اتحادهایی که دارای جمع، تفاضل، مضربی از زوایا، و نصف زاویه می باشند، دارای رویه هایی پیشنهادی هستند که فقط به شما خیره می شوند، زیرا داشتن تمامی توابع به لحاظ زاویه ای یکسان ـــ نه دوبرابر یکی یا مجموع دو زاویۀ دیگر ـــ بهتر است.

جمع کردن با یکدیگر

اتحادهای جمع و تفاضل معمولاً شامل دو زاویۀ متفاوت و سپس یک زاویۀ ترکیب شدۀ سوم می باشند. برای اثبات اتحاد، شما نیاز دارید تا از شر آن زاویۀ سوم خلاص شوید. اولین مثال شامل مجموع دو زاویۀ متفاوت می باشد.

معادلۀ زیر از زوایای \(x\) و \(y\) استفاده می کند:
$$\frac{\cos(x+y)}{\cos x \cos y} = 1-\tan x \tan y$$
با بکار بردن اتحاد مناسب که صرفاً شامل زاویۀ \(x\) و زاویۀ \(y\) می باشد، از جمع زاویۀ \(x+y\) رهایی یابید.

1. کسینوس مجموع دو زاویه را با اتحاد آن جایگزین کنید. $$\frac{\cos x \cos y - \sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 1 - \tan x \tan y$$
   
2. با قرار دادن هر جمله از صورت کسر بر روی مخرج کسر، این کسر را بشکنید. $$\frac{\cos x \cos y}{\cos x \cos y} - \frac{\sin x \sin y}{\cos x \cos y} = 1 - \tan x \tan y$$
   
3. کسر اول را کاهش دهید. کسر دوم را به شکل حاصلضرب دو کسر بازنویسی کنید. سپس دو کسر موجود در این قسمت را با استفاده از اتحاد نسبت، جایگزین کنید. $$1-\frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{\sin y}{\cos y}=1-\tan x \tan y \\
   1-\tan x \tan y=1-\tan x \tan y$$
   

مثال بعدی یک اتحاد برای سه برابر یک زاویه را نشان می دهد:
$$\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$$

1. سینوس \(3\theta\) را با حاصلجمع سینوس \(\theta\) و \(2\theta\) جایگزین کنید تا اتحادی را برای مجموع این دو زاویه در سمت راست معادلۀ بالا بسازید. $$\sin 3\theta=\sin(\theta+2\theta) \\
   \sin(\theta+2\theta)=3\sin\theta-4\sin^3\theta$$
   
2. اتحاد جمع زاویه برای سینوس را در سمت چپ به کار بگیرید. $$\sin \theta \cos 2\theta + \cos \theta \sin 2\theta = 3 \sin\theta-4\sin^3\theta$$
   
3. اکنون \(\cos 2\theta\) و \(\sin 2\theta\) را با استفاده از اتحادهای زاویۀ مضاعف جایگزین کنید.
   شما برای \(\cos 2\theta\) سه اتحاد زاویۀ مضاعف را برای انتخاب دارید. شما موردی را که شامل مربع سینوس باشد انتخاب می کنید، زیرا جملۀ یکسانی را در سمت راست این معادله می بینید.
   $$\sin \theta(1-2\sin^2 \theta) + \cos \theta(2 \sin \theta \cos \theta) = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$$
   
4. در سمت چپ توزیع را انجام دهید. $$\sin \theta - 2 \sin^3 \theta + 2 \sin \theta \cos^2 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$$
   
5. با استفاده از اتحاد فیثاغورثی \(\cos^2 \theta\) را با معادل آن جایگزین کنید. سپس این جملات را ساده سازی کنید. $$
   \sin \theta - 2 \sin^3 \theta + 2\sin \theta(1-\sin^2\theta) = 3 \sin \theta-4\sin^3\theta \\
   \sin \theta - 2 \sin^3 \theta + 2\sin \theta - 2 \sin^3 \theta = 3 \sin \theta-4\sin^3\theta \\
   3\sin \theta - 4\sin^3 \theta = 3 \sin \theta-4\sin^3\theta
   $$
   

تفاضل بین دو زاویه

استفاده از توابعی که شامل تفاضل بین دو اندازۀ زاویه می باشند دارای بسیاری از ویژگیهای توابع شامل مجموع بین زوایا می باشد، بنابراین من اندکی پیچیدگی به مثالهای این بخش اضافه کرده ام. اولین اتحاد از تانژانت بین تفاضل دو زاویه، \(\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}\)، استفاده می کند.

اکنون اتحاد زیر که از اتحاد تفاضل بین تانژانت دو زاویه و ترکیب آن با برخی مقادیر توابع یک زاویۀ \(45\) درجه استفاده می کند، را حل کنید:
$$\cot(x-45^{\circ}) = \frac{1+\tan x}{\tan x-1}$$

1. کتانژانت تفاضل را با استفاده از اتحاد معکوس بازنویسی کنید، زیرا کتانژانت دارای یک اتحاد استاندارد تفاضل نمی باشد. $$\cot(x-45^{\circ}) = \frac{1}{\tan(x-45^{\circ})}$$
   
2. اکنون تانژانت تفاضل را با اتحادش جایگزین کنید. $$\frac{1}{\tan(x-45^{\circ})} = \frac{1}{\frac{\tan x - \tan 45^{\circ}}{1+\tan x \tan 45^{\circ}}}$$
   
3. برای ساده کردن این کسر مرکب در سمت راست، مخرج را سر و ته کنید و آن را در صورت، که \(1\) می باشد، ضرب کنید. $$\frac{1}{\tan(x-45^{\circ})} = \frac{1+\tan x \tan 45^{\circ}}{\tan x - \tan 45^{\circ}}$$
   
4. مقدار تانژانت \(45\) درجه برابر با \(1\) می باشد، بنابراین تمامی آن جملات را با \(1\) جایگزین کنید. $$\frac{1}{\tan(x-45^{\circ})} = \frac{1+\tan x(1)}{\tan x-1} \\
   \frac{1}{\tan(x-45^{\circ})} = \frac{1+\tan x}{\tan x-1} $$
   
5. اکنون سمت چپ را در شکل اصلی آن بازنویسی کنید. $$\cot(x-45^{\circ}) = \frac{1+\tan x}{\tan x-1}$$
   

مثال بعدی اثبات می کند که \(\tan x\) برابر با خودش می باشد. بله، می دانم که اندکی عجیب به نظر می رسد ـــ بدیهی است که این باید صحیح باشد. کشف تکنیکهایی که در این اثبات درگیر شده اند چیزی است که منجر می شود تا وارد مراحل این اثبات شدن ارزش سعی و تلاشش را داشته باشد. ترفند کار در اینجا اینست که \(\tan x\) را به شکل تانژانت تفاضل بین زوایای \(2x\) و \(x\) بازنویسی کنید.

1. اتحاد تفاضل برای تانژانت را بنویسید. $$\tan x = \tan x \\
   \tan x = \tan (2x-x) \\
   = \frac{\tan 2x - \tan x}{1+\tan 2x \tan x}$$
   
2. دو جملۀ \(\tan 2x\) را با اتحاد زاویۀ مضاعف جایگزین کنید. $$\tan x = \frac{\frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x}-\tan x}{1+\frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x} \cdot \tan x} $$
   
3. با ضرب کردن تک تک جملات موجود در صورت و مخرج این کسر در \(1-\tan^2 x\) از این کسر مرکب رهایی یابید. $$
   \tan x = \frac{(\frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x}-\tan x)(1-\tan^2 x)}{(1+\frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x} \cdot \tan x)(1-\tan^2 x)} \\
   \tan x = \frac{(\frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x})(1-\tan^2 x)-\tan x(1-\tan^2 x)}{1(1-\tan^2 x)+(\frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x} \cdot \tan x)(1-\tan^2 x)}
   $$
   
4. این کسرها را ساده کنید. $$
   \require{cancel}
   \tan x = \frac{(\frac{2 \tan x}{\cancel{1-\tan^2 x}})(\cancel{1-\tan^2 x})-\tan x(1-\tan^2 x)}{1(1-\tan^2 x) + (\frac{2\tan x}{\cancel{1-\tan^2 x}} \cdot \tan x)(\cancel{1-\tan^2 x})} \\
   =\frac{2 \tan x-\tan x(1-\tan^2 x)}{1(1-\tan^2 x)+(2 \tan x \cdot \tan x)}
   $$
   
5. توزیع ها را انجام دهید. $$\tan x = \frac{2 \tan x - \tan x + \tan^3 x}{1-\tan^2 x+2 \tan^2 x}$$
   
6. جملات مشابه در صورت و مخرج کسر را ترکیب کنید. $$\tan x = \frac{\tan x+\tan^3 x}{1+\tan^2 x}$$
   
7. صورت کسر را فاکتور بگیرید. سپس این کسر را کاهش دهید. $$\tan x = \frac{\tan x(\cancel{1+\tan^2 x})}{\cancel{1+\tan^2 x}} = \tan x$$
   

فرمول های زوایای متعدد

تنها چالش ویژه که در هنگام کار با اتحادهایی که از چندین زاویه استفاده می کنند در تصمیم گیری اینست که کدام نسخه از \(\cos 2 \theta\) را باید استفاده کنید یا اینکه مجموع زوایا یا مضربی از زوایا را با یکدیگر ترکیب کنید. در اینجا چندین مثال داریم که این وضعیتها را توصیف می کنند.

اتحاد زیر را حل کنید:
$$\frac{\sin 2 \theta + \cos 2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2 + \cot \theta - \tan \theta$$
شما باید تصمیم بگیرید که آیا می خواهید از اتحاد زاویۀ مضاعف استفاده کنید یا از اتحاد جمع زوایا، یعنی از \(\sin(\theta+\theta)\) و \(\cos (\theta+\theta)\) .

1. انتخاب ما زاویۀ مضاعف می باشد: اتحادهای زاویۀ مضاعف را بر روی \(\sin 2\theta\) و \(\cos 2\theta\) بکار ببندید. $$\frac{2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2 + \cot \theta - \tan \theta$$
   انتخاب فرمول برای سینوس یک مشکل نیست، زیرا شما فقط یک گزینه برای انتخاب دارید. با این حال، کسینوس، نیاز به ملاحظاتی دارد. از آنجا که شما هم سینوس و هم کسینوس را در مخرج این کسر دارید، شما نمی خواهید از اتحادهای زاویۀ مضاعف برای کسینوس که در آنها \(1\) باشد، استفاده کنید.
   
   
2. این کسر را بشکنید، هر جمله در صورت این کسر ر ا بر روی مخرج آن بنویسید. $$\frac{2\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} - \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = 2 + \cot \theta - \tan \theta$$
   
3. این کسرها را کاهش دهید. $$
   \require{cancel}
   \frac{2 \cancel{\sin \theta} \cancel{\cos \theta}}{\cancel{\sin \theta} \cancel{\cos \theta}} + \frac{\cos^{\cancel{2}} \theta}{\sin \theta \cancel{\cos \theta}} - \frac{\sin^{\cancel{2}} \theta}{\cancel{\sin \theta} \cos \theta} = 2+\cot \theta - \tan \theta \\
   2 + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 2+\cot \theta - \tan \theta
   $$
   
4. با استفاده از اتحادهای نسبت، این کسرها را با معادل های آنها جایگزین کنید. $$2+\cot \theta - \tan \theta= 2+\cot \theta - \tan \theta$$
   

یافتن یک اتحاد برای زاویه ای با مضربی بزرگتر از \(2\) نیازمند اینست که شما تصمیم بگیرید می خواهید از اتحاد جمع بین زوایا و یا از اتحاد زاویۀ مضاعف استفاده کنید. بهترین رویکرد همواره واضح نیست. گاهی اوقات سایر جملات موجود در معادله سرنخ هایی را به شما می دهند. اغلب اوقات، شما شیر یا خط می اندازید. اتحاد زیر را حل کنید:
$$\sin 4x = 4 \sin x \cos^3 x - 4 \sin^3 x \cos x$$

1. \(\sin 4x\) را به شکل \(\sin(2 \cdot 2x)\) بازنویسی کنید. $$\sin(2 \cdot 2x) = 4 \sin x \cos^3 x - 4 \sin^3 x \cos x$$
   
2. این زاویۀ جدید را در اتحاد زاویۀ مضاعف وارد کنید. $$2 \sin 2x \cos 2x = 4 \sin x \cos^3 x - 4 \sin^3 x \cos x$$
   
3. \(\sin 2x\) و \(\cos 2x\) را با اتحادهای زاویۀ مضاعف جایگزین کنید، بهترین اتحاد کسینوس را برای این وضعیت انتخاب کنید.
   در این مورد، از آنجا که شما تفاضلی از جملات شامل توانهای سوم سینوس و کسینوس را دارید، به نظر می رسد اتحاد کسینوس شامل توانهای دوم سینوس و کسینوس انتخاب خوبی باشد.
   $$2(2 \sin x \cos x)(\cos^2 x - \sin^2 x) = 4 \sin x \cos^3 x - 4 \sin^3 x \cos x$$
   
4. ضربها را انجام دهید. $$2(2 \sin x \cos x)(\cos^2 x - \sin^2 x) = 4 \sin x \cos^3 x - 4 \sin^3 x \cos x \\
   4 \sin x \cos x (\cos^2 x - \sin^2 x) = 4 \sin x \cos^3 x - 4 \sin^3 x \cos x \\
   4 \sin x \cos^3 x - 4 \sin^3 x \cos x= 4 \sin x \cos^3 x - 4 \sin^3 x \cos x
   $$
   

اتحاد نصف زاویه

آخرین نوع اتحاد که می توانید آن را در حل کردن یک اتحاد جای دهید یا مسأله های اتحاد را با آن انجام دهید، اتحاد نصف زاویه می باشد. این اتحاد در واقع در حسابان بسیار سودمند واقع می شود ـــ نه اینکه یک اتحاد نصف زاویه را به زوایایی بزرگتر تبدیل کنید، بلکه زوایای بزرگتر را به اتحادهای نصف زاویه تبدیل کنید. مثالهای این بخش برخی از این امکانات را به شما نشان می دهند.

اتحاد زیر را با استفاده از اتحاد نصف زاویه برای تانژانت حل کنید:
$$\tan \frac{\theta}{2} = \csc \theta - \cot \theta$$
هیچ کدام از سمت ها برای حل کردن این اتحاد زیاد امیدوار کننده به نظر نمی رسند تا اینکه شما متوجه شوید که دو زاویۀ متفاوت دارید ـــ یکی نصف اندازۀ دیگری می باشد. شما نیاز دارید تا اتحاد نصف زاویه را به کار ببندید تا همه چیز را به لحاظ یک زاویه بدست آورید.

1. این اتحاد را برای اتحاد نصف زاویۀ تانژانت جایگزین کنید.
   شما دو نسخۀ متفاوت برای انتخاب دارید:
   $$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} = \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}
   $$
   ساده ترین گزینه برای کار با آن گزینه ای است که دو جمله در صورت آن قرار دارد:
   $$\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} = \csc \theta - \cot \theta$$
   
2. کسر سمت چپ را با قرار دادن هر جمله از صورت آن بر روی مخرج کسر بشکنید. $$\frac{1}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \csc \theta - \cot \theta$$
   
3. دو جملۀ سمت چپ را با استفاده از اتحادهای نسبت و معکوس، با مقادیر معادلشان جایگزین کنید. $$\csc \theta - \cot \theta= \csc \theta - \cot \theta$$
   

آخرین مثال، اتحاد نصف زاویه برای تانژانت، و همچنین نصف زاویه برای یک تابع معکوس را در خود جای داده است. اتحاد زیر را حل کنید:
$$\sin \theta \sec^2 \frac{\theta}{2} = 2 \tan \frac{\theta}{2}$$
در اینجا خواهید دید که کار کردن بر روی هر دو سمت این معادله ضروری خواهد بود.

1. از معکوس اتحاد نصف زاویه برای کسینوس، جهت جایگزینی با نصف زاویۀ سکانت، استفاده کنید.
   تصمیم گیری برای اینکه کدام نسخه از فرمول تانژانت نصف زاویه را استفاده کنید، تا زمان مشخص شدن اینکه کدام نسخه را نیاز دارید، به تعویق بیندازید.
   $$
   \sin \theta \biggl( \frac{1}{\cos\frac{\theta}{2}} \biggr)^2 = 2 \tan \frac{\theta}{2} \\
   \sin \theta \biggl( \frac{1}{\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}}} \biggr)^2 = 2 \tan \frac{\theta}{2}
   $$
   
2. کسر داخل پرانتز را وارون کنید و رادیکال را مربع سازید، جملات را بدون رادیکال رها کنید. $$\sin \theta(\frac{2}{1+\cos \theta}) = 2 \tan \frac{\theta}{2}$$
   
3. اتحاد نصف زاویۀ تانژانت را که مطابق با آنچیزی که در سمت چپ دارید انتخاب نمایید و ساده سازی کنید. $$
   \sin \theta(\frac{2}{1+\cos \theta}) = 2(\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}) \\
   \frac{2\sin \theta}{1+\cos \theta} = \frac{2\sin \theta}{1+\cos \theta}
   $$