عبارات زوایای چندگانه (Multiple-angle) آنهایی هستند که در آنها اندازۀ زاویه مضربی از یک متغیر باشد ـــ به عنوان مثال، \(2x\) یا \(3y\). در این بخش، به شما نشان می دهم چگونه این عبارات را به بخشهای جداگانه بشکنید و آنها را برای تمامی پاسخهای اضافی ممکن حل کنید. از آنجا که توابع مثلثاتی تناوبی (periodic) هستند ـــ بدین معنا که الگوهایشان را بی نهایت بار تکرار می کنند، تعداد احتمالات برای پاسخها فوق العاده افزایش می یابد. هرچقدر این ضریب بزرگتر باشد، تعداد پاسخهای ممکن افزایش می یابد.






مسأله هایی که متناسب با این تکنیک هستند مواردی همچون \(2 \sin^2 5x=1 \) و \(\cos \biggl(\frac{1}{2}x\biggr)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) می باشند. در مثال اول، معادلۀ \(2 \sin^2 5x = 1\) را برای تمامی زوایای بین \(0\) و \(2 \pi\) حل می کنیم.

1. هر سمت معادله را بر \(2\) تقسیم کنید؛ سپس جذر هر سمت را بگیرید. $$\sin^2 5x=\frac{1}{2} \\
   \sqrt{\sin^2 5x} = \pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \\
   \sin 5x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$
   
2. معادله را برای \(5x\) که نشان دهندۀ زوایایی که این معادله را یک دوران برآورده می سازند، حل کنید.
   اگر \(\sin 5x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)، سپس \(5x=\sin^{-1}\biggl(\frac{\sqrt{2}}{2}\biggr)=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\)
   اگر \(\sin 5x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)، سپس \(5x=\sin^{-1}\biggl(-\frac{\sqrt{2}}{2}\biggr)=\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\)
   
   
3. با چهار مرتبه افزودن \(2\pi\) به هر کدام از این زوایای اصلی، این پاسخها را تا پنج دوران توسعه دهید. $$5x=\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\frac{9\pi}{4},\frac{11\pi}{4},\frac{17\pi}{4},\frac{19\pi}{4},\frac{25\pi}{4},\frac{27\pi}{4},\frac{33\pi}{4},\frac{35\pi}{4}$$
   و
   $$5x=\frac{5\pi}{4},\frac{7\pi}{4}\frac{13\pi}{4},\frac{15\pi}{4},\frac{21\pi}{4},\frac{23\pi}{4},\frac{29\pi}{4},\frac{31\pi}{4},\frac{37\pi}{4},\frac{39\pi}{4}$$
   
4. تمامی این جملات را بر \(5\) تقسیم کرده و ساده نمایید. $$
   x=\frac{\pi}{20},\frac{3\pi}{20},\frac{9\pi}{20},\frac{11\pi}{20},\frac{17\pi}{20},\frac{19\pi}{20},\frac{25\pi}{20},\frac{27\pi}{20},\frac{33\pi}{20},\frac{35\pi}{20} \\
   x=\frac{\pi}{20},\frac{3\pi}{20},\frac{9\pi}{20},\frac{11\pi}{20},\frac{17\pi}{20},\frac{19\pi}{20},\frac{5\pi}{4},\frac{27\pi}{20},\frac{33\pi}{20},\frac{7\pi}{4}
   $$
   و
   $$
   x=\frac{5\pi}{20},\frac{7\pi}{20},\frac{13\pi}{20},\frac{15\pi}{20},\frac{21\pi}{20},\frac{23\pi}{20},\frac{29\pi}{20},\frac{31\pi}{20},\frac{37\pi}{20},\frac{39\pi}{20} \\
   x=\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{20},\frac{13\pi}{20},\frac{3\pi}{4},\frac{21\pi}{20},\frac{23\pi}{20},\frac{29\pi}{20},\frac{31\pi}{20},\frac{37\pi}{20},\frac{39\pi}{20}
   $$
   توجه داشته باشید که تمامی این پاسخها زوایایی با اندازه هایی کمتر از \(2\pi\) می باشند.
   

مثال بعدی، به جای اینکه مضربی بزرگتر از \(1\) داشته باشد، دارای مضربی از یک کسرواقعی (proper fraction) می باشد.

معادلۀ \(\cos\biggl(\frac{1}{2}x\biggr)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\) را برای تمامی پاسخهای بین \(0\) و \(360\) درجه، حل کنید.

1. این معادله را به شکل یک معادلۀ مثلثاتی معکوس، بازنویسی کنید. $$\frac{1}{2}x=\cos^{-1}\biggl(-\frac{\sqrt{3}}{2}\biggr)$$
   
2. تعیین کنید کدام زوایا این معادلۀ معکوس را درون یک دوران کامل، برآورده می سازند. $$\frac{1}{2}x=\cos^{-1}\biggl(-\frac{\sqrt{3}}{2}\biggr)=150^{\circ},210^{\circ}$$
   
3. تمامی جملات را بر \(2\) ضرب کنید. $$x=300^{\circ},420^{\circ}$$
   
4. زاویۀ دوم را بیرون بیندازید، زیرا اندازۀ آن بزرگتر از \(360\) درجه می باشد.
   تنها پاسخ ممکن \(300\) درجه می باشد. هنگامی که \(x\) در معادلۀ اصلی را با این زاویه جایگزین کنید، به یک گزارۀ صحیح می رسید.