توابع زوایای مضاعف (Multiple-angle functions) توابعی همانند \(\sin 2\theta\)، \(\cos 3x\)، \(\tan 6\beta\)، و از این قبیل هستند. هنگامی که روابط معکوس (inverse relations) را برای این زوایا در نظر می گیرید (که چندین پاسخ را می دهند)، مضرب معمولاً نشان می دهد که آن مسأله در مقایسه با مسأله مشابهی بدون یک مضرب، چند پاسخ بیشتر دارد. به عنوان مثال، معادلۀ \(\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}\) در صورتیکه شما تمامی زوایای بین \(0\) تا \(360\) درجه را در نظر بگیرید، دارای دو پاسخ متفاوت می باشد: \(\theta\) برابر با \(60\) و \(120\) درجه می باشد. اما اگر این معادله را به \(\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) تغییر بدهید، به دوبرابر این تعداد، یا چهار، پاسخ بین \(0\) و \(360\) درجه می رسید: \(\theta\) برابر با \(30\)، \(60\)، \(210\)، و \(240\) درجه می باشد. این زوایا همگی در یک دوران قرار دارند، اما قرار دادن آنها در معادلۀ اصلی و ضرب کردن آنها در \(2\) به شما زوایایی با ضلع نهایی یکسان درون یک دوران می دهد.





در اینجا چند مثال داریم که به شما نشان می دهند این ضرب چگونه کار می کند و چگونه این پاسخها را می یابید. ابتدا، به شما نشان می دهم چگونه پاسخهای \(\sin 2\theta= \frac{\sqrt{3}}{2}\) را بدست آورده ام.

1. این معادلۀ معکوس را بنویسید. $$2\theta=\sin^{-1} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$$
   
2. تمامی زوایا در دو دوران، \(0^{\circ} \le \theta \le 720^{\circ}\)، که دارای این سینوس می باشند، لیست کنید و آنها را برابر با \(2\theta\) قرار دهید. $$2\theta=60^{\circ},120^{\circ},420^{\circ},480^{\circ}$$
   دو زاویۀ دوم، هر کدامشان \(360\) درجه بیشتر از دو زاویۀ اول می باشند.
   
   
3. هر کدام از جملات هر دو سمت این معادله را بر \(2\) تقسیم کنید تا آن را برای بدست آوردن \(\theta\) حل کنید. $$\frac{2\theta}{2} = \frac{60^{\circ}}{2},\frac{120^{\circ}}{2},\frac{420^{\circ}}{2},\frac{480^{\circ}}{2} \\
   \theta = 30^{\circ},60^{\circ},210^{\circ},240^{\circ}$$
   

توجه کنید که چگونه تمامی پاسخهای \(\theta\) بین \(0\) و \(360\) درجه قرار دارند ـــ درست همانطور که خواسته شده بود.

اکنون \(\cos 3x = - \frac{\sqrt{2}}{2}\) را برای هر \(x\) که \(0 \le x \le 2\pi\)، حل کنید. توجه داشته باشید که این بازه در واحد رادیان نشان داده شده است.

1. معادلۀ معکوس را بنویسید. $$3x=\cos^{-1}\biggl( - \frac{\sqrt{2}}{2} \biggr)$$
   
2. تمامی زوایا در سه دوران، \(0\le x \le 6\pi\)، را که دارای این کسینوس می باشند، لیست کنید، و همۀ آنها را برابر با \(3x\) قرار دهید. $$3x=\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4},\frac{11\pi}{4},\frac{13\pi}{4},\frac{19\pi}{4},\frac{21\pi}{4}$$
   دو زاویۀ دوم فقط \(2\pi\) از دو زاویۀ اول بزرگترند، و دو زاویۀ آخر \(2\pi\) بزرگتر از دو زاویۀ دوم می باشند. کافیست \(2\pi\) را به \(\frac{8\pi}{4}\) تغییر بدهید و این کسرها را با هم جمع بزنید.
   
   
3. تمامی جملات هر دو سمت این معادله را در \(\frac{1}{3}\) ضرب کنید تا آنها را برای بدست آوردن \(x\) حل کنید. $$
   \require{cancel}
   \frac{1}{3} \cdot 3x=\frac{1}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}\pi}{4},\frac{1}{\cancel{3}} \cdot \frac{5\pi}{4},\frac{1}{\cancel{3}} \cdot \frac{11\pi}{4},\frac{1}{\cancel{3}} \cdot \frac{13\pi}{4},\frac{1}{\cancel{3}} \cdot \frac{19\pi}{4},\frac{1}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{21}^7\pi}{4} \\
   x=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{12},\frac{11\pi}{12},\frac{13\pi}{12},\frac{19\pi}{12},\frac{7\pi}{4}
   $$
   این نتیجه مزیت بزرگ رادیان را نشان می دهد ـــ اعداد مشابه آنچه در درجه ها دیدید بزرگ نمی شوند. اما اشکال آن می تواند این باشد که دارای کسرهای زیادی است.