فاکتورگیری در معادلات مثلثاتی

همان نوع فاکتورگیری که در جبر مورد استفاده قرار می گیرد در حل کردن معادلات مثلثاتی نیز کمک بزرگی است. تنها ترفند اینست که بتوانید شناسایی کنید به جای اینکه صرفاً $x$ ها و $y$ ها، یا سایر متغیرهای تک حرفی را فاکتور بگیرید، متغیرهای مثلثاتی همچون $\sin x$ یا $\sec x$ نیز وجود دارند. در هنگام کار با متغیرها، به کل $\sin x$ یا $\sec y$ نیاز خواهید داشت. شما نمی توانید یک $x$ یا یک $\sec$ را به تنهایی فاکتور بگیرید. به الگوها نگاه کنید و تکنیک های فاکتورگیری را بکار بگیرید. در اینجا لیستی از الگوهای سادۀ فاکتورگیری را داریم.

فاکتورگیری دوجمله ایها:

بزرگترین عامل مشترک: $$ab \pm cb = b(a \pm c)$$
تفاضل بین دو مربع: $$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$
مجموع یا تفاضل بین دو مکعب: $$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) \\
a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$

فاکتورگیری سه جمله ایها:

بزرگترین عامل مشترک: $$ax^2 + ax + ac = a(x^2+x+c)$$
Un-FOIL: $$abx^2 + (ad+bc)x + cd = (ax+c)(bx+d)$$

فاکتورگیری با گروه بندی:
$$abxy + adx + bcy + cd = ax(by+d) + c(by+d)=(ax+c)(by+d)$$

یافتن بزرگترین عامل مشترک

معادلات مثلثاتی که نیاز به یافتن بزرگترین عامل مشترک (GCF: greatest common factor) دارند، شبیه این دو معادله می باشند: $2 \sin x \cos x - \sin x = 0$ یا $\cos x \tan x = \sqrt{3} \cos x$ . من هر دوی این معادلات را در این بخش حل کرده ام.

معادلۀ $2 \sin x \cos x - \sin x = 0$ را برای تمامی مقادیر $x$ به نحویکه $0 \le x \le 360^{\circ}$ حل کنید.

$\sin x$ را از هر کدام از این دو جمله فاکتور بگیرید. $$\sin x(2 \cos x-1) = 0$$
هر کدام از این دو فاکتور جداگانه را برابر با $0$ قرار دهید. $$\sin x = 0 \text{ or } 2 \cos x - 1 = 0$$
این معادلات را برای بدست آوردن مقادیری از $x$ که هر کدام را برآورده سازند، حل کنید. از جدول موجود در پیوست کتاب استفاده نمایید.
اگر $\sin x = 0$، سپس $x = \sin^{-1} (0)=0^{\circ},180^{\circ}$
اگر $2 \cos x - 1 =0, 2 \cos x =1, \cos x=\frac{1}{2}$، سپس $x= \cos^{-1}\biggl( \frac{1}{2} \biggr)=60^{\circ},300^{\circ}$
تمامی این مقادیر پاسخهای معادلۀ اصلی می باشند. لیست کامل این پاسخها برابر است با:
$$x=0^{\circ},60^{\circ},180^{\circ},300^{\circ}$$

اکنون معادلۀ $\cos x \tan x = \sqrt{3} \cos x$ را برای تمامی مقادیر ممکن در واحد درجه حل کنید.

جملات سمت راست را با تفریق آنها از هر دو سمت به سمت چپ معادله منتقل کنید. $$\cos x \tan x - \sqrt{3} \cos x = 0$$
$\cos x$ را از هر جمله فاکتور بگیرید. $$\cos x(\tan x-\sqrt{3}) = 0$$
شما نباید هر دو سمت را بر $\cos x$ تقسیم کنید، زیرا اگر چنین کاری کنید یک پاسخ را از دست می دهید.
این دو فاکتور را برابر با $0$ قرار دهید. $$\cos x = 0 \text{ or } \tan x - \sqrt{3} = 0$$
این معادلات را برای مقادیری از $x$ که هر دو معادله را برقرار می سازد حل کنید.
اگر $\cos x =0$، سپس $x=\cos^{-1}(0)=90^{\circ},270^{\circ},... \text{ or } 90^{\circ}+180^{\circ} n$
اگر $\tan x - \sqrt{3} = 0, \tan x = \sqrt{3}$، سپس $x=\tan^{-1} (\sqrt{3}) = 60^{\circ},240^{\circ} \text{ or } 60^{\circ}+180^{\circ} n$
بنابراین تمامی پاسخها عبارتند از:
$$x=90^{\circ}+180^{\circ}n \text{ or } x = 60^{\circ}+180^{\circ}n$$

فاکتورگیری از معادلات درجه دوم

معادلات درجه دوم (Quadratic equations) برای کار کردن عالی هستند، زیرا هنگامی که فاکتورگیری نشوند، می توانید با استفاده از فرمول حل معادلۀ درجه دوم، آنها را حل کنید. در ادامه چند نمونه از معادلات مثلثاتی درجه دوم را که می توانید فاکتورگیری نمایید می بینید:
$$
\tan^2 x=\tan x \\
4 \cos^2 x - 3 =0 \\
2 \sin^2 x + 5 \sin x - 3 = 0 \\
\csc^2 x + \csc x - 2 =0
$$
توجه داشته باشید که هر معادله دارای یک تابع مثلثاتی آشکار ساز است که به توان دوم رسیده است. در مثالهای پیش رو چگونگی از عهدۀ آنها برآمدن را به شما نشان می دهم.

دو مثال اول صرفاً دو جمله دارند. اولین مثال دارای دو جملۀ متغیردار است، و دیگری صرفاً یک جملۀ متغیردار دارد. در مثال اول، شما هر دو جمله را در سمت چپ قرار می دهید و سپس جملۀ متغیر یا جملۀ مثلثاتی را فاکتور می گیرید.

معادلۀ $\tan^2 x=\tan x$ را برای مقادیری از $x$ به نحویکه $0 \le x \lt 2 \pi$ حل کنید.

جملۀ $\tan x$ در سمت راست را، با تفریق آن از هر دو سمت این معادله، به سمت چپ منتقل کنید. $$\tan^2 x-\tan x = 0$$
هر دو سمت معادله را بر $\tan x$ تقسیم نکنید. این کار منجر می شود تا پاسخها را از دست بدهید.
$\tan x$ را فاکتور بگیرید. $$\tan x(\tan x - 1)=0$$
هر کدام از این دو فاکتور را برابر با $0$ قرار دهید. $$\tan x = 0 \text{ or } \tan x - 1 = 0$$
این معادلات را برای مقادیری از $x$ که هر دو معادله را برآورده سازد، حل کنید.
اگر $\tan x =0$ ، سپس $x=\tan^{-1}(0)=0,\pi$
اگر $\tan x-1=0, \tan x=1$ ، سپس $x=\tan^{-1}(1)=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$
چهار پاسخ این معادله عبارتند از:
$$x=0,\frac{\pi}{4},\pi,\frac{5\pi}{4}$$

در مثال بعدی، دوجمله ای به سادگی به عنوان تفاضل بین دو مربع، فاکتورگیری نمی شود، زیرا $3$ یک مربع کامل نمی باشد، و شما باید از یک رادیکال در فاکتورگیری استفاده کنید. یک روش زیبا و کارآمد برای حل کردن این معادله اینست که $3$ را به سمت راست منتقل کنید و جذر هر دو سمت را بگیرید.

معادلۀ $4 \cos^2 x - 3 = 0$ را برای بدست آوردن تمامی پاسخهای ممکن در واحد رادیان، حل کنید.

با افزودن $3$ به هر دو سمت این معادله، این عدد را به سمت راست منتقل کنید. $$4 \cos^2 x=3$$
جذر هر دو سمت را بگیرید. سپس با تقسیم هر سمت بر $2$ آن را برای بدست آوردن $\cos x$ حل کنید. $$
\sqrt{4 \cos^2 x} = \pm\sqrt{3} \\
2 \cos x = \pm\sqrt{3} \\
\cos x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}
$$
این دو معادله را برای بدست آوردن مقادیر $x$ حل کنید.
اگر $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$، سپس $x=\cos^{-1}\biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)=30^{\circ},330^{\circ},...$ ، با در نظر گرفتن تمامی پاسخهای ممکن خواهیم داشت:
$$x=30^{\circ}+360^{\circ}n \text{ or } 330^{\circ}+360^{\circ}n$$
اگر $x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$، سپس $x=\cos^{-1}\biggl(-\frac{\sqrt{3}}{2}\biggr)=150^{\circ},210^{\circ},...$، با در نظر گرفتن تمامی پاسخهای ممکن خواهیم داشت:
$$x=150^{\circ}+360^{\circ}n \text{ or } 210^{\circ}+360^{\circ}n$$
هنگامی که تمامی مضربهای $360$ درجه را در نظر بگیرید که به این چهار زاویۀ پایه اضافه شده اند، درخواهید یافت که این معادله دارای بی نهایت پاسخ می باشد.

دو مثال بعدی شامل استفاده از un-FOIL می باشد ـــ یک تکنیک برای تعیین اینکه کدام دو جمله ای یک سه جمله ای درجه دوم خاص را به شما می دهند. هنگامی که الگوی موجود در سه جمله ای مبهم باشد، شما ممکن است بخواهید تا ابتدا چندین متغیر دیگر را جایگزین توابع مثلثاتی کنید تا کشف کنید که چگونه باید آن را فاکتورگیری نمایید. من این کار را برای حل کردن معادلۀ $2 \sin^2 x+5 \sin x - 3 =0$ برای تمامی مقادیر $x$ بین $0$ و $360$ درجه، انجام داده ام.

هر $\sin x$ را با $y$ جایگزین کنید. $$2y^2+5y-3=0$$
این سه جمله ای را به شکل حاصلضرب دو دوجمله ای بازنویسی کنید. $$(2y-1)(y+3)=0$$
هر $y$ را با $\sin x$ جایگزین کنید. $$(2 \sin x -1)(\sin x+3)=0$$
هر فاکتور را برابر با $0$ قرار دهید. $$2 \sin x -1 = 0 \text{ or } \sin x+3=0$$
این دو معادله را برای مقادیری از $x$ که آنها را برآورده می سازند، حل کنید.
اگر $2 \sin x -1 = 0, 2 \sin x = 1, \sin x=\frac{1}{2}$، سپس $x=\sin^{-1}\biggl(\frac{1}{2}\biggr) = 30^{\circ},150^{\circ}$
اگر $\sin x + 3 =0,\sin x=-3$، سپس $x=\sin^{-1}(-3)$ . این نتیجه بی معنا می باشد، زیرا تابع سینوس فقط مقادیر بین $-1$ و $1$ را تولید می کند ـــ بنابراین این فاکتور هیچ پاسخی تولید نمی کند. برای اطلاعات بیشتر در مورد بُرد تابع سینوس، فصل 9 را مرور کنید.

تنها دو پاسخ این مسأله عبارت از $30$ و $150$ درجه می باشند.

مثال بعدی نسبتاً آسان فاکتورگیری می شود، اما شامل یک تابع معکوس می باشد. معادلۀ $\csc^2 x + \csc x -2 = 0$ را برای هر زاویه ای بین $0$ تا $2\pi$ رادیان، حل کنید.

این سه جمله ای درجه دوم را به حاصلضرب دو دوجمله ای فاکتورگیری کنید. $$(\csc x+2)(\csc x-1)=0$$
هر فاکتور را برابر با $0$ قرار دهید. $$\csc x+2=0 \text{ or } \csc x -1=0$$
این دو معادله را برای مقادیری از $x$ که آنها را برآورده سازند، حل کنید.
اگر $\csc x+2=0,\csc x=-2$ سپس $x=\csc^{-1}(-2)=\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$
اگر $\csc x -1=0, \csc x=1$ سپس $x=\csc^{-1}(1)=\frac{\pi}{2}$

یک روش جایگزین برای برخورد با این دو معادلۀ دوجمله ای اینست که آنها را با استفاده از اتحاد معکوس تغییر دهید و معکوس آن عدد را بنویسید. در مورد معادلۀ اول، آن را از کسکانت به سینوس تغییر می دهید: $\csc x+2=0,\csc x=-2,\sin x=-\frac{1}{2}$ . کار مشابهی را در مورد معادلۀ دوم انجام دهید: $\csc x-1=0, \csc x=1,\sin x=1$ . سپس این معادلات معکوس را حل می کنید (و به پاسخهای یکسانی می رسید).

افزایش درجه ها در فاکتورگیری

فاکتورگیری درجه دوم ها کار آسانی است ـــ خوب، من گمان می کنم گاهی اوقات اندکی مشکل شود. اگر شما یک موقعیت خوب، همانند صرفاً دو جمله یا یک معادلۀ شبه درجه دوم، نداشته باشید فاکتورگیری از معادلات دارای درجات بیشتر می تواند اندکی ناخوشایند شود. ممکن است امکان فاکتورگیری با گروه بندی را داشته باشید، و آن روش را در بخش بعدی پوشش می دهم. در این بخش، مسأله هایی که در ذهن من هستند، آنهایی هستند که شبیه معادلات زیر می باشند:
$$
2 \sin^3 x = \sin x \\
2 \cos^4 x - 9 \cos^2 x + 4 = 0
$$
اولین معادله صرفاً دو جمله دارد، بنابراین می توانید با یافتن بزرگترین عامل مشترک آنها را فاکتورگیری کنید. معادلۀ $2 \sin^3 x=\sin x$ را برای یافتن تمامی زوایای ممکن در واحد درجه حل کنید.

جملۀ سمت راست را با تفریق آن از هر دو سمت این معادله، به سمت چپ منتقل کنید. $$2 \sin^3 x - \sin x =0$$
$\sin x$ را فاکتور بگیرید. $$\sin x(2 \sin^2 x - 1)=0$$
هر فاکتور را برابر با $0$ قرار دهید. $$\sin x= 0 \text{ or } 2 \sin^2 x -1 = 0$$
این دو معادله را برای مقادیری از $x$ که هر دوی آنها را برآورده می سازند، حل کنید.
اگر $\sin x = 0$ سپس $x=\sin^{-1}(0) = 0^{\circ},180^{\circ}, ... \text{ or } 0^{\circ}+180^{\circ}n$
اگر $2 \sin^2 x - 1 = 0,2\sin^2 x=1, \sin^2 x=\frac{1}{2}$ ، سپس شما به یک معادلۀ درجه دوم می رسید.
جذر هر دو سمت این معادله را بگیرید و آن را برای بدست آوردن $x$ حل کنید.
صورت و مخرج این کسر را در مخرج آن ضرب کنید تا رادیکال را از مخرج کسر بیرون بکشید.
$$
\sqrt{\sin^2 x} = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \\
\sin x = \pm \frac{1}{2}
$$
اکنون هر دو پاسخ را در لحاظ کنید:
اگر $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$، سپس $x=\sin^{-1} \biggl( \frac{\sqrt{2}}{2} \biggr) = 45^{\circ},135^{\circ},...$ یا $45^{\circ}+360^{\circ}n,135^{\circ}+360^{\circ}n$
اگر $\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ سپس $x=\sin^{-1}\biggl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\biggr)=225^{\circ},315^{\circ},...$ یا $225^{\circ}+360^{\circ}n,315^{\circ}+360^{\circ}n$

این معادلۀ مثلثاتی درجه سوم دارای تعداد زیادی پاسخ می باشد:
$$
x=180^{\circ}n \\
x=45^{\circ}+360^{\circ}n \\
x=135^{\circ}+360^{\circ}n \\
x=225^{\circ}+360^{\circ}n \\
x=315^{\circ}+360^{\circ}n
$$

شما می توانید این چهار معادله آخر برای $x$ را با یکدیگر ترکیب کنید، مواردیکه با مضربهایی از $45$ درجه آغاز می شوند: $x=45^{\circ}+90^{\circ}n$ . این معادلۀ تنها تمامی زوایای چهار گزارۀ آخر را به صورت ترکیبی تولید می کند. چگونه می دانید که می توانید به این روش ساده سازی را صورت دهید؟ زیرا زوایای $45$، $135$، $225$، و $315$ درجه، همگی مقادیرشان $90$ درجه با یکدیگر فاصله دارند. اگر با $45$ شروع کنیم و $90$ را دوباره و دوباره به آن بیفزایید، تمامی زوایای لیست شده را همراه با تمامی بی نهایت مضربهایشان بدست می آورید.

مثال بعدی یک معادلۀ درجه چهارم می باشد، اما این یکی شبه درجه دوم می باشد، بدین معنا که مشابه یک سه جمله ای درجه دوم به دو فاکتور دوجمله ای، فاکتور گیری می شود. این مسأله امکان داشتن تعداد زیادی پاسخ را دارد ـــ یا هیچ پاسخی. معادلۀ $2 \cos^4 x - 9 \cos^2 x + 4 =0$ برای پاسخهای بین $0$ و $2\pi$ حل کنید.

این سه جمله ای را به شکل حاصلضرب دو دوجمله ای فاکتورگیری کنید. $$(2 \cos^x -1)(\cos^2 x-4)=0$$
هر فاکتور را برابر با $0$ قرار دهید. $$2 \cos^2 x-1=0 \text{ or } \cos^2 x - 4 = 0$$
در هر معادله با منزوی کردن جملۀ کسینوس در یک سمت معادله، آن را برای بدست آوردن تابع مربوطه حل کنید. $$
2 \cos^2 x - 1 = 0\\
2 \cos^2 x = 1 \\
\cos^2 x=\frac{1}{2}
$$
$$\cos^2 x-4=0\\
\cos^2 x=4$$
در هر معادله جذر هر دو سمت را بگیرید. $$
\sqrt{\cos^2 x}=\pm \sqrt{\frac{1}{2}} \\
\cos x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}
$$
$$\sqrt{\cos^2 x} = \pm \sqrt{4} \\
\cos x=\pm 2$$
این معادلات را برای مقادیری از $x$ که آنها را برآورده سازند، حل کنید.
اگر $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ، سپس $x=\cos^{-1}\biggl(\frac{\sqrt{2}}{2}\biggr)=\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$
اگر $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ، سپس $x=\cos^{-1}\biggl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\biggr)=\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$

اگر $x=\pm 2$، سپس شما یک مشکل خواهید داشت ـــ این معادله قابل محاسبه نمی باشد! نتایج تابع کسینوس مقادیر بین $-1$ و $1$ می باشند. (برای کسب اطلاعات بیشتر در مورد بُرد تابع کسینوس، فصل 9 را ببینید.) این فاکتور پاسخهای جدیدی را به مسأله اصلی اضافه نمی کند.

فاکتورگیری با گروه بندی

فرآیند فاکتورگیری با گروه بندی در موارد خیلی خاص کار می کند؛ یک مورد وقتی است که معادلۀ اصلی نتیجۀ ضرب دو دوجمله ای در یکدیگر می باشد که جملات نامرتبطی در آنها وجود داشته باشد. شما معمولاً این نوع از فاکتورگیری را زمانی می توانی بکار بگیرید که با تعداد زوجی از جملات مواجه باشید و بتوانید فاکتورهای مشترکی را در گروه های مختلفی از آنها بیابید. انواع معادلاتی که می توانید با گروه بندی حل کنید ممکن است شبیه $4 \sin x \cos x - 2 \sin x -2 \cos x +1 =0$ یا $\sin^2 x \sec x + 2 \sin^2 x = \sec x+ 2$ باشند. در معادلۀ اول، دو جملۀ اول دارای یک فاکتور مشترک واضح می باشند، $2 \sin x$. دو جملۀ بعدی فاکتور مشترکی به جز $1$ ندارند، اما برای اینکه گروه بندی کار کند، $-1$ را از آنها فاکتور بگیرید.

معادلۀ $4 \sin x \cos x - 2 \sin x - 2 \cos x + 1 = 0$ را برای تمامی پاسخهای ممکن بین $0$ و $2 \pi$ حل کنید.

در دو جملۀ اول $2 \sin x$ را فاکتور بگیرید و در دو جملۀ آخر $-1$ را فاکتور بگیرید. $$2 \sin x(2 \cos x -1)-1(2\cos x-1)=0$$
اکنون دو جمله در سمت چپ این معادله دارید که هر کدامشان دارای فاکتوری از $2 \cos x -1$ می باشند.
این فاکتور مشترک را از این دو جمله بیرون بکشید. $$(2 \cos x-1)(2\sin x-1)=0$$
این دو فاکتور را برابر با $0$ قرار دهید. $$
2 \cos x - 1=0 \\
2 \cos x = 1 \\
\cos x = \frac{1}{2}
$$
$$2 \sin x-1=0 \\
2 \sin x = 1 \\
\sin x = \frac{1}{2}$$
این معادلات را برای مقادیری از $x$ که آنها را برآورده می سازد، حل کنید.
اگر $\cos x=\frac{1}{2}$ سپس $x=\cos^{-1} \biggl(\frac{1}{2}\biggr) = \frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$
اگر $\sin x=\frac{1}{2}$ سپس $x=\sin^{-1}\biggl(\frac{1}{2}\biggr)=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$

مثال بعدیِ گروه بندی نیازمند اینست که با منتقل کردن دو جملۀ سمت راست به سمت چپ، کار را آغاز کنید. پیچیدگی دیگر اینست که یکی از فاکتورهای حاصله یک معادلۀ درجه دوم می باشد. چگونه ریاضی می تواند از این جذابتر شود؟

معادلۀ $\sin^2 x \sec x + 2 \sin^2 x = \sec x + 2$ را برای تمامی زوایای بین $0$ و $360$ درجه حل کنید.

جملات سمت راست را با تفریق کردن آنها از هر دو سمت معادله، به سمت چپ منتقل کنید. $$\sin^2 x \sec x + 2 \sin^2 x - \sec x - 2 =0$$
از دو جملۀ اول $\sin^2 x$ را فاکتور بگیرید و از دو جملۀ دوم $-1$ را فاکتور بگیرید. $$\sin^2 x(\sec x+2)-1(\sec x+2)=0$$
اکنون $\sec x+2$ را از این دو جمله فاکتور بگیرید. $$(\sec x+2)(\sin^2 x-1)=0$$
این دو فاکتور را برابر با $0$ قرار دهید. $$\sec x + 2 =0, \sec x=-2 \\
\sin^2 x - 1=0, \sin^2 x=1 , \sin x=\pm 1$$
هنگامی که جذر هر دو سمت را بگیرید.
این معادلات را برای مقادیری از $x$ که آنها را برآورده می سازد حل کنید.
اگر $\sec x=-2$، سپس $x=\sec^{-1}(-2)=120^{\circ},240^{\circ}$
اگر $\sin x=1$، سپس $x=\sin^{-1}(1)=90^{\circ}$
اگر $\sin x=-1$، سپس $x=\sin^{-1}(-1)=270^{\circ}$