هنگام اثبات اتحادها، گاهی اوقات بهترین روش مدیریت آنها فوراً برای شما آشکار می شود ـــ و گاهی اوقات بهترین روش از چشم شما پنهان می ماند. معمولاً شما یک اتحاد را به بیش از یک روش می توانید حل کنید ـــ به بهترین روش، روش تقریباً خوب، روش منطقی، و روش کاملاً مخوف. بهترین روش، سریعترین و کارآمدترین روش می باشد. اما گاهی اوقات شما مجبور می شوید متوسل به جادو و جنبل شوید تا کار حل کردن آن اتحاد خاص را به انجام برسانید. شما تا اینجایِ کار یک ترفند کوچک را دیده اید: ضرب کردن یک جمله در \(1\) . بنابراین شما در سینوس بر روی سینوس یا برخی سازماندهی های اینچنینی ضرب می کنید، اما این هنوز هم ضرب در \(1\) محسوب می شود. برخی ترفندهای کوچک بیشتر، چیزی فراتر از ضرب کردن یک کسر در \(1\) در شکل یک مزدوج یا در شکل مربع کردن هر دو سمت یک اتحاد نمی باشند.

ضرب کردن در یک مزدوج (conjugate)

ابتدا بیایید ببینیم مزدوج (conjugate) چیست؟ در ریاضیات، مزدوج شامل همان دو جملۀ یکسان از عبارت اول می باشد، که با علامتهای متضاد تفکیک شده اند. به عنوان مثال، مزدوج \(x+\sqrt{y}\) برابر با \(x-\sqrt{y}\) می باشد. به ویژه، در مثلثات، ضرب کردن صورت و مخرج یک کسر در یک مزدوج می تواند برخی مقادیر بسیار زیبا را تولید کند.

ضرب کردن در یک مزدوج یک روش سریع و آسان برای حل کردن اتحاد زیر می باشد:
$$\frac{1}{\sec x-\tan x} = \tan x+\sec x$$

1. صورت و مخرج کسر در سمت چپ را در مزدوجِ مخرج کسر، ضرب کنید. $$\frac{1}{\sec x-\tan x} \cdot \frac{\sec x+ \tan x}{\sec x+ \tan x} = \tan x+ \sec x$$
   
2. دو مخرجی که در یکدیگر ضرب شده اند، تفاضل بین دو مربع می باشند. $$\frac{\tan x+\sec x}{\sec^2 x-\tan^2 x} = \tan x+\sec x$$
   
3. با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، \(\sec^2 x\) در مخرج این کسر را با معادل آن جایگزین کنید. $$\frac{\tan x+\sec x}{\tan^2 x+1-\tan^2 x} = \tan x+\sec x$$
   
4. با خط زدن جملات متضاد یکدیگر در مخرج کسر، آن را ساده کنید. $$
   \require{cancel}
   \frac{\tan x+\sec x}{\cancel{\tan^2 x}+1-\cancel{\tan^2 x}} = \tan x + \sec x \\
   \tan x+\sec x=\tan x+\sec x
   $$
   

در مثال بعدی، شما باید تصمیم بگیرید، کدام کسر را در مزدوج ضرب کنید. من کسر سمت راست را انتخاب می کنم، زیرا مزدوج صورت کسر سمت راست را در مخرج کسر سمت چپ، می بینم. این اتحاد را حل کنید:
$$\frac{\tan x}{1+\cos x} = \frac{1-\cos x}{\sin x \cos x}$$

1. صورت و مخرج کسرِ سمت راست را در مزدوج صورت کسر ضرب کنید. $$\frac{\tan x}{1+\cos x} = \frac{1-\cos x}{\sin x \cos x} \cdot \frac{1+\cos x}{1+\cos x}$$
   
2. این کسرها را در یکدیگر ضرب کنید، پرانتز را در مخرج کسر حفظ کنید. $$\frac{\tan x}{1+\cos x} = \frac{1-\cos^2 x}{\sin x \cos x(1+\cos x)}$$
   
3. با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، صورت کسر سمت راست را با معادل آن جایگزین کنید. سپس آن کسر را کاهش دهید. $$
   \require{cancel}
   \frac{\tan x}{1+\cos x} = \frac{\sin^2 x}{\sin x \cos x(1+\cos x)} \\
   \frac{\tan x}{1+\cos x} = \frac{\sin^{\cancel{2}} x}{\cancel{\sin x} \cos x(1+\cos x)} \\
   \frac{\tan x}{1+\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x(1+\cos x)}
   $$
   
4. کسر سمت راست را به شکل حاصلضرب دو کسر بازنویسی کنید، فاکتورها را با دقت چینش کنید. $$\frac{\tan x}{1+\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{(1+\cos x)}$$
   
5. اولین کسر در سمت راست را با معادل آن در اتحاد نسبت جایگزین کنید. این عبارت را به شکل یک کسر بازنویسی کنید. $$
   \frac{\tan x}{1+\cos x} =\tan x \cdot \frac{1}{(1+\cos x)} \\
   \frac{\tan x}{1+\cos x} = \frac{\tan x}{1+\cos x}
   $$
   

اتحاد نصف زاویه (half-angle identity) برای تابع تانژانت دارای دو شکل مختلف می باشد. ضرب کردن در مزدوج یک روش خوب برای نشان دادن اینکه این دو شکل معادل یکدیگر هستند، می باشد. در این مثال، من اثبات می کنم که این دو اتحاد نصف زاویه معادل یکدیگر می باشند:
$$\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}$$

1. صورت و مخرج کسر سمت چپ را در مزدوج مخرج این کسر ضرب کنید. $$\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} \cdot \frac{1-\cos \theta}{1-\cos \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}$$
   
2. دو مخرج را در یکدیگر ضرب کنید، اما صورت را در شکل فاکتورگیری شده حفظ کنید. $$\frac{\sin \theta(1-\cos \theta)}{1-\cos^2 \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}$$
   
3. مخرج سمت چپ را با معادل آن در اتحاد فیثاغورثی جایگزین کنید. $$\frac{\sin \theta(1-\cos \theta)}{\sin^2 \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}$$
   
4. کسر سمت چپ را کاهش دهید. $$\frac{\cancel{\sin \theta}(1-\cos \theta)}{\sin^{\cancel{2}} \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\
   \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}
   $$
   

مربع کردن هر دو سمت

یک مورد خاص از کار کردن بر روی هر دو سمت یک اتحاد به صورت همزمان اینست که هر دو سمت آن را مربع سازید. بزرگترین سرنخ شما در مورد اینکه چه زمانی از این تکنیک استفاده کنید معمولاً زمانی است که یک سمت یا سمت دیگر دارای رادیکال باشد. این روش همچنین در هنگامی که برخی از انواع اتحادهای مثلثاتی را حل می کنید، برای استفاده مناسب می باشد. مربع کردن هر دو سمت دارای دو مزیت می باشد: شما را از شر رادیکال ها خلاص می کند، و معمولاً جملاتی را می سازد که می توانند بخشی از اتحادهای فیثاغورثی باشند. اتحادهای فیثاغورثی جایگزین های فوق العاده ای دارند.

مثال زیر تنها یک رادیکال دارد، و آن رادیکال در سمت راست می باشد. این اتحاد را حل کنید:
$$\frac{1-\cot x}{\csc x} = \sqrt{1-2\sin x \cos x}$$

1. هر دو سمت این اتحاد را مربع سازید.
   مطمئن شوید که دوجمله ای مربع شده در سمت چپ را به درستی بسط دهید.
   $$
   (\frac{1-\cot x}{\csc x})^2 = (\sqrt{1-2\sin x \cos x})^2 \\
   \frac{(1-\cot x)^2}{\csc^2 x} = 1-2 \sin x \cos x \\
   \frac{1-2 \cot x+\cot^2 x}{\csc^2 x} = 1-2 \sin x \cos x
   $$
   
2. جملات موجود در صورت کسر را بازچینش کنید. $$\frac{1+\cot^2 x-2 \cot x}{\csc^2 x} = 1-2 \sin x \cos x$$
   
3. با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، \(1+\cot^2 x\) را با معادل آن جایگزین کنید. $$\frac{\csc^2 x-2 \cot x}{\csc^2 x} = 1-2 \sin x \cos x$$
   
4. این کسر را با نوشتن هر جمله از صورت آن بر روی مخرجش، بشکنید. $$\frac{\csc^2 x}{\csc^2 x} - \frac{2 \cot x}{\csc^2 x} = 1-2 \sin x \cos x$$
   
5. اولین جمله را ساده کنید. با استفاده از اتحادهای نسبت و معکوس، صورت و مخرج کسر در جملۀ دوم را بازنویسی کنید. $$1-\frac{2\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{\sin^2 x}} = 1-2 \sin x \cos x$$
   
6. این کسر مرکب را با وارون کردن مخرجش و ضرب آن در صورتش ساده کنید. $$1-2\frac{\cos x}{\cancel{\sin x}} \cdot \frac{\sin^{\cancel{2}} x}{1} = 1-2 \sin x \cos x \\
   1-2 \cos x \sin x = 1-2 \sin x \cos x$$