خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


توابع معکوس مثلثاتی

توابع معکوس مثلثاتی
نویسنده : امیر انصاری
به همان اندازه که شش تابع مثلثاتی اصلی هیجان انگیز و رضایتبخش هستند، بدون معکوس هایشان کامل نیستند. یک تابع معکوس مثلثاتی (inverse trig function) همانند معکوس هر نوع تابع دیگری عمل می کند ـــ کاری را که تابع اصلی انجام می دهد، خنثی می کند. در ریاضیات، توابع در صورتی می توانند دارای معکوس باشند که یک به یک باشند، به این معنا که هر مقدار خروجی تنها یکبار اتفاق بیفتد. این مفهوم معکوس، هنگامی که در مورد توابع مثلثاتی مطرح می شود نیاز به بررسی بیشتری دارد، زیرا توابع مثلثاتی همچنان که زوایا با هر بار دوران دایره شکل می گیرند، مقادیر تکراری را بارها و بارها تولید می کنند ـــ بنابراین شما به فکر فرو می روید که چگونه این توابع می توانند یک به یک (one-to-one) باشند. اگر در مورد توابع معکوس نیاز به یک یادآوری دارید، به فصل 3 مراجعه کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



کاربرد توابع معکوس مثلثاتی


شما از توابع معکوس مثلثاتی برای حل کردن معادلاتی همچون \(\sin x=\frac{1}{2}\) یا \(\sec x=-2\)، یا \(\tan 2x=1\) استفاده می کنید. در معادلات جبری ساده، شما می توانید با تقسیم کردن هر سمت آن معادله بر ضریب آن یا با اضافه کردن چیز یکسانی به هر دو سمت، و به همین ترتیب، آن معادله را برای بدست آوردن مقدار \(x\) حل کنید. اما نمی توانید این کار را در مورد تابع \(\sin x=\frac{1}{2}\) انجام دهید.

آیا معنایی دارد که هر سمت را بر سینوس (sin) تقسیم کنیم؟ این چیزی است که بدست خواهید آورد:
$$
\frac{\sin x}{\sin} = \frac{\frac{1}{2}}{\sin} \\
x= \frac{\frac{1}{2}}{\sin}
$$
اوه خدای من، نه! این پاسخ احمقانه است.

استفاده از نمادها


استفاده از معکوس ها شما را قادر می سازد تا مقدار \(x\) را در یک تابع مثلثاتی تعیین کنید. یافتن معکوس معادله ای همچون \(\sin x=\frac{1}{2}\) ، بدین معناست که این گزاره را کامل کنید: "\(x\) برابر با زاویه ای است که سینوس آن برابر با \(\frac{1}{2}\) می باشد." به زبان مثلثات، شما این گزاره را به شکل \(x=\sin^{-1}(\frac{1}{2})\) می نویسید. این نماد استاندارد شامل قرار دادن یک \(-1\) در موقعیت بالانویس بلافاصله بعد از نام تابع می باشد. در اینجا چندین مثال بیشتر از معادلات مثلثاتی همراه با معکوس های متناظر آنها را داریم.

تابع
معکوس
معنای آن چیست
\(\sec x=-2\)
\(x=\sec^{-1}(-2)\)
\(x\) زاویه ای است که سکانت آن برابر با \(-2\) می باشد
\(\tan 2x=1\)
\(2x=\tan^{-1}(1)\)
\(2x\) زاویه ای است که تانژانت آن برابر با \(1\) می باشد
\(\cos \theta = 0\)
\(\theta = \cos^{-1}(0)\)
\(\theta\) زاویه ای است که کسینوس آن برابر با \(0\) می باشد
\(\csc \alpha = -1\)
\(\alpha = \csc^{-1}(-1)\)
\(\alpha\) زاویه ای است که کسکانت آن برابر با \(-1\) می باشد

تفسیر کردن این توان


بدون شک پیش از این توان \(-1\) را در عبارتهای ریاضی دیده اید و مورد استفاده قرار داده اید. اما این توان کار متفاوتی را در ارتباط با توابع معکوس مثلثاتی و ارتباطات انجام می دهد. نماد یک تابع معکوس مثلثاتی همچون \(\tan^{-1} x\) بدین معناست که شما یک معکوس (inverse) برای آن عبارت می خواهید. دقت کنید که معکوس (inverse) را با کسرمتقابل (reciprocal) اشتباه نکنید، زیرا معمولاً به هر دوی اینها تحت نام معکوس اشاره می شود. اگر شما واقعاً کسرمتقابل یک تانژانت، یعنی \(\frac{1}{\tan x}\) را بخواهید، آن را همراه با یک جفت پرانتز به شکل \((\tan x)^{-1}\) می نویسید. مسلماً کسرمتقابل یک تانژانت برابر با کتانژانت می باشد. این توان \(-1\) جایی است که در آن نماد توان برای توابع مثلثاتی یک استثناء بزرگ را ایجاد می کند.

هنگامی که توابع مثلثاتی را به توانی می رسانید، \(\sin^2 x = (\sin x)^2\) و \(\cos^4 x=(\cos x)^4\)، اما \(\tan^{-1} \) به معنای تابع معکوس می باشد، و نه به توان \(-1\) رساندنِ \(\tan x\) .

نماد جایگزین


معکوس های توابع مثلثاتی دارای یک نماد جایگزین می باشند که از به اشتباه گرفتن آنچه که بالانویس \(-1\) معنا می دهد، جلوگیری می کند: نام arc (آرک). روش دیگری برای گفتن \(\sin^{-1} x\) اینست که بگوییم \(\arcsin x\) .معکوس کسینوس برابر با \(\cos^{-1} x\) یا \(\arccos x\) می باشد. سایر توابع معکوس مثلثاتی عبارت از \(\arctan x\)، \(\text{arccsc } x\)، \(\text{arcsec } x\)، و \(\text{arccot } x\) می باشند. نگارش این نماد، طولانی تر و گاهی اوقات مشکلتر است، بنابراین نماد اصلی بالانویس معمولاً ترجیح داده می شود. با این حال، شما توابع معکوس را در هر دوی این اشکال خواهید دید.

تمایز قائل شدن بین اندک و بسیار


به لحاظ فنی، مفروض بر اینست که یک تابع معکوس فقط یک پاسخ دارد. (بخشی از تعریف معکوس اینست که یک تابع و معکوس آن یک به یک می باشند.) هر ورودی یک خروجی، و هر خروجی یک ورودی دارد. برای مطابقت دادن تمامی کاربردهای عملیِ معکوس های مثلثاتی، شما یک روش برای دور زدن این قانون دارید. شما می توانید تعیین کنید که آیا یک پاسخ می خواهید یا تعداد زیادی پاسخ را می جویید، برای بدست آوردن یک پاسخ از تابع معکوس (inverse function) و برای بدست آوردن تعداد زیادی پاسخ از رابطۀ معکوس (inverse relation) استفاده می کنید. یک رابطه (relation) اندکی بی قاعده تر از یک تابع (function) می باشد؛ رابطه اجازه می دهد تا بیش از یک ورودی برای رسیدن به خروجی یکسان داشته باشیم. برای تمایز قائل شدن بین این دو نهاد، من از یک حرف بزرگ الفبا برای نام یک تابع و یک حرف کوچک الفبا برای رابطۀ متناظر آن استفاده کرده ام.

توابع مثلثاتی
روابط مثلثاتی
\(\text{Sin}^{-1} x \text{ or } \text{Arcsin } x\)
\(\sin^{-1} x \text{ or } \arcsin x\)
\(\text{Cos}^{-1} x \text{ or } \text{Arccos } x\)
\(\cos^{-1} x \text{ or } \arccos x\)
\(\text{Tan}^{-1} x \text{ or } \text{Arctan } x\)
\(\tan^{-1} x \text{ or } \arctan x\)
\(\text{Cot}^{-1} \text{ } x \text{ or } \text{Arccot } x\)
\(\cot^{-1} x \text{ or } \text{arccot } x\)
\(\text{Sec}^{-1} \text{ } x \text{ or } \text{Arcsec } x\)
\(\sec^{-1} x \text{ or } \text{arcsec } x\)
\(\text{Csc}^{-1} \text{ } x \text{ or } \text{Arccsc } x\)
\(\csc^{-1} x \text{ or } \text{arccsc } x\)

اگر تابع \(\text{Sin}^{-1} \text{ }(\frac{1}{2})\) را ارزیابی کنید، نتیجه برابر با \(30\) درجه (یا \(\frac{\pi}{6}\) رادیان) خواهد بود. صرفاً یک پاسخ موجود خواهد بود که مقدار اصلی (principal value) این معکوس نامیده می شود. اما اگر \(\sin^{-1}(\frac{1}{2})\) را بنویسید، آن گاه نتیجه می تواند \(30\) درجه، \(150\) درجه، \(390\) درجه، \(510\) درجه، و به همین ترتیب (یا \(\frac{\pi}{6}\)، \(\frac{5\pi}{6}\)، \(\frac{13\pi}{6}\)، \(\frac{17\pi}{6}\)، \(\frac{25\pi}{6}\)، \(\frac{29\pi}{6}\) و ...) باشد. همه چیز بستگی به شرایط دارد ـــ که در آن لحظه چه می خواهید. آیا شما فقط مقدار اصلی را می خواهید، یا اینکه مقادیر متعدد را می خواهید؟ و یا اینکه ممکن است گروهی از مقادیر درون یک دوران کامل ـــ از \(0\) تا \(360\) درجه ـــ را می خواهید.

هنگامی که زوایا یا پاسخهای بسیاری زیادی را می خواهید، لیست کردن همۀ آنها می تواند خسته کننده باشد. در واقع، لیست کردن تمامی پاسخهای ممکن، می تواند غیرممکن باشد. به جای اینکه یک لیست بسازید، می توانید یک قاعده (rule) بسازید، که شما را قادر سازد تا یک زاویه را با تمامی مضربهای دوران های کامل آن ـــ زوایایی با ضلع نهایی یکسان ـــ تعریف کنید.

اجازه دهید \(n\) نشان دهندۀ هر عدد صحیحی \(\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}\) باشد. با استفاده از \(n\) به عنوان یک مضرب، شما می توانید یک لیست طولانی از زوایا را به صورت کارآمدتر بنویسید. به جای اینکه بگویید \(x=30,150,390,510,750,870,...\) ، این لیست را به دو گروه تقسیم کنید: \(x=30;390;750;1110;...\) ؛ و \(x=150;510;870;1230;...\) ؛ و سپس از دو قاعدۀ زیر استفاده کنید:
$$x=30+360n \text{ or } x=150+360n$$

همچنین در واحد رادیان، به جای اینکه بگویید \(x=\frac{\pi}{6},\frac{13\pi}{6},\frac{25\pi}{6},...\) یا \(x=\frac{5\pi}{6},\frac{17\pi}{6},\frac{29\pi}{6},...\) ، از این دو قاعده برای نشان دادن اینها استفاده کنید:
$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \text{ or } x = \frac{5\pi}{6} + 2 \pi n$$
در اینجا مثالی داریم که به شما نشان می دهد چگونه تمامی زاویایی که دارای کسینوس \(\frac{1}{2}\) می باشند را بنویسید. این مراحل شامل حل کردن رابطۀ معکوس می باشند، و نه صرفاً یافتن مقدار اصلی برای آن تابع. معادلۀ زیر را برای بدست آوردن مقادیری که آن را برآورده سازد، حل کنید:
$$x=\cos^{-1} \biggl( \frac{1}{2} \biggr)$$
  1. چندین پاسخ را هم در واحد درجه و هم در واحد رادیان لیست کنید. $$
    \cos^{-1}\biggl(\frac{1}{2}\biggr) = 60^{\circ},300^{\circ},420^{\circ},660^{\circ},780^{\circ},1020^{\circ},... \\
    \cos^{-1}\biggl(\frac{1}{2}\biggr) = \frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3},\frac{7\pi}{3},\frac{11\pi}{3},\frac{13\pi}{3},\frac{17\pi}{3},...
    $$
  2. پاسخها در واحد درجه را با استفاده از دو زاویۀ اول بعلاوۀ مضربهایی از \(360\) درجه بنویسید. $$\cos^{-1}\biggl(\frac{1}{2}\biggr) = 60^{\circ}+360^{\circ}n \text{ or } \cos^{-1}\biggl(\frac{1}{2}\biggr) = 300^{\circ}+360^{\circ}n$$
  3. پاسخها در واحد رادیان را با استفاده از دو زاویۀ اول بعلاوۀ مضربهایی از \(2\pi\) بنویسید. $$\cos^{-1}\biggl(\frac{1}{2}\biggr) = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n \text{ or } \cos^{-1}\biggl(\frac{1}{2}\biggr) = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n$$

نوشتن تمامی زوایای ممکن برای معکوس تانژانت اندکی آسانتر از سینوس و کسینوس است. تانژانت در اولین و سومین ربع صفحه، که به صورت مورب روبروی هم می باشند (نصف یک دوران کامل)، مثبت می باشد. به دلیل این واقعیت، زوایایی که دارای مقدار تابع یکسانی می باشند \(180\) درجه جدا از هم می باشند، و شما می توانید از مضربهای زیبای \(180\) درجه یا \(\pi\) برای نامگذاری تمام این پاسخها استفاده کنید. با این حال، در مورد سینوس و کسینوس، اینگونه نیست. زوایای دارای مقادیر تابع یکسان در ربع صفحه هایی که مجاور یکدیگر می باشند قرار دارند، بنابراین شما باید از دو قانون جداگانه برای نامگذاری تمامی پاسخها استفاده کنید ـــ هر دوی آنها دارای مضربهایی از \(360\) درجه می باشند.

در اینجا چگونگی نوشتن تمامی زاوایایی که دارای تانژانتی برابر با \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\) هستند را می بینید. معادلۀ زیر را برای بدست آودن مقادیری که آن را برآورده می سازند، حل کنید:
$$x=\tan^{-1}\biggl(-\frac{\sqrt{3}}{3}\biggr)$$
  1. چندین پاسخ را هم در واحد درجه و هم در واحد رادیان لیست کنید. $$
    \tan^{-1}\biggl( -\frac{\sqrt{3}}{3} \biggr) = 150^{\circ},330^{\circ},510^{\circ},690^{\circ},... \\
    \tan^{-1}\biggl( -\frac{\sqrt{3}}{3} \biggr) = \frac{5\pi}{6},\frac{11\pi}{6},\frac{17\pi}{6},\frac{23\pi}{6},...
    $$
  2. پاسخها در واحد درجه را با استفاده از مضربهایی از \(180\) بنویسید. $$\tan^{-1}\biggl( -\frac{\sqrt{3}}{3} \biggr) = 150^{\circ}+180^{\circ}n$$
  3. پاسخها در واحد رادیان را با استفاده از مضربهایی از \(\pi\) بنویسید. $$\tan^{-1}\biggl( -\frac{\sqrt{3}}{3} \biggr) = \frac{5\pi}{6}+\pi n$$


با معرفی سایت خوش آموز به دوستان و همکلاسی هایتان از ما حمایت کنید.

نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.