \frac{3}{5} \biggr)\biggl( -\frac{5}{13} \biggr) + \biggl( -\frac{4}{5} \biggr)\biggl( -\frac{12}{13} \biggr)
   $$
   
3. این اتحاد را ساده سازی کنید و آن را برای بدست آوردن پاسخ حل کنید. $$\cos (\alpha - \beta)=\biggl( -\frac{15}{65} \biggr) + \biggl( \frac{48}{65} \biggr) = \frac{33}{65}$$
   

در مثال پیشین، اولین زاویه در ربع صفحۀ چهار قرار دارد، بنابراین اندازۀ آن بین \(270\) و \(360\) درجه می باشد. زاویۀ دیگر که در ربع صفحۀ سوم قرار دارد، بین \(180\) تا \(270\) درجه می باشد. تفاضل بین آنها می تواند جایی بین \(0\) تا \(180\) درجه باشد، بدین معنا که این زاویۀ جدید یا در ربع صفحۀ اول و یا در ربع صفحۀ دوم قرار دارد. پاسخ کسینوس این تفاضل مثبت شد. در فصل 9 بیان شد که کسینوس در ربع صفحۀ اول مثبت و در ربع صفحۀ دوم منفی می باشد، بنابراین تفاضل بین این دو زاویه باید جایی بین \(0\) تا \(90\) درجه قرار داشته باشد، و این یعنی این زاویۀ جدید در ربع صفحۀ اول قرار دارد.