خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


توابع معکوس مثلثاتی در ماشین حساب

توابع معکوس مثلثاتی در ماشین حساب
نویسنده : امیر انصاری
ماشین حسابهای علمی (Scientific calculators) ابزارهای فوق العاده ای هستند ـــ آنها زندگی را ساده تر می کنند و کیفیت (صحت) نتایج را افزایش می دهند. در بیشتر موارد، محاسبۀ توابع معکوس مثلثاتی با یک ماشین حساب سریع و آسان است. با این حال، لازم است که از برخی مشکلات آگاه باشید.

آموزش سالیدورکز 20-2019



تغییر دادن حالت (mode)


ماشین حسابهای علمی بسیار انطباق پذیر هستند ـــ آنها بسته به اینکه در چه حالتی (mode) تنطیمشان کرده باشید، نتایج را در واحد درجه و یا در واحد رادیان به شما می دهند. این ویژگی عالی است، اما گاهی اوقات حتی بهترین ریاضیدانان را نیز به اشتباه می اندازد. هر ماشین حساب با دیگری فرق می کند، اما آنها همیشه یا یک دکمۀ خاص و یا چندین دکمه برای تعویض حالت از رادیان به درجه و بازگشت به حالت اول دارند ـــ چیزی شبیه یک کلید خاموش و روشن. حتی بعضی از ماشین حسابها در قسمت بالا یا پایین صفحه نمایششان دارای علائم و اختصاراتی برای نشان دادن این حالت، مثلاً به صورت نماد R یا D هستند. هنگامی که از ماشین حسابتان برای بیش از یک کار استفاده می کنید، مستعد بوجود آمدن اینگونه مشکلات می شود. شاید شما هم مثلثات و هم فیزیک را مطالعه می کنید و یکی از فراخوانی های شما نیاز به حالت درجه و فراخوانی دیگر شما نیاز به حالت رادیان داشته باشد. همواره آگاه باشید، تا دچار این خطا نشوید.

تفسیر نمادهای روی ماشین حساب


نمادهای روی دکمه های ماشین حساب، قدری مهارت آمیز است. با وجود اینکه بالانویس \(-1\) بر روی دفتر و کتاب، نشان دهندۀ یک تابع معکوس مثلثاتی می باشد، شما نمی توانید از دکمۀ \(-1\) در ماشین حساب، برای یافتن مقدار یک تابع معکوس مثلثاتی استفاده کنید. در ماشین حسابهای علمی، دکمۀ \(-1\) یا دکمۀ \(x^{-1}\) به معنای یافتن کسر متقابل یک عدد می باشد. در کارکردهای دوم دکمه ها، که کارکردها یا عملیاتهای متفاوتی که نوشته شده بالای دکمه ها هستند، دنبال توابع معکوس مثلثاتی بگردید. آنها معمولاً بر روی دکمه های سینوس، کسینوس، و تانژانت می باشند. برخی ماشین حسابها دکمه ای به نام "\(2nd\)" (دومین) دارند، برخی دیگر از رنگهای متناوب استفاده می کنند ـــ اغلب زرد، قرمز، یا سبز ـــ تا کارکرد دوم دکمه ها را نشان دهند.

حتی هنگامیکه توابع معکوس را می یابید، متوجه می شوید که آنها تنها برای سه تابع مثلثاتی اصلی وجود دارند. ماشین حساب چیزی برای نشان دادن کسکانت، سکانت، یا کتانژانت ندارد. پس آنها کجا هستند؟ ابتدا، چگونگی استفاده از سه دکمۀ موجود را به شما نشان می دهم؛ سپس به شما می گویم که چگونه سه معکوس دیگر را محاسبه کنید.

استفاده از دکمۀ تابع معکوس


برای توصیف این دکمه، از یک مثال استفاده می کنم. در اینجا چگونگی یافتن \(\sin^{-1}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)\) در واحد درجه و با استفاده از یک ماشین حساب علمی را به شما نشان می دهم.

  1. تصمیم بگیرید که آیا پاسختان را در واحد درجه یا در واحد رادیان می خواهید.
    برای این مثال، از منوی mode یا هر روش دیگری که ماشین حساب شما برای تغییر دادن حالت به درجه (degrees) دارد، استفاده کنید.

  2. مسأله را به شکل داده شده وارد کنید.
    در اینجا یک روش معمول فشردن کلیدها را می بینید:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{2nd} & \sin & 0.5&\text{Enter} \\ \hline
    \end{array}$$
    نتیجه، \(30\)، به معنای \(30\) درجه خواهد بود.

اکنون ببینید اگر بخواهید \(\sin^{-1}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)\) را در واحد رادیان، با استفاده از همان ماشین حساب، بیابید، چه اتفاقی می افتد.

  1. شما تصمیم می گیرید که پاسختان را در واحد رادیان می خواهید.
    از دکمۀ mode یا هر روش دیگری که در ماشین حسابتان فراهم شده است برای تغییر حالت به رادیان استفاده کنید.

  2. مسأله را به شکل داده شده وارد کنید.
    در اینجا یک روش معمول فشردن کلیدها را می بینید:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{2nd} & \sin & 0.5&\text{Enter} \\ \hline
    \end{array}$$
    در ماشین حساب من نتیجه برابر با \(0.5235987756\) می باشد. این در واحد رادیان است. اگر یک رادیان در حد.د \(57\) درجه باشد، و این مقدار اعشاری بیش از نیم باشد، سپس این پاسخ چیزی نزدیک \(30\) درجه خواهدبود ـــ که شما از روی مسألۀ قبل می دانید. اما اگر مسألۀ قبلی را انجام نداده باشید چکار می کنید؟

  3. \(\pi\) بر روی این مقدار اعشاری تقسیم کنید.
    در مکان های اعشاری مضایقه نکنید. از ماشین حسابتان استفاده کنید و این مقادیر را وارد کنید:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \pi & \div & 0.5235987756 & \text{Enter} \\ \hline
    \end{array}$$
    یا من در ماشین حسابم از دکمه های زیر استفاده می کنم:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \pi & \div & \text{Ans} & \text{Enter} \\ \hline
    \end{array}$$
    در ماشین حساب من \(\text{Ans}\) نتیجۀ آخرین محاسبات را نشان می دهد. نتیجه \(6\) می باشد؛ \(6\) مخرج قرار گرفته زیر \(\pi\) می باشد، که نشان دهندۀ مقدار رادیان برابر با \(0.5235987756\) است. بنابراین، این پاسخ در واحد رادیان به لحاظ \(\pi\) برابر با \(\frac{\pi}{6}\) می باشد.

محاسبۀ معکوس یک تابع معکوس (کسرمتقابل)


برای تعیین معکوس یک تابع کسرمتقابل، همانند \(\text{Cot}^{-1} (2)\) یا \(\text{Sec}^{-1}(-1)\)، شما باید مسأله را به کسرمتقابل تابع تبدیل کنید ـــ یکی از سه تابع اصلی ـــ و سپس از دکمۀ مناسب معکوس کردن استفاده کنید.

هنگامی که تابعی را به کسرمتقابلش تبدیل می کنید، ورودی آن تابع را نیز وارون می نمایید. به عنوان مثال، \(\text{Cot}^{-1}(2)\) به \(\tan^{-1}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)\) تبدیل می شود. شما \(\sec^{-1}\biggl(\frac{2}{\sqrt{3}}\biggr)\) را به \(\cos^{-1}\biggl(\frac{\sqrt{3}}{2}\biggr)\)، و \(\text{Csc}^{-1}(1)\) را به \(\text{Sin}^{-1}(1)\) تبدیل می کنید، و به همین ترتیب.

به عنوان مثال، مقدار \(\text{Sec}^{-1} (-1.1547)\) را بیابید. این بار پاسخ را در واحد درجه بیابید.

  1. این تابع را به لحاظ کسرمتقابل (reciprocal) آن بازنویسی کنید.
    با استفاده از ماشین حسابتان کسرمتقابل \(-1.1547\) را بیابید.
    $$$$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    -1.1547 & x^{-1} & \text{Enter} \\ \hline
    \end{array}$$$$
    نتیجه برابر با \(-0.8660258076\) می باشد. تنها از چهار رقم اعشار اول در کارتان استفاده کنید.
    $$\text{Sec}^{-1}(-1.1547) = Arccos(-0.8660)$$
  2. مسأله را وارد کنید. $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{2nd} & \cos & -0.8660 & \text{Enter} \\ \hline
    \end{array}$$
    ماشین حساب پاسخ \(149.9970891\) را به شما می دهد. این در واقع یک زاویۀ \(150\) درجه می باشد. گرد کردن اعداد اعشاری اندکی خطا تولید می کند. شما می توانید با یافتن کسینوس \(150\) درجه با استفاده از ماشین حسابتان و سپس یافتن معکوس آن، کارتان را درست آزمایی کنید. همچنین مقدار دقیق \(\cos(150)\) درجه برابر با \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) می باشد، که مقدار معادل اعشاری آن \(0.8660254038\) است.

پیدا کردن راه حلی برای مشکل کتانژانت معکوس


خطای بزرگ دیگری که در هنگام کار کردن با یک ماشین حساب علمی با آن مواجه می شوید شامل کتانژانت معکوس می باشد. تانژانت معکوس، \(\text{Tan}^{-1} x\)، دارای بُردی در \(QI\) و \(QIV\) می باشد، اما \(\text{Cot}^{-1} x\) دارای بُردی در \(QI\) و \(QII\) است. به عنوان مثال، اگر \(\cot^{-1}(-\sqrt{3})\) را بخواهید، و برای این منظور از \(\tan^{-1}\biggl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr)\) در ماشین حسابتان استفاده کنید، به پاسخی در ربع صفحۀ چهارم می رسید. باید آگاه باشید که این ربع صفحه صحیح نمی باشد؛ شما به این دلیل به این خطا برخورد کرده اید که تابع را از کتانژانت به تانژانت تغییر داده اید تا بتوانید از ماشین حسابتان استفاده کنید. با این حال هنوز هم بهترین روش حل این مسأله همین است. کافیست از پاسخ ماشین حساب استفاده کنید و زاویۀ متناظر با آن را در \(QII\) تعیین نمایید. در اینجا مثالی داریم:

\(\cot^{-1}\biggl(-\sqrt{3}\biggr)\) را در واحد درجه بیابید.

  1. حالت (mode) را به درجه تنظیم کنید.

  2. این تابع و مقدار آن را به کسرهای متقابلشان تغییر دهید.
    \(\cot^{-1}\biggl(-\sqrt{3}\biggr)\) به \(\tan^{-1}\biggl(-\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr)\) تبدیل می شود.

  3. مقدار این تابع معکوس را با استفاده از یک ماشین حساب بیابید.
    ورودی شما اینگونه خواهد بود:
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{2nd} & \tan & (-)1/\sqrt{3} & \text{Enter} \\ \hline
    \end{array}$$
    در برخی از ماشین حسابها، پرانتزها به صورت اتوماتیک ظاهر می شوند تا مقدار تانژانت را در آنها وارد کنید. اگر اینطور نشود، شما خودتان باید در اطراف کسرتان پرانتزها را وارد کنید. نتیجه برابر با \(-30\) درجه خواهد بود. توجه داشته باشید که این زاویه در \(QIV\) قرار دارد، و شما برای کتانژانت معکوس \(QII\) را می خواهید.

  4. زاویه ای در \(QII\) را بیابید که زاویۀ مرجع آن با این زاویه بدست آمده یکسان باشد.
    زاویه ای در \(QII\) که زاویۀ مرجعش برابر با \(30\) درجه باشد، یک زاویۀ \(150\) درجه می باشد. بنابراین:
    $$\cot^{-1}\biggl(-\sqrt{3}\biggr)=150^{\circ}$$


با معرفی سایت خوش آموز به دوستان و همکلاسی هایتان از ما حمایت کنید.

دیدگاه ها(1)

دریا ۱۴۰۰/۱۰/۲۰

عالی و کامل مرسی

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.

لطفا پیش از ارسال دیدگاه ، به نکات زیر توجه فرمایید :

- از نوشتن دیدگاه های غیر مرتبط با پست جدا خودداری کنید. دیدگاه ها و سوالات متفرقۀ خود را می توانید در تالارهای گفتمان خوش آموز مطرح نمایید.
- لطفاً دیدگاه های خود را با حروف فارسی تایپ کنید، دیدگاه های فینگیلیش تایید نمی شوند.
- قبل از ارسال دیدگاه حتما متن پست و نظرات سایر دوستان را بخوانید . نظرات اسپم و تکراری تایید نخواهند شد.
- نظر شما ممکن است بدون پاسخ تایید شوند که در این صورت باید منتظر پاسخ از سوی دیگر کاربران باشید .
- لطفا انتقادات و پیشنهادات و همچنین درخواست های خود را از طریق ایمیل khoshamoz[at].hotmail.com ارسال نمایید
- چرا آموزش های سایت خوش آموز در قالب فایل pdf به صورت یکجا ارائه نمی شوند؟
- چرا برخی پرسش های کاربران پاسخ داده نمی شوند؟