در فصل 15 شش تابع معکوس مثلثاتی را به شما معرفی کردم. همانند بسیاری از معارفه ها به چیزهای جدید، مدتی زمان می برد تا نام اشخاص را از روی چهره شان بیاد بیاورید (یا در این مورد، ویژگیها را به یاد آورید). از سوی دیگر، این فصل شما را به صورت عمیقتر وارد دنیای معکوس ها می کند و چگونگی کارکرد معکوس توابع مثلثاتی را به شما نشان می دهد. شما همچنین خواهید دید چرا باید خودتان را آزار دهید تا اسامی را همراه با ویژگی های خوب و بدشان بیاموزید.

کار کردن با معکوس ها

ساده ترین روش برای کار کردن با توابع معکوس مثلثاتی اینست که یک جدول سودمند همراه با مقادیر دقیق توابع، داشته باشید که می توانید چنین جدولی را در پیوست این کتاب بیابید. هنگامی که با زوایایی غیر از زوایای رایج و پرکاربرد درگیر می شوید، می توانید یا از جدولی مشابه آنچه که در پیوست این کتاب هست استفاده کنید و یا اینکه ماشین حساب علمیِ راحت و سودمندتان را بیرون بکشید.

اولین مثال در ارزیابی معکوس ها، از مقدار دقیق موجود در یک جدول استفاده می کند. پاسخ عبارت زیر را بیابید:
$$\cos^{-1}\biggl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\biggr)$$

1. با استفاده از قدرمطلق ورودی، زاویۀ مرجع (reference angle) مورد نیازتان را تعیین کنید.
   مقدار \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) برابر با کسینوس \(45\) درجه یا \(\frac{\pi}{4}\) رادیان می باشد.
   
   
2. از علامت این ورودی برای تعیین ربع صفحۀ صحیح استفاده کنید.
   از آنجا که \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) منفی می باشد، و از دو ربع صفحۀ مربوط به بُرد آن (به جدول 1-15 مراجعه کنید)، کسینوس در ربع صفحۀ دوم (\(QII\)) منفی می باشد، این پاسخ زاویه ای در \(QII\) که زاویۀ مرجع آن برابر با \(45\) درجه است، می باشد.
   
   
3. اندازۀ صحیح این زاویه را تعیین کنید.
   زاویه ای در موقعیت استاندارد که در \(QII\) قرار داشته باشد و زاویۀ مرجع آن برابر با \(45\) درجه باشد، برابر با \(180-45=35\) یا \(\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\) می باشد. بنابراین \(\cos^{-1} \biggl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\biggr) = 135^{\circ}\) یا \(\frac{3\pi}{4}\) می باشد. (برای یادآوری اطلاعات بیشتر در مورد زوایای مرجع به فصل 8 مراجعه کنید.)
   

مثال بعدی شامل کتانژانت معکوس می باشد. عبارت زیر را حل کنید:
$$\cot^{-1} \biggl(\sqrt{3}\biggr)$$

1. زاویۀ مرجعی را که نیاز دارید تعیین کنید.
   مقدار \(\sqrt{3}\) برابر با کتانژانت \(30\) درجه یا \(\frac{\pi}{6}\) می باشد. شما می توانید آن را از حافظه تان بازیابی کنید یا اینکه به جدول پیوست کتاب مراجعه نمایید.
   
   
2. از علامت ورودی برای تعیین ربع صفحۀ صحیح استفاده کنید.
   از آنجا که کتانژانت در \(QI\) مثبت می باشد، پس پاسخ زاویه ای در \(QI\) می باشد که زاویۀ مرجع آن برابر با \(30\) درجه یا \(\frac{\pi}{6}\) است.
   
   
3. اندازۀ صحیح زاویه را تعیین کنید.
   تمامی زوایا در \(QI\) با زاویۀ مرجعشان یکسان می باشند، بنابراین:
   $$\cot^{-1}\biggl(\sqrt{3}\biggr) = 30^{\circ} \text{ or } \frac{\pi}{6}$$
   

مسائلی که با آنها مواجه می شوید همیشه شامل اعداد زیبا از زوایای رایج نیستند. هنگامی که با یک مقدار اعشاری زشت مواجه شدید، ممکن است بخواهید از یک جدول استفاده کنید. در مثال بعدی با یک مقدار اعشاری کار را آغاز می کنید؛ یک پاسخ به نزدیکترین جواب مناسب. ارقام اعشاری در مثال پیش رو تا سه رقم اعشار گرد شده اند. برای انجام این مسأله، شما نزدیکترین پاسخ ممکن را می یابید. پاسخ عبارت زیر را بیابید:
$$\text{Arctan }(-3.732)$$

1. زاویۀ مرجعی را که نیاز دارید، تعیین کنید.
   با استفاده از پیوست کتاب، می توانید ببینید که مقدار \(3.732\) با تانژانت \(75\) درجه متناظر می باشد. این زاویه نزدیکترین زاویه به داشتن تانژانت \(3.732\) می باشد.
   
   
2. از علامت ورودی برای تعیین ربع صفحۀ صحیح استفاده کنید.
   از آنجا که \(-3.732\) منفی می باشد، پاسخ زاویه ای در \(QIV\) با اندازۀ زاویۀ مرجع \(75\) درجه می باشد.
   
   
3. اندازۀ صحیح این زاویه را تعیین کنید.
   در \(QIV\) ، یک زاویه با زاویۀ مرجع \(75\) درجه، دارای اندازه ای معادل با \(-75\) درجه یا در حالت مثبتش برابر با \(285\) درجه می باشد. از آنجا که بُرد \(\text{Arctan } x\) تنها می تواند بین \(-90^{\circ}\) و \(90^{\circ}\) باشد، انتخاب ما \(-75\) درجه خواهد بود. بنابراین:
   $$\text{Arctan }(-3.732) = \text{Tan}^{-1} (-3.732) = -75^{\circ}$$
   

اگر این پاسخ را در واحد رادیان می خواهید، از فرمول موجود در فصل 5 استفاده کنید: \(\frac{\theta^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{\theta^{R}}{\pi}\) . شما از این فرمول برای یافتن زاویۀ منفی یا زاویۀ مثبت استفاده می کنید و سپس از مقداری جبر برای یافتن دیگری استفاده می کنید. معادل رادیان \(-75^{\circ}\) را بیابید:
$$
\frac{-75^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{\theta^{R}}{\pi} \\
\frac{-5^{\circ}}{12} = \frac{\theta^{R}}{\pi} \\
\frac{-5^{\circ}}{12} \pi = \theta^{R}
$$