هنگام اثبات اتحادها، شما معمولاً بر روی یک سمت از معادله یا سمت دیگر آن، کار می کنید ـــ و نه هر دو سمت آن به صورت هم زمان. هنگامی که در سایر نواحی ریاضی، همچون ضد مشتق ها (anti-derivatives) در حسابان، کار می کنید، شما نیاز پیدا خواهید کرد تا از یک عبارت مثلثاتی به عبارتی دیگر تبدیل انجام دهید تا بتوانید آن مسأله را حل کنید؛ اینگونه وضعیت ها هیچ سمتی ندارند، بنابراین شما نیاز دارید تا فقط بر روی یک جمله یا عبارت کار کنید. با حل کردن اتحادهای مثلثاتی کار کردن صرفاً بر روی یک سمت یا سمت دیگر یک تمرین خوب می باشد. خبر خوب اینست که در این مسأله ها، شما معمولاً انتخاب می کنید که روی کدام سمت کار کنید.






مسلماً این راهبردها تمام امکانات موجود نیستند، اما شروع خوبی را برای شما میسر می سازند. وارد بخش معمایی اتحادها شوید. همچنانکه در مثالهای پیش رو خواهید دید، شما باید به دنبال سرنخ هایی در هر اتحاد باشید تا به شما کمک کنند تصمیم بگیرید بر روی کدام سمت آن اتحاد کار کنید.

اتحاد زیر را اثبات کنید:
$$\cot x \sin x + \tan x \cot x = \cos x + 1$$

1. سمتی را که می خواهید روی آن کار کنید، انتخاب نمایید.
   سمت چپ جملات بیشتری دارد، جملۀ اول یک حاصلضرب است، و جملۀ دوم حاصلضرب دو تابع معکوس می باشد، بنابراین این بهترین انتخاب است.
   
   
2. از اتحاد نسبت برای جایگزینی با اولین \(\cot x\) و از اتحاد معکوس برای جایگزینی با دومین \(\cot x\) استفاده کنید. $$\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x + \tan x \cdot \frac{1}{\tan x} = \cos x + 1$$
   
3. دو فاکتور موجود در در هر دو جمله را در یکدیگر ضرب کنید. $$
   \require{cancel}
   \frac{\cos x}{\cancel{\sin x}} \cdot \cancel{\sin x} + \cancel{\tan x} \cdot \frac{1}{\cancel{\tan x}} = \cos x +1 \\
   \cos x +1 = \cos x +1
   $$
   

این اتحاد اثبات شد، زیرا هر دو سمت دقیقاً یکسان می باشند. این یکی خیلی سریع پش رفت، زیرا اتحادهای نسبت و معکوس انتخاب شدند. روش دیگری برای مواجهه با این مسأله می تواند این باشد که \(\cot x\) را از جملات سمت چپ فاکتور بگیریم و سپس بر روی جملات موجود در داخل پرانتز جایگزینی اتحاد را صورت دهیم. این رویکرد به این آسانی نیست، اما هنوز هم می تواند این کار را انجام دهد.

مثال بعدی، تکنیکهای بیشتری را به شما نشان می دهد.

اتحاد زیر را اثبات کنید:
$$\sec x - \sin x \tan x = \cos x$$

1. سمتی را که می خواهید روی آن کار کنید، انتخاب کنید.
   سمت چپ جملات بیشتری دارد، و دو تا از توابعِ آن سینوس یا کسینوس نیستند، بنابراین شما با استفاده از دو تا از رهنمودها این انتخاب را انجام می دهید.
   
   
2. از اتحاد معکوس برای جایگزینی \(\sec x\) و از اتحاد نسبت برای جایگزینی \(\tan x\) استفاده کنید.
   این کار از روی رهنمودهایی انجام شده است که پیشنهاد می کردند تمامی جملات را به آنهایی که شامل سینوس و کسینوس باشند تبدیل کنید.
   $$\frac{1}{\cos x} - \sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \cos x$$
   
3. دو فاکتور موجود در جملۀ دوم را در یکدیگر ضرب کنید. سپس این دو کسر را با یکدیگر ترکیب کنید، زیرا دارای یک مخرج مشترک می باشند. $$
   \frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{1} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \cos x \\
   \frac{1}{\cos x} - \frac{\sin^2 x}{\cos x} =\cos x \\
   \frac{1-\sin^2 x}{\cos x} = \cos x
   $$
   
4. صورت این کسر را با استفاده از اتحاد فیثاغورثیِ \(\sin^2 x + \cos^2 x =1\)، که همچنین به صورت \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\) نیز نوشته میشود، جایگزین کنید. $$\frac{\cos^2 x}{\cos x} = \cos x$$
   
5. کسر سمت چپ را کاهش دهید. $$
   \require{cancel}
   \frac{\cos^{\cancel{2}} x}{\cancel{\cos x}} = \cos x \\
   \cos x = \cos x
   $$
   این اتحاد اثبات شد، زیرا هر دو سمت آن دقیقاً یکسان می باشند.
   

در ادامه اتحاد زیر را اثبات کنید:
$$\frac{1-\cos x}{\sin x} + \frac{\sin x}{1-\cos x} = 2 \csc x$$

1. سمتی را که می خواهید روی آن کار کنید، انتخاب نمایید.
   سمت چپ دارای کسرهایی می باشد که نیاز به جمع کردن با یکدیگر دارند.
   
   
2. مخرج مشترک بین این کسرها را بیابید.
   این کسرها دارای دو مخرج متفاوت می باشند، بنابراین هر کدام را در کسری که برابر با \(1\) می باشد، ضرب کنید ـــ کسری که صورت و مخرج آن برابر با مخرج جملۀ دیگر باشد.
   $$
   \frac{1-\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1-\cos x}{1-\cos x} + \frac{\sin x}{1-\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\sin x} = 2 \csc x \\
   $$
   
3. این دو کسر را ساده سازی کنید. سپس آنها را با یکدیگر جمع کنید، زیرا دارای مخرج یکسانی می باشند. $$\frac{(1-\cos x)^2}{\sin x(1-\cos x)} + \frac{\sin^2 x}{\sin x(1-\cos x)} = 2 \csc x \\
   \frac{(1-\cos x)^2 + \sin^2 x}{\sin x(1-\cos x)} = 2 \csc x$$
   
4. مربع دوجمله ای قرار گرفته در منتهی الیه سمت چپِ صورت این کسر را توزیع کنید. $$\frac{1-2\cos x+\cos^2 x+\sin^2 x}{\sin x(1-\cos x)} = 2 \csc x$$
   
5. با استفاده از اتحاد فیثاغورثیِ \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) ، دو جملۀ آخر موجود در صورت این کسر را با \(1\) جایگرین کنید. $$\frac{1-2 \cos x +1}{\sin x(1-\cos x)}= 2 \csc x$$
   
6. دو \(1\) موجود در صورت این کسر را ترکیب کنید، و سپس \(2\) را از جملات آن فاکتور بگیرید. $$
   \frac{2-2\cos x}{\sin x (1-\cos x)} = 2 \csc x \\
   \frac{2(1-\cos x)}{\sin x(1- \cos x)} = 2 \csc x
   $$
   
7. ضریب های مشترک در صورت و مخرج این کسر را فاکتور بگیرید. $$
   \require{cancel}
   \frac{2 \cancel{(1-\cos x)}}{\sin x\cancel{(1-\cos x)}} = 2 \csc x \\
   \frac{2}{\sin x} = 2 \csc x
   $$
   
8. اکنون فقط از اتحاد معکوسِ \(\frac{1}{\sin x} = \csc x\) ، برای خاتمه دادن به کار استفاده کنید. $$
   2\biggl( \frac{1}{\sin x} \biggr) = 2 \csc x \\
   2 \csc x = 2 \csc x
   $$
   

مثال بعدی از رهنمودهای ضرب کردن و اتحاد فیثاغورثی برای رسیدن به یک نتیجۀ عالی، استفاده می کند.

اتحاد زیر را اثبات کنید:
$$\cos x (\sec x - \cos x) = \sin^2 x$$

1. تصمیم بگیرید که می خواهید روی کدام سمت این معادله کار کنید.
   سمت چپ نیاز به ضرب کردن توسط توزیع \(\cos x\) بر روی دو جملۀ موجود در پرانتز دارد.
   
   
2. سمت چپ را توزیع کنید. $$\cos x \sec x - \cos^2 x = \sin^2 x$$
   
3. کسینوس و سکانت معکوس یکدیگر می باشند، بنابراین حاصلضرب آنها برابر با \(1\) می باشد. جملۀ \(\cos x \sec x\) را با \(1\) جایگزین کنید. $$
   \cos x\biggl( \frac{1}{\cos x} \biggr) - \cos^2 x = \sin^2 x \\
   1-\cos^2 x = \sin^2 x
   $$
   
4. اکنون فقط از اتحاد فیثاغورثی برای جایگزینی جملات سمت چپ استفاده کنید. $$\sin^2 x = \sin^2 x$$