خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مربع کردن هر دو سمت معادلۀ مثلثاتی

مربع کردن هر دو سمت معادلۀ مثلثاتی
نویسنده : امیر انصاری
هنگام حل کردن معادلات مثلثاتی، شما انتخابهای زیادی به عنوان تکنیکهای مورد استفاده برای راه حل در اختیار دارید. در بسیاری مواقع بیش از یک روش جواب خواهد داد ـــ هرچند یک روش معمولاً سریعتر و آسانتر از سایر روشها می باشد. و سپس با یک تابع مثلثاتی مواجه می شوید که بهترین تلاش های شما را به مبارزه می طلبد. دو تا از آخرین تلاشها که در هنگام حل کردن معادلات مثلثاتی می توانید مورد استفاده قرار دهید، شامل مربع کردن هر دو سمت معادله یا ضرب کردن هر جمله در یک تابع مثلثاتی که با دقت انتخاب کرده اید، می باشند. اولین روش از این دو را در همین بخش و روش دوم را در ادامه به شما نشان خواهم داد. به عنوان مثالهایی از معادلاتی که با روش مربع کردن هر دو سمت معادله بخوبی جواب می دهد شامل \(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\) و \(\cos x - \sqrt{3} \sin x =1\) می باشند.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



معادلۀ \(\sin x + \cos x=\sqrt{2}\) را برای تمامی زوایای ممکن در واحد درجه حل کنید.

  1. هر دو سمت این معادله را مربع سازید.
    هنگامی که یک دوجمله ای را مربع می سازید، مطمئن شوید که جملۀ میانی را فراموش نمی کنید.
    $$
    (\sin x+\cos x)^2 = (\sqrt{2})^2 \\
    \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 2
    $$
  2. از اتحاد فیثاغورثی برای جایگزینی \(\sin^2 x + \cos^2 x\) با عدد \(1\) استفاده کنید. $$
    \sin^2 x+\cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 2 \\
    1 + 2 \sin x \cos x = 2
    $$
  3. عدد \(1\) را از هر دو سمت این معادله تفریق کنید. سپس عبارت سمت چپ را با استفاده از اتحاد سینوس زاویۀ مضاعف جایگزین کنید. $$
    2 \sin x \cos x=1 \\
    \sin 2x = 1
    $$
  4. با استفاده از تابع معکوس، آن را برای بدست آوردن مقدار \(2x\) حل کنید. سپس چند زاویۀ پاسخ را برای تعیین یک الگو بنویسید. $$2x=\sin^{-1}(1)=90^{\circ},450^{\circ},810^{\circ},...$$
    از آنجا که مفروض شما بر اینست که تمامی پاسخهای ممکن را بیابید، تنها به دو دوران محدود نیستید.

  5. هر جمله را بر \(2\) تقسیم کنید. $$
    2x=90^{\circ},450^{\circ},810^{\circ},... \\
    x = 45^{\circ},225^{\circ},405^{\circ},...
    $$
  6. پاسخهای اضافی را بررسی کنید.
    از آنجا که مربع ساختن هر دو سمت این معادله منجر می شود تا اطلاعات مربوط به علامتها از بین بروند، شما ممکن است با پاسخهای اضافی مواجه شوید. مقادیر \(x\) پیدا شده را در معادلۀ اصلی درست آزمایی کنید:

    \(\sin(45^{\circ})+\cos(45^{\circ})=\sqrt{2}\) ، بنابراین \(45^{\circ}\) یک پاسخ صحیح است.
    \(\sin(225^{\circ})+\cos(225^{\circ})=-\sqrt{2}\)، بنابراین \(225^{\circ}\) یک پاسخ صحیح نمی باشد.

  7. عبارتی برای تمامی این پاسخها بنویسید. $$x=45^{\circ}+360^{\circ}n$$
در مثال بعدی، نیاز خواهید داشت تا در ابتدای کار اندکی تغییرات انجام دهید. برای حل کردن معادلۀ \(\cos x-\sqrt{3} \sin x=1\) ، جملۀ رادیکال دار را در یک سمت از این معادله منزوی کنید. در غیر اینصورت، هنگامی که هر دو سمت را مربع می سازید، با فاکتوری رادیکال دار در یکی از جملات مواجه خواهید شد. آن وضعیت همیشه بد نیست، اما کنار آمدن با آن معمولاً اندکی ناخوشایند تر از نبودنش است.

این معادله را برای تمامی زوایای ممکن بین \(0\) تا \(360\) درجه حل کنید.

  1. جملۀ رادیکال دار را به هر دو سمت معادله بیفزایید و \(1\) را از هر دو سمت تفریق کنید.
    به نتیجۀ زیر می رسید:
    $$\cos x-1 = \sqrt{3} \sin x$$
  2. هر دو سمت را مربع سازید. $$
    (\cos x-1)^2 = (\sqrt{3} \sin x)^2 \\
    \cos^2 x - 2 \cos x + 1 = 3 \sin^2 x
    $$
  3. با استفاده از اتحاد فیثاغورثی، \(\sin^2 x\) را با \(1-\cos^2 x\) جایگزین کنید.
    انجام این کار منجر می شود تا معادله ای با جملاتی که همگی دارای توابعی یکسان، \(\cos x\)، می باشند، ایجاد گردد.
    $$\cos^2 x-2 \cos x + 1 = 3 (1-\cos^2 x)$$
  4. این معادله را با توزیع \(3\) در سمت راست و سپس آوردن همۀ جملات به سمت چپ تا معادله برابر با \(0\) گردد، ساده کنید. $$
    \cos^2 x- 2\cos x+ 1 = 3 - 3 \cos^2 x \\
    4 \cos^2 x - 2 \cos x - 2 = 0
    $$
  5. تمامی جملات را بر \(2\) تقسیم کنید. $$2 \cos^2 x - \cos x - 1 =0$$
  6. این معادلۀ درجه دوم را فاکتورگیری نمایید. $$(2 \cos x +1)(\cos x-1)=0$$
  7. هر فاکتور را برابر با \(0\) قرار دهید. $$
    2 \cos x + 1 =0 \\
    2 \cos x = -1 \\
    \cos x = -\frac{1}{2}
    $$
    $$
    \cos x -1 = 0 \\
    \cos x = 1
    $$
  8. هر معادله را برای بدست آوردن مقدار \(x\) حل کنید.
    اگر \(\cos x=-\frac{1}{2}\)، سپس \(x=\cos^{-1}\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)=120^{\circ},240^{\circ}\)

    هنگامی که پاسخها را درست آزمایی می کنید، در می یابید که جایگذاری \(120^{\circ}\) در معادلۀ اصلی آن را برآورده نمی سازد. تنها \(240^{\circ}\) یک پاسخ صحیح است.

    اگر \(\cos x=1\)، سپس \(\cos^{-1}(1)=0^{\circ},360^{\circ}\)

    زوایای \(0\) و \(360\) درجه دارای ضلع نهایی یکسانی می باشند. شما معمولاً یکی از آنها را لیست می کنید: \(0\) درجه.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.