خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


قانون سینوس ها (law of sines)

قانون سینوس ها (law of sines)
نویسنده : امیر انصاری
هنگامی که اندازۀ دو زاویه را داشته باشید، همانند موارد \(ASA\) یا \(AAS\)، می توانید از قانون سینوس ها (law of sines) برای یافتن اندازۀ سایر بخشهای آن مثلث استفاده کنید. این قانون از نسبت اضلاع یک مثلث و سینوسهای زوایای روبروی آنها استفاده می کند. هرچقدر یک ضلع بزرگتر باشد، زاویۀ مقابل آن (و سینوس آن) بزرگتر خواهد بود. طولانی ترین ضلع همواره روبروی بزرگترین زاویه قرار دارد. در اینجا چگونگی این قانون را می بینید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



قانون سینوسها برای مثلث \(ABC\) با اضلاع \(a\)، \(b\)، و \(c\) که به ترتیب مقابل آن زوایا قرار دارند، بیان می دارد:
$$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c} \text{ and } \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$

بنابراین، قانون سینوسها بیان می دارد که در یک مثلث واحد، نسبت هر ضلع به سینوس زاویه اش برابر است با نسبت هر ضلع دیگر به سینوس زاویۀ آن ضلع. هنگام کار با قانون سینوسها، شما دو تا از این نسبتها را همزمان مورد استفاده قرار می دهید، و آنها را برابر با یکدیگر قرار می دهید تا یک تناسب را بسازید.

به عنوان مثال، مثلثی را در نظر بگیرید که در آن ضلع \(a\) برابر با \(86\) اینچ، و زاویۀ \(A\) و \(B\) به ترتیب برابر با \(84\) و \(58\) درجه باشند. شکل 4-18 تصویری از این مثلث را نشان می دهد، و مراحل زیر چگونگی یافتن سه بخش مجهول دیگر این مثلث را به شما نشان می دهند.

قانون سینوس ها (law of sines)
  1. مجموع زوایای یک مثلث برابر با \(180\) درجه می باشد. بنابراین، مجموع زوایای \(A\) و \(B\) را بیابید، و آن مجموع را \(180\) تفریق کنید.
    $$180-(84+58)=180-142=38$$
    اندازۀ زاویۀ \(C\) برابر با \(38\) درجه می باشد.

  2. اندازۀ ضلع \(b\) را بیابید.
    با استفاده از قانون سینوسها و تناسب \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\)، مقادیر معلوم را در آنها جایگذاری کنید.
    $$\frac{86}{\sin 84}=\frac{b}{\sin 58}$$
    در هنگام نوشتن یک تناسب، از مقادیر معلوم استفاده کنید، نه مقادیری که خودتان تعیین کرده اید. به این ترتیب، اگر با خطایی مواجه شوید، می توانید آن را سریعتر تشخیص بدهید.
    از جدول موجود در پیوست این کتاب، یا از یک ماشین حساب، برای یافتن مقادیر سینوسها استفاده کنید.
    $$\frac{86}{0.995}=\frac{b}{0.848}$$
    هر دو سمت این معادله را در \(0.848\) ضرب کنید تا آن را برای بدست آوردن طول \(b\) حل کنید. از آنجا که اندازه های اصلی، اعداد کامل می باشند، این پاسخ را به نزدیکترین عدد کامل گرد کنید.
    $$
    \require{cancel}
    (0.848)\frac{86}{0.995} = \frac{b}{\cancel{0.848}}(\cancel{0.848}) \\
    73.294=b
    $$
    اندازۀ ضلع \(b\) در حدود \(73\) اینچ می باشد.

  3. اندازۀ ضلع \(c\) را بیابید.
    با استفاده از قانون سینوسها و تناسب \(\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}\)، مقادیر معلوم را در آن جایگذاری کنید.
    $$\frac{86}{\sin 84}=\frac{c}{\sin 38}$$
    دوباره، بهتر است تا از مقادیر معلوم استفاده کنید، نه آنهایی که خودتان تعیین نموده اید. اگرچه، در این مورد، شما مجبور هستید تا از یکی از مقادیر محاسبه شده، زاویۀ \(C\)، استفاده کنید.
    از جدول موجود در پیوست کتاب، یا یک ماشین حساب، برای تعیین مقادیر سینوسها استفاده کنید.
    $$\frac{86}{0.995}=\frac{c}{0.616}$$
    هر دو سمت این معادله را در \(0.606\) ضرب کنید تا آن را برای بدست آوردن طول \(c\) حل کنید. از آنجا که اندازه های اصلی در اعداد کامل داده شده اند، این پاسخ را به نزدیکترین عدد کامل گرد کنید.
    $$
    (0.616)\frac{86}{0.995}=\frac{c}{\cancel{0.616}}(\cancel{0.616}) \\
    53.242 = c
    $$
    اندازۀ ضلع \(c\) در حدود \(53\) اینچ می باشد.

اگرچه دانستن چگونگی یافتن اندازه های مجهول در یک مثلث غیر قائم الزاویه، فوق العاده به نظر می رسد، ممکن است با خودتان بیندیشید، "هدف از این کار چیست؟" یک دلیل عمده برای حل کردن مثلثها اینست که بتوانید آنها را در مسأله های کاربردی بکار بگیرید. به عنوان مثال، "بُلندی آن چقدر است؟" به نظر می رسد یک درخواست منطقی باشد.

فرض کنید که یک درخت روی دامنۀ یک کوه رُشد کرده باشد. این درخت کاملاً عمودی می باشد، اما دامنۀ کوه دارای یک شیب با زاویۀ \(10\) درجه از سطح زمین می باشد. جاش (Josh) در فاصلۀ \(100\) فوتی درخت در سراشیبی ایستاده است. زاویۀ شیب از پاهای جاش تا بالای درخت برابر با \(32\) درجه می باشد. ارتفاع این درخت چقدر است؟ ابتدا در شکل 5-18 نگاهی به این وضعیت به شکل بصری بیندازید و سپس مراحلی را که در ادامه آمده است دنبال کنید.

قانون سینوس ها (law of sines)
  1. مثلثی را که می توانید با استفاده از آن این مسأله را حل کنید، تعیین نمایید.
    شما می دانید که یکی از این اضلاع برابر با \(100\) فوت می باشد، و می توانید دو تا از زوایای آن را تعیین نمایید، بنابراین از مثلثی که در شکل 6-18 نشان داده شده است استفاده کنید.

    قانون سینوس ها (law of sines)
  2. دو زاویۀ موجود در هر دو سمت پایۀ این مثلث را تعیین کنید.
    شما زاویۀ سمت راست ضلع \(100\) فوتی را با تفریق \(10\) درجۀ شیب این تپه از شیب \(32\) درجه ای درخت، بدست می آورید: \(32-10=22\) درجه. (این زوایا همچنین با نام زاویۀ فراز شناخته می شوند، که در فصل 10 می توانید اطلاعات بیشتری در موردش کسب کنید.)

    زاویۀ سمت چپ قاعدۀ \(100\) فوتی، مکمل زاویه ای از مثلث قائم الزاویه ای است که شما می توانید زیر این مثلث ترسیم کنید (شکل 7-18 را ببینید). یک مثلث قائم الزاویه با قاعده ای عمودی که تنۀ درخت را دنبال می کند، ترسیم کنید، شما یک زاویۀ \(80\) درجه را با جمع کردن زاویۀ \(90\) درجه و \(10\) درجه و سپس تفریق مجموع آنها از \(180\) درجه، بدست می آورید، زیرا مجموع زوایای یک مثلث \(180\) درجه می باشد. همچنین مجموع دو زاویۀ مکمل (Supplementary angles) برابر با \(180\) می باشد، بنابراین زاویۀ مکمل یک زاویۀ \(80\) درجه برابر با \(100\) درجه خواهد بود. روش دیگر برای یافتن این زاویۀ \(100\) درجه استفاده از قاعدۀ زاویۀ خارجی (exterior-angle rule) به شرحی که در ادامه آمده است می باشد.

    اندازۀ یک زاویۀ خارجی از یک مثلث برابر است با مجموع دو زاویۀ داخلی غیرمجاور آن.

    قانون سینوس ها (law of sines)
  3. اندازۀ زاویۀ سوم را محاسبه کنید.
    با جمع کردن دو زاویۀ پایه با یکدیگر و تفریق این مجموع از \(180\) درجه، به \(180-(22+100)=180-122=58\) درجه می رسید.

  4. ارتفاع این درخت را تعیین کنید.
    این درخت ضلع روبروی زاویۀ \(22\) درجه می باشد. با استفاده از قانون سینوسها، می توانید تناسب زیر را بنویسید:
    $$
    \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B} \\
    \frac{\text{tree height}}{\sin 22} = \frac{100}{\sin 58}
    $$
    این معادله را برای بدست آوردن ارتفاع درخت (tree height) حل کنید.
    $$
    \frac{\text{tree height}}{\sin 22}=\frac{100}{\sin 58} \\
    \frac{\text{tree height}}{0.375} = \frac{100}{0.848} \\
    (\cancel{0.375})\frac{\text{tree height}}{\cancel{0.375}} = \frac{100}{0.848}(0.375) \\
    \text{tree height} = 44.222
    $$
    بلندی این درخت در حدود \(44\) فوت می باشد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.