قانون کسینوسها (Law of Cosines)

قانون کسینوسها (Law of Cosines) زمانی مفید واقع می شود که شما دو یا تعداد بیشتری ضلع دارید ـــ همانند وضعیتهایی که شامل $SSS$ و $SAS$ هستند ـــ و نیاز دارید تا اندازۀ سه بخش دیگر را بدانید. هنگامی که دو ضلع را داشته باشید، نیاز به زاویۀ بین آنها دارید. اگر آن زاویه بین این دو ضلع نباشد، سپس شما با وضعیت مبهم، $SSA$، مواجه هستید. اگرچه چنین وضعیتی غیرممکن نیست، شما باید با دقت با آن برخورد کنید.

تعریف قانون کسینوسها

قانون کسینوسها سه نسخۀ متفاوت دارد که بسته به اینکه از آن برای اندازه گیری کدام بخشهای مثلث استفاده می کنید از نسخۀ مناسب استفاده می نمایید. به این الگو توجه کنید: مربع این سه ضلع، همراه با کسینوس زاویۀ مقابل یکی از این اضلاع، در معادلات ظاهر می شوند ـــ ضلعی که برابر با سایر چیزها قرار داده می شود.

قانون کسینوس ها برای مثلث $ABC$ با اضلاع $a$، $b$، و $c$ که به ترتیب روبروی آن زوایا قرار دارند، بیان می دارد:
$$
a^2=b^2+c^2-2bc \cos A \\
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \\
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
$$

به زبان ساده، این معادلات می گویند که مربع یک ضلع برابر است با مربع دو ضلع دیگر که با یکدیگر جمع شده اند، منهای دو برابر حاصلضرب آن دو ضلع ضربدر کسینوس زاویۀ روبروی ضلعی که معادله را برای بدست آوردنش حل می کنید، شده اند. اوه! ظاهراً همان معادله اش را حفظ کنید ساده تر باشد!

قانون کسینوس ها برای $SAS$

هنگامی که دو ضلع یک مثلث و زاویۀ بین آنها را داشته باشید، می توانید از قانون کسینوس ها برای بدست آوردن سه بخش دیگر آن مثلث استفاده کنید. مثلث $ABC$ را در نظر بگیرید که در آن $a$ برابر با $15$، $c$ برابر با $20$، و زاویۀ $B$ برابر با $124$ درجه می باشد. شکل 8-18 نشان می دهد که ظاهر این مثلث چگونه است.

اندازۀ ضلع مجهول را با استفاده از قانون کسینوسها بدست آورید.
از قانونی استفاده کنید که معادله را برای بدست آوردن ضلع $b$ حل می کند.
$$
b^2=a^2+c^2 - 2ac \cos B \\
= 15^2+20^2-2(15)(20) \cos 124 \\
= 225 + 400 - 600 (-0.559) \\
= 960.4
$$
در پایان به مقدار $b^2 $ می رسید. جذر هر دو سمت معادله را بگیرید و فقط از مقدار مثبت آن استفاده کنید (زیرا طول ضلع نمی تواند عددی منفی باشد).
$$
b^2=960.4 \\
b=30.990
$$
طول ضلع $b$ در حدود $31$ می باشد.
اندازۀ یکی از زوایای مجهول را با استفاده از قانون کسینوس ها بدست آورید.
از قانونی استفاده کنید که معادله را برای بدست آوردن $a$ حل می کند، مقادیر معلوم را در آن جایگذاری کنید.
$$
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\
15^2 = 31^2 + 20^2 - 2 (31)(20) \cos A
$$
با ساده سازی، انتقال دو جملۀ دیگر به سمت چپ، و تقسیم کردن بر ضریب، این معادله را برای بدست آوردن $\cos A$ حل کنید.
$$
225=961+400-1240 \cos A \\
-1136=-1240 \cos A \\
\frac{-1136}{-1240} = \cos A \\
0.916 = \cos A
$$
با استفاده از جدول پیوست موجود در این کتاب یا یک ماشین حساب علمی می توانید زاویۀ $A$ را بدست آورید:
$$A=\cos^{-1}(0.916)=23.652$$
زاویۀ $A$ در حدود $24$ درجه می باشد.

شما همچنین می توانستید از قانون سینوس ها برای بدست آوردن این زاویه استفاده کنید. از اینکه هنگام حل کردن مسأله ها اینها را با هم ترکیب کنید و مطابقت دهید، نهراسید.
اندازۀ آخرین زاویه را بیابید.
اندازۀ زاویۀ $B$ را با جمع کردن دو زاویۀ دیگر و تفریق حاصلجمع مربوطه از $180$ بدست آورید.
$$180-(124+24)=180-148=32$$
زاویۀ $B$ برابر با $32$ درجه می باشد.

نظرتان در مورد یک کاربرد که از این بخش $SAS$ از قانون کسینوس ها استفاده کند، چیست؟ این وضعیت را در نظر بگیرید: دوستی می خواهد استادیومی را به شکل یک پنج ضلعی منتظم بسازد (پنج ضلع هم اندازه) که هر ضلع آن برابر با $920$ فوت می باشد. مرکز این استادیوم از گوشه های آن چقدر فاصله دارد؟ سمت چپ شکل 9-18 تصویری از این استادیوم و پاره خطی که شما می خواهید مسأله را برای بدست آوردن آن حل کنید، نشان می دهد.

شما می توانید این پنج ضلعی (pentagon) را به پنج مثلث متساوی الساقین تقسیم کنید. قاعدۀ هر مثلث برابر با $920$ فوت می باشد، و دو ضلع دیگر آن هم اندازه می باشند، بنابراین هر دوی آنها را $a$ بنامید. (سمت راست شکل 9-18 را ببینید.) از قانون کسینوسها برای بدست آوردن $a$ استفاده کنید، زیرا می توانید زاویۀ بین آن دو ضلع همنشهت را بدست آورید، بعلاوۀ اینکه هم اکنون طول ضلع مقابل آن زاویه را نیز می دانید.

اندازۀ زاویۀ قرار گرفته در مرکز این پنج ضلعی را تعیین کنید.
یک دایره دارای $360$ درجه می باشد. این عدد را بر $5$ تقسیم کنید، و درخواهید یافت که زاویۀ هر مثلث در مرکز این پنج ضلعی برابر با $72$ درجه می باشد.
از قانون کسینوس ها برای بدست آوردن ضلعی که اندازه اش $920$ فوت می باشد، استفاده کنید. $$
c^2=a^2+a^2-2aa \cos C \\
920^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos 72
$$
از آنجا که دو ضلع دیگر هم اندازه می باشند، هر دوی آنها را به عنوان $a$ در این معادله بیاورید.
این معادله را برای بدست آوردن مقدار $a$ حل کنید. $$
920^2=2a^2 - 2a^2 \cos 72 \\
846,400=2a^2 (1-\cos 72) \\
\frac{846,400}{1-\cos 72} = 2a^2 \\
\frac{846,400}{1-0.309} = 2a^2 \\
\frac{846,400}{0.691}= 2a^2 \\
1,224,891.462= 2a^2 \\
612,445.731=a^2 \\
782.589 = a
$$
فاصلۀ بین مرکز تا یک گوشه بین $782$ تا $783$ فوت می باشد. اکنون دوست شما می داند که چقدر حِصار برای تقسیم این استادیوم به پنج مثلث برابر مورد نیاز می باشد.

قانون کسینوسها برای $SSS$

هنگامی که مقادیر دو یا تعداد بیشتری از اضلاع یک مثلث را بدانید، می توانید از قانون کسینوسها استفاده کنید. در مورد بعدی، شما اندازۀ هر سه ضلع را می دانید، اما اندازۀ هیچکدام از زوایا را نمی دانید. با دانستن اینکه $a$ برابر با $7$، $b$ برابر با $8$، و $c$ برابر با $2$ می باشند، مثلث $ABC$ را برای بدست آوردن اندازۀ سه زاویۀ آن حل کنید.

این مثلث را برای بدست آوردن اندازۀ زاویۀ $A$ حل کنید.
با استفاده از قانون کسینوسها که در آن ضلع $a$ در سمت چپ معادله باشد، مقادیر معلوم را در آن جایگذاری کرده و معادله را ساده کنید.
$$
a^2=b^2+c^2-2bc \cos A \\
7^2 = 8^2+2^2 - 2(8)(2) \cos A \\
49=64+4-32 \cos A \\
-19=-32 \cos A \\
\frac{-19}{-32}=\cos A \\
0.594=\cos A
$$
اکنون از جدول موجود در پیوست کتاب یا یک ماشین حساب علمی برای یافتن اندازۀ زاویۀ $A$ استفاده کنید.
$$A=\cos^{-1}(0.594)=53.559$$
اندازۀ زاویۀ $A$ در حدود $54$ درجه می باشد.
اکنون این مثلث را برای بدست آوردن اندازۀ زاویۀ $B$ حل کنید.
با استفاده از قانون کسینوسها که در آن $b$ در سمت چپ معادله باشد، مقادیر معلوم را در آن جایگذاری کنید و معادله را ساده کنید.
$$
b^2=a^2+c^2 - 2 ac \cos B \\
8^2=7^2+2^2-2(7)(2) \cos B \\
64=49+4 -28 \cos B \\
11=-28 \cos B \\
\frac{11}{-28}=\cos B \\
-0.393 = \cos A
$$
کسینوس منفی بدین معنا می باشد که این زاویه، منفرجه می باشد ـــ ضلع نهایی آن در ربع صفحۀ دوم قرار دارد. اکنون از جدول موجود در پیوست کتاب یا یک ماشین حساب علمی برای یافتن اندازۀ زاویۀ $B$ استفاده کنید.
$$B=\cos^{-1}(-0.393)=113.141$$
اندازۀ زاویۀ $B$ در حدود $113$ درجه می باشد.
اندازۀ زاویۀ $C$ را تعیین کنید.
از آنجا که زاویۀ $A$ برابر با $54$ درجه و زاویۀ $B$ برابر با $113$ درجه می باشد، آنها را با یکدیگر جمع بزنید و حاصل جمع بدست آمده را از $180$ تفریق کنید تا اندازۀ زاویۀ $C$ را بدست آورید.
$$180-(54+113)=180-167=13$$
اندازۀ زاویۀ $C$ برابر با $13$ درجه می باشد.

مبهم بودن

بسیاری از افراد یادگیرندگان بصری هستند، هنگامی که از یک تصویر استفاده کنند مسأله ها را بهتر حل می کنند. این ویژگی به چنین افرادی در هنگامی که موضوع حل کردن مثلثهایی که $SSA$ می باشند، در میان باشد، کمک می کند، بدین معنا که آنها اندازۀ دو ضلع و یک زاویه که بین آن دو ضلع نباشد را می دانند. ترسیم یک تصویر در توصیف اینکه چرا این وضعیت می تواند بیش از یک پاسخ داشته باشد، کمک می کند. هنگامی که از این تنظیم در یک کاربرد واقعی استفاده می کنید، پاسخ صحیح معمولاً کاملاً واضح است. در ابتدا، به شما نشان می دهم چگونه یکی از این مسأله ها را به طور کلی حل کنید؛ سپس به شما نشان خواهم داد چگونه این موضوع می تواند در زندگی واقعی نقشی ایفا کند.

بخشهای مجهول از مثلث $ABC$ با اضلاع $a$ و $b$ که به ترتیب دارای اندازه های $85$ درجه و $93$ درجه می باشند، و زاویۀ $A$ که $61$ درجه است، را بیابید. شکل 11-18 این وضعیت را به شما نشان می دهد.

طول ضلع $c$ را با استفاده از قانون کسینوسها با $a$ در سمت چپ معادلۀ آن، بدست آورید.
به این دلیل از این شکل استفاده کنید که بعد از جایگذاری مقادیر معلوم، تنها حالتی است که یک متغیر برای حل کردن به شما می دهد ـــ هر چند آن متغیر دارای توانی از دو باشد.
این مقادیر را در قانون کسینوسها وارد کنید.
$$
a^2=b^2+c^2-2bc \cos A \\
85^2 = 93^2 + c^2 - 2 (93)(c) \cos 61
$$
با انجام تمام عملیات ها و منزوی کردن متغیرها در سمت راست معادله، آن را ساده کنید.
$$
7,225=8,649+c^2-186(c)(0.485) \\
-1,424=c^2 - 90.21c
$$
در نهایت به یک معادلۀ درجه دوم می رسید.
با استفاده از فرمول حل معادلۀ درجه دوم یا یک ماشین حساب، پاسخهای این معادله را بدست آورید.
$$
0=c^2-90.21c+1,424 \\
c=69.813 \text{ or } 20.397
$$
بنابراین $c$ برابر با $70$ یا $20$ می باشد.
اجازه دهید $c$ برابر با $70$ درجه باشد، و اندازۀ دو زاویۀ دیگر را بدست آورید.
این بار، به جای قانون کسینوسها، از قانون سینوسها استفاده کنید.
از زاویۀ $A$ و ضلع $a$ استفاده کنید، و این نسبت را با زاویۀ $C$ و ضلع $c$ جفت کنید تا به نتایج زیر برسید:
$$
\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin C}{c} \\
\frac{\sin 61}{85}=\frac{\sin C}{70}
$$
اکنون هر سمت از معادله را در $70$ ضرب کنید، و آن را برای بدست آوردن سینوس $C$ حل کنید.
$$
\require{cancel}
70 \cdot \frac{\sin 61}{85} = \frac{\sin C}{\cancel{70}} \cdot \cancel{70} \\
70 \cdot \frac{0.875}{85} = \sin C \\
0.721 = \sin C
$$
آن را برای بدست آوردن زاویه ای با این سینوس حل کنید.
$$C=\sin^{-1}(0.721)=46.137$$
اندازۀ زاویۀ $C$ در حدود $46$ درجه می باشد.
اگر زاویۀ $A$ برابر با $61$ درجه باشد و زاویۀ $C$ برابر با $46$ درجه باشد، سپس زاویۀ $B$ برابر با $180$ درجه منهای مجموع $A$ و $C$ خواهد بود:
$$180-(61+46)=180-107=73$$
حالا اجازه دهید اندازۀ $c$ برابر با $20$ باشد، و اندازۀ دو زاویۀ دیگر را بیابید.
به قانون کسینوس ها بازگردید تا این بخش را انجام دهید. شما می توانید این دو روش را با یکدیگر مقایسه کنید ـــ روشی که در این مرحله است و روشی که در مرحلۀ 2 دیدید ـــ تا ببینید کدام روش را بیشتر می پسندید.

قانون کسینوسها را با $c$ در سمت چپ معادلۀ آن برای بدست آوردن کسینوس زاویۀ $C$ حل کنید:
$$
c^2=a^2+b^2-2ab \cos C \\
20^2 = 85^2 + 93^2 - 2(85)(93) \cos C \\
400=7,225 + 8,649 - 15,810 \cos C \\
-15,4747 = -15,810 \cos C \\
\frac{-15,474}{-15,810} = \cos C\\
0.979 = \cos C
$$
از جدول موجود در پیوست این کتاب یا از یک ماشین حساب علمی برای یافتن اندازۀ زاویۀ $C$ استفاده کنید.
$$C=\cos^{-1}(0.979) = 11.763$$
اندازۀ زاویۀ $C$ در حدود $12$ درجه می باشد، که بدین معنا می باشد که زاویۀ $B$ طبق محاسبات زیر، برابر با 107 درجه خواهد بود:
$$180-(61+12)=180-73=107$$

این مورد مبهم اندکی سردرگمی ایجاد می کند. چرا ممکن است دو پاسخ را بخواهید؟ مثال زیر می تواند به روشن شدن این راز کمک کند. شما در حقیقت دو پاسخ نمی خواهید. شما صرفاً به دنبال یک پاسخ هستید که به سوال شما پاسخ دهد.

اسلیم (Slim) و جیم (Jim) هر دو در محل تقاطع دو جاده نشسته اند، که یک زاویۀ $50$ درجه را می سازد. آنها هم زمان آن محل تقاطع را ترک می کنند ـــ اسلیم با کامیون قدیمیِ قراضه و درب و داغون خودش، و جیم در جیپ تند و سریع خودش. هنگامی که جیم $400$ یارد پیش می رود، هر دوی آنها در فاصلۀ $320$ یاردی از یکدیگر قرار دارند. در این مرحله اسلیم چه مسافتی را طی کرده است؟

شما مسلماً برای این مسأله نیاز به یک تصویر دارید (شکل 12-18 را ببینید).

شما می توانید با خیالی آسوده فرض کنید که اسلیم نمی تواند با آن ماشین درب و داغانش بیش از جیم پیش رفته باشد ـــ مگر اینکه کامیون او دارای قدرتهای پنهان و رمزآلودی باشد. مسافتی را که اسلیم پیموده است با استفاده از قانون کسینوسها محاسبه کنید، مسافت بین $I$ تا $S$، برای سازگاری با سایر اسامی این مثلث، من این مسافت را $j$ می نامم. ضلع $s$ برابر با $400$ یارد، و زاویۀ $I$ برابر با $50$ درجه می باشد.

قانون کسینوسها را بنویسید، و حروف الفبا را با مقادیر جایگزین کنید. $$
i^2=s^2+j^2-2(s)(j) \cos I \\
320^2 = 400^2 + j^2 - 2(400)(j) \cos 50 \\
102,400=160,000+j^2-800j(0.643) \\
0=57,600+j^2-514.4j
$$
این معادله، به یک معادلۀ درجه دوم با متغیر $j$ ساده می شود.
این معادلۀ درجه دوم را حل کنید. $$0=j^2-514.4j+57,600$$
با استفاده از یک ماشین حساب، یا فرمول حل معادلۀ درجه دوم، به دو پاسخ دست می یابید: $x=349.676$ و $x= 164.723$ . هر دوی این پاسخها مسافتی را به شما می دهند که کوچکتر از مسافت طی شده توسط جیم می باشد. به شکل 12-18 مراجعه کنید، و پاسخی را که به نظر صحیح تر می آید، انتخاب کنید.