تکنیک ضرب سراسریِ یک معادلۀ مثلثاتی در یک تابع که با دقت انتخاب شده است، نباید اولین انتخاب شما باشد ـــ و یا حتی دومین، سومین، یا چهارمین انتخاب. این روش معمولاً آخرین پناهگاه است. نه به این معنا که این روش به شدت مشکل می باشد؛ بلکه صرفاً بدین نیاز دارد که فقط بنشینید و معادله را با دقت بررسی کنید، و به صورت جادویی به بهترین تابعی برسید که کل جملات معادله را در آن ضرب کنید. شما می توانید این بهترین تابع را با حدس و تعجب بیابید، اما سپس، از آن لذت ببرید ـــ شما تمایل دارید که در اولین مرتبه بهترین حدس ممکن را زده باشید. در اینجا مثالی از یک معادله داریم که این تکنیک بر روی آن به خوبی جواب می دهد.





معادلۀ \(2 \sin x - \csc x = 1\) را برای تمامی پاسخهای بین \(0\) و \(2 \pi\) حل کنید.

1. هر جمله را در \(\sin x\) ضرب کنید.
   چرا \(\sin x\)؟ من این تابع را به این دلیل انتخاب کرده ام که می توانم ببینم، حاصلضرب هر جمله در این تابع یا توان مختلفی از سینوس یا صرفاً یک عدد خواهد بود. توجه داشته باشید که حاصلضرب \(\csc x\) و معکوس آن، \(\sin x\)، برابر با \(1\) خواهد بود.
   $$
   2 \sin x \cdot \sin x - \csc x \cdot \sin x = 1 \cdot \sin x \\
   2 \sin^2 x - 1 = \sin x
   $$
   
2. \(\sin x\) را از هر دو سمت معادله تفریق کنید تا این معادله را برابر با \(0\) قرار دهید. $$2 \sin^2 x - \sin x - 1 =0$$
   
3. این معادلۀ درجه دوم را فاکتورگیری کنید. $$(2 \sin x + 1)(\sin x -1)=0$$
   
4. هر فاکتور را برابر با \(0\) قرار دهید. $$
   2 \sin x + 1 = 0 \\
   \sin x = -\frac{1}{2}
   $$
   $$
   \sin x - 1 =0 \\
   \sin x = 1
   $$
   
5. این معادله ها را برای بدست آوردن مقادیری که آنها را برآورده می سازند، حل کنید.
   اگر \(\sin x = -\frac{1}{2}\) ، سپس \(x = \sin^{-1}\biggl(-\frac{1}{2}\biggr)=\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\)
   اگر \(\sin x=1\) ، سپس \(x = \sin^{-1}(1)=\frac{\pi}{2}\)