تابعی که دارای معکوس می باشد به ازاء هر ورودی (که متعلق به دامنۀ آن است) دقیقاً یک خروجی (که متعلق به برد آن است) دارد، و برعکس. برای اینکه توابع معکوس مثلثاتی را با این تعریف منطبق نگهدارید، شما باید بُردهایی را برای آنها تعیین کنید که مراقب تمامی مقادیر ورودی باشند و هیچ تکراری در آنها نباشد. مقادیر خروجیِ توابع معکوس مثلثاتی همگی زوایا می باشند ـــ در واحد درجه یا رادیان ـــ و آنها پاسخ این پرسش می باشند که "چه زاویه ای این عدد را به من می دهد؟" به طور کلی، زوایای خروجی برای هر تابع معکوس مجزا جفت زوایایی در ربع صفحه های اول و دوم یا زوایایی در ربع صفحه های اول و چهارم می باشند. این ربع صفحه ها برای توابع معکوس مثلثاتی به این دلیل اینگونه انتخاب شده اند که جفت هایی که در ربع صفحه های مجاور می باشند، هم ورودی های مثبت و هم ورودی های منفی را ممکن می سازند. نماد این توابع معکوس از حرف بزرگ الفبا استفاده می کند (در بخش قبلی در موردش توضیح دادیم).

تابع سینوس معکوس (Inverse sine function)

دامنۀ \(\text{Sin}^{-1} x\) یا \(\text{Arcsin } x\) ، از \(-1\) تا \(1\) می باشد. در نماد ریاضی، این دامنه یا مقادیر ورودی، \(x\) ها، در عبارت \(-1 \le x \le 1\) می گنجند، زیرا تفاوتی نمی کند چه اندازۀ زاویه ای را درون تابع سینوس قرار دهید، همواره خروجی این تابع بین \(-1\) و \(1\) قرار دارد، و شامل خود این دو عدد نیز می باشد. بُرد یا خروجیِ \(\text{Sin}^{-1} x\) شامل تمامی زوایای بین \(-90\) تا \(90\) درجه، یا در واحد رادیان بین \(-\frac{\pi}{2}\) تا \(\frac{\pi}{2}\) می باشد. از آنجا که خروجی تابع سینوس معکوس زاویه ای مانند \(\theta\) می باشد، این برد را به شکل \(-90^{\circ} \le \theta \le 90^{\circ}\) یا \(-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}\) می نویسید. خروجی های تابع سینوس معکوس، شامل زوایایی در ربع صفحه های مجاور اول و چهارم می باشند، زیرا سینوس در ربع صفحۀ اول مثبت و در ربع صفحۀ چهارم منفی می باشد. آن زوایا تمامی مقادیر ورودی را پوشش می دهند ـــ مقادیر توابع آنها نشان دهندۀ تمامی اعداد بین \(-1\) تا \(1\) می باشند.

تابع کسینوس معکوس (Inverse cosine function)

دامنۀ \(\text{Cos}^{-1} x\) یا \(\text{Arccos } x\)، درست مانند تابع سینوس معکوس، از \(-1\) تا \(1\) می باشد. بنابراین مقادیر \(x\) (یا ورودی) برابر با \(-1 \le x \le 1\) می باشد. بُرد \(\text{Cos}^{-1} x\) عبارت از همۀ زوایای بین \(0\) تا \(180\) درجه، یا در واحد رادیان از \(0\) تا \(\pi\) می باشد. از آنجا که خروجی کسینوس معکوس برخی زوایای \(\theta\) می باشند، شما این عبارت را برای بُرد به شکل \(0^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}\) یا \(0 \le \theta \le \pi\) می نویسید. این خروجی ها زوایایی در ربع صفحه های مجاور اول و دوم می باشند، زیرا کسینوس در ربع صفحۀ اول مثبت و در ربع صفحۀ دوم منفی می باشد. آن زوایا تمامی مقادیر ورودی ممکن برای این تابع را پوشش می دهند.

تابع تانژانت معکوس (Inverse tangent function)

دامنۀ \(\text{Tan}^{-1} x\) یا \(\text{Arctan } x\)، عبارت از تمامی اعداد حقیقی می باشد ـــ اعداد بین \(-\infty\) تا \(\infty\) . این بدین دلیل است که خروجی تابع تانژانت، معکوس این تابع، شامل تمامی اعداد می باشد. بُرد یا خروجی \(\text{Tan}^{-1} x\) عبارت از زوایای بین \(-90\) و \(90\) درجه، یا در واحد رادیان بین \(-\frac{\pi}{2}\) و \(\frac{\pi}{2}\) می باشد. یک نکتۀ مهم اینست که این بُرد شامل آن زوایای آغازین و پایانی نمی شود؛ تابع تانژانت برای \(-90\) یا \(90\) درجه ، تعریف نشده است. برد \(\text{Tan}^{-1} x\) شامل تمامی زوایایِ ربع صفحه های مجاور اول و چهارم، به استثناء دو زاویه ای که ضلع نهایی شان بر روی محور \(y\) قرار گرفته اند، می باشد.

تابع کتانژانت معکوس (Inverse cotangent function)

دامنۀ \(\text{Cot}^{-1} x\) یا \(\text{Arccot } x\) با تابع تانژانت معکوس یکسان است. این دامنه شامل تمامی اعداد حقیقی می باشد. با این حال، بُرد آن متفاوت می باشد ـــ شامل تمامی زوایای بین \(0\) تا \(180\) درجه یا بین \(0\) تا \(\pi\) می باشد. بنابراین هر زاویه ای در ربع صفحۀ اول و دوم در این بُرد قرار دارد، به استثنای آنهایی که ضلع نهایی شان بر روی محور \(x\) قرار دارد. آن دو زاویه در دامنۀ تابع کتانژانت قرار ندارند (فصل 8 را ببینید)، بنابراین آنها در بُرد این تابع معکوس نمی باشند.

تابع سکانت معکوس (Inverse secant function)

دامنۀ \(\text{Sec}^{-1} x\) یا \(\text{Arcsec } x\) عبارت از تمامی اعداد از \(1\) رو به بالا بعلاوۀ تمامی اعداد از \(-1\) رو به پایین می باشد. اگر \(x\) را به عنوان ورودی این تابع در نظر بگیرید، این عبارت را برای این دامنه به شکل \(x \ge 1 \text{ or } x \le -1\) می نویسید. به عبارت دیگر، این دامنه شامل تمامی اعداد از \(-\infty\) تا \(\infty\) می باشد، به استثناء اعداد بین \(-1\) و \(1\) . بُرد \(\text{Sec}^{-1} x\) شامل تمامی زوایا از \(0\) تا \(180\) درجه یا در واحد رادیان از \(0\) تا \(\pi\) می باشد ـــ بدین معنا که تمامی زوایای موجود در ربع صفحه های اول و دوم به استثناء زاویۀ \(90\) درجه یا \(\frac{\pi}{2}\) را شامل می گردد.

تابع کسکانت معکوس (Inverse cosecant function)

دامنۀ \(\text{Csc}^{-1} x\) یا \(\text{Arccsc } x\) با تابع سکانت معکوس یکسان می باشد، تمامی اعداد از \(1\) رو به بالا بعلاوۀ تمامی اعداد از \(-1\) رو به پایین. با این حال، بُرد آن متفاوت می باشد ـــ شامل تمامی زوایا از \(-90\) تا \(90\) درجه یا در واحد رادیان از \(-\frac{\pi}{2}\) تا \(\frac{\pi}{2}\) می گردد. به طور مختصر، این بُرد شامل تمامی زوایای ربع صفحۀ اول و چهارم، به استثناء زاویۀ \(0\) درجه یا \(0\) رادیان می شود.

خلاصۀ دامنه و برد توابع معکوس مثلثاتی

گاهی اوقات نگاه کردن به یک جدول یا خلاصه ای از دامنه ها و بردهای توابع معکوس مثلثاتی از مطالعه در مورد آنها آموزنده تر است. نگاهی به جدول 1-15 بیندازید. شما باید متوجه برخی الگوها شوید ـــ برخی شباهتها و تفاوتها. بردهای سه تا از این توابع در ربع صفحه های اول و دوم قرار دارند، و برد سه تابع دیگر در ربع صفحۀ اول و چهارم قرار دارد. توابع سینوس و کسکانت که کسرمتقابل یکدیگرند از ربع صفحه های یکسانی استفاده می کنند. این مطلب در مورد کسینوس و سکانت که کسرمتقابل یکدیگرند نیز صدق می کند. با این حال تانژانت و کتانژانت که آنها نیز کسرمتقابل یکدیگرند، از ربع صفحه های یکسانی استفاده نمی کنند.