خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


یافتن مساحت مثلث ها

یافتن مساحت مثلث ها
نویسنده : امیر انصاری
یافتن مساحت یک مثلث نسبتاً آسان به نظر می رسد. بیشتر بچه مدرسه ای ها شانس فراوانی برای انجام این کار دارند. به آنها یک مثلث همراه با طول قاعده و ارتفاعی که به قاعده ترسیم شده است، داده می شود. ساده است! کافیست این مقادیر را در آن فرمول جایگذاری کنید، و پاسخ را خواهید داشت. اما در موردش فکر کنید: چندبار به شما یک ناحیۀ مثلثی شکل از زمین یا ناحیۀ مثلثی شکل در آب برای قایقرانی داده شده است، و شما ارتفاع آن را در اختیار داشته اید؟

آموزش سالیدورکز 20-2019



چیزی که در این بخش می یابید فرمولی برای هر موقعیتی است. به من یک مثلث بدهید، و من مساحت آن را می یابم. اگرچه ارتفاع و قاعده زیبا خواهند بود، من می توانم این مسأله را با اندازۀ سه ضلع آن انجام دهم. شما دو ضلع و زاویۀ بین آن دو را دارید؟ مسلماً، می توانم آن را حل کنم. در مورد دو زاویه و ضلع بین آنها چطور؟ برای آن هم فرمولی دارم.

البته، اگر اندازه های یکی از این وضعیتهای دقیق را نداشته باشید، می توانید با استفاده از قانون سینوس ها، کسینوس ها، یا تانژانت ها، مقادیر اضلاع یا زوایایی را که می خواهید بدست آورید.

یافتن مساحت مثلث با استفاده از قاعده و ارتفاع


ساده ترین فرمول یافتن مساحت یک مثلث زمانی رخ می دهد که قاعده و ارتفاع آن را داشته باشید. ارتفاع از رأس مقابل به صورت عمود بر آن قاعده ترسیم می شود. شکل 13-18 منظور من را نشان می دهد.

یافتن مساحت مثلث ها
معادلۀ مساحت یک مثلث (\(A\)) ، با قاعدۀ \(b\) و ارتفاع \(h\) برابر است با:
$$A=\frac{1}{2}bh$$

به عنوان مثال، برای یافتن مساحت مثلثی با اندازۀ قاعدۀ \(12\) اینچ و ارتفاع \(5\) اینچ، این مقادیر را در این معادله جایگذاری کنید. درخواهید یافت که:
$$A=\frac{1}{2}(12)(5)=30$$
مساحت این مثلث برابر با \(30\) اینچ مربع می باشد.

اگر بر حسب تصادف آن مثلث یک مثلث قائم الزاویه باشد، شما واقعاً آمادۀ انجام این کار هستید. ارتفاع و قاعده، ساق های مثلث قائم الزاویه می باشند، ساقهای یک مثلث قائم الزاویه دو ضلعی هستند که بر یکدیگر عمود می باشند. کافیست نصف قاعده ضربدر ارتفاع را بیابید. در اینجا مثالی داریم.

کریستن (Kirsten) یک قطعه زمین دو نبش دارد و می خواهد در محل تقاطع دو پیاده رو یک باغچۀ مثلثی شکل بسازد. او یک مرز \(20\) فوتی دارد که به شکل مورب از این سر تا آن سر می رود، یا به عبارتی وتر این مثلث قائم الزاویه است. او می خواهد یک سمت در امتداد پیاده رو برابر با \(12\) فوت باشد. مساحت این باغچه چقدر خواهد بود؟ شکل 14-18 این وضعیت را نشان می دهد.

یافتن مساحت مثلث ها
  1. طول ساق دیگر این مثلث قائم الزاویه را بیابید.
    با استفاده از قضیۀ فیثاغورث، و نامگذاری ضلع مجهول با \(x\)، خواهید داشت:
    $$
    x^2+12^2=20^2 \\
    x^2 +144=400 \\
    x^2 = 400-144=256 \\
    x=\sqrt{256}=16
    $$
    طول ضلع دیگر برابر با \(16\) فوت می باشد.

  2. مساحت این مثلث را بیابید.
    قاعده برابر با \(12\) و ارتفاع برابر با \(16\) فوت می باشند. با استفاده از فرمول مساحت مثلث خواهید داشت:
    $$A=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}(12)(16)=96$$
    مساحت این مثلث برابر با \(96\) فوت مربع می باشد.

یافتن مساحت مثلث با استفاده از سه ضلع آن


فرض کنید \(240\) یارد (yards) حصار دارید، و می خواهید با آن یک آغل مثلثی شکل برای نگهداری لاماهایتان بسازید. شما می خواهید بدانید که لاماهایتان فضای کافی برای دویدن داشته باشند، بنابراین نیاز دارید تا مساحت این آغل را بدانید. طول اضلاع این مثلث باید چقدر باشند؟ شما می توانید این مسأله را با استفاده از فرمول هرون (Heron’s formula) برای مساحت مثلث حل کنید.

فرمول هرون بیان می دارد اگر مثلث \(ABC\) دارای اضلاعی با طول \(a\)، \(b\)، و \(c\) باشد که مقابل زوایای مربوطه باشند، و نصف محیط (semiperimeter) را برابر با \(s\) قرار دهید، سپس، مساحت آن مثلث از این فرمول محاسبه می شود:
$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

در مسالۀ حصارکشی و لاما، شما روش های بسیاری برای ایجاد یک آغل مثلثی شکل با محیط \(240\) یارد دارید. شکل 15-18 برخی از این احتمالات را نشان می دهد. توجه داشته باشید که در هر مورد مجموع طول اضلاع (در واقع محیط) برابر با \(240\) می باشد. در این مسأله، در مورد دروازۀ آغل نگران نباشید.

یافتن مساحت مثلث ها
کدامیک از این مثلثها بیشترین مساحت را دارد؟ به وضوح می توان دید که یکی از آنها، حتی با وجود اینکه همانند بقیۀ آنها، تمامی \(240\) یارد حصارکشی را استفاده کرده است، استخوانی تر از بقیه است. در اینجا چگونگی محاسبۀ مساحت هر سه مثلث را می بینید.

  1. نصف محیط (semiperimeter) را برای هر کدام از این مثلثها بیابید.
    با توجه به شکل 15-18 داریم:
    • مثلث سمت چپ:
      $$\frac{1}{2}(62+100+78)=\frac{1}{2}(240)=120 $$
    • مثلث میانی:
      $$\frac{1}{2}(117+80+43)=\frac{1}{2}(240)=120 $$
    • مثلث سمت راست:
      $$\frac{1}{2}(80+80+80)=\frac{1}{2}(240)=120 $$
    جای هیچ تعجبی نیست که نصف محیط در تمامی این مثلثها یکسان باشد، زیرا محیط هر سه مثلث برابر با \(240\) است.

  2. از فرمول هرون برای یافتن مساحت هر کدام از این مثلث ها استفاده کنید.
    دوباره به شکل 15-18 مراجعه می کنیم:
    • مثلث سمت چپ:
      $$
      A=\sqrt{120(120-62)(120-100)(120-78)} \\
      =\sqrt{120(58)(20)(42)}=2,417.933
      $$
    • مثلث میانی:
      $$
      A=\sqrt{120(120-117)(120-80)(120-43)} \\
      =\sqrt{120(3)(40)(77)} = 1,052.996
      $$
    • مثلث سمت راست:
      $$
      A=\sqrt{120(120-80)(120-80)(120-80)} \\
      =\sqrt{120(40)(40)(40)}=2,771.281
      $$
مثلث سمت راست، بزرگترین مساحت را دارد. در اشکال موجود در تصویر 15-18 این مثلث بهترین گزینۀ ممکن است. اما ممکن است با خودتان بیندیشید، آیا اشکال دیگری مساحت بیشتری از این مثلث را به شما می دهند. پاسخ اینست: نه. با استفاده از حسابان (calculus)، شما می توانید اثبات کنید که یک مثلث متساوی الاضلاع بیشترین مساحت ممکن را با هر میزان حصارکشی به شما می دهد. بدون حسابان، باید اشکال بسیاری را با آزمون و خطا مورد بررسی قرار دهید تا بتوانید خودتان را قانع کنید (یا اینکه می توانید به سادگی به من اعتماد کنید).

یافتن مساحت مثلث با \(SAS\)


هنگامی که طول دو تا از اضلاع یک مثلث، بعلاوۀ اندازۀ زاویۀ بین آن دو ضلع را بدانید، می توانید مساحت آن مثلث را بیابید. این روش نیاز به اندکی مثلثات دارد ـــ شما باید سینوس زاویۀ بین این دو ضلع را بیابید. اما فرمول این کار واقعاً سرراست است.

اگر مثلث \(ABC\) دارای اضلاعی با اندازه های \(a\)، \(b\) و \(c\) باشد که روبروی زوایای مرتبطشان قرار داشته باشند، شما می توانید مساحت این مثلث را با یکی از فرمولهای زیر بدست آورید:
$$
A=\frac{1}{2}ab \sin C \\
A=\frac{1}{2} bc \sin A \\
A=\frac{1}{2}ac \sin B
$$

به عنوان مثال، به مثلث قائم الزاویۀ \(30-60-90\) در شکل 16-18 بنگرید. من از این مثال خاص به این دلیل استفاده کرده ام که اعداد حاصل از آن زیبا هستند.

یافتن مساحت مثلث ها
ابتدا، با استفاده از زاویۀ \(B\) و دو ضلعی که آن را تشکیل داده اند، مساحت آن را بیابید.

  1. نسخۀ مناسب از فرمول را انتخاب کنید.
    فرمولی که از زاویۀ \(B\) استفاده می کند برابر با \(A=\frac{1}{2}ac \sin B\) می باشد.

  2. سینوس این زاویه را بیابید. $$\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
  3. مقادیر را در فرمول جایگذاری کنید و ساده سازی نمایید. $$
    \require{cancel}
    A=\frac{1}{\cancel{2}} (\cancel{18}^9) \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{2}$$
اکنون مساحت را با استفاده از زاویۀ \(C\) و دو ضلع تشکیل دهندۀ آن بیابید.

  1. نسخۀ مناسب از فرمول را انتخاب کنید.
    فرمولی که از زاویۀ \(B\) استفاده می کند برابر با \(A=\frac{1}{2}ab \sin C\) می باشد.

  2. سینوس این زاویه را بیابید. $$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$$
  3. مقادیر را در فرمول جایگذاری کنید و ساده سازی نمایید. $$
    A=\frac{1}{\cancel{2}} (\cancel{18}^9) (9\sqrt{3}) = \frac{81\sqrt{3}}{2}
    $$
مسلماً، استفاده از روشی که شامل زاویۀ \(A\) باشد، نتایج یکسانی را به شما می دهد. برای یک مقایسۀ سریع، می توانید از فرمول معمولی \(A=\frac{1}{2}bh\) استفاده کنید تا مساحت این مثلث را بیابید. از آنجا که شما با یک مثلث قائم الزاویه سر و کار دارید، قاعده و ارتفاع دو ساق این مثلث می باشند. تمامی این روشها نتایج یکسانی را تولید می کنند.

یافتن مساحت مثلث با \(ASA\)


همانطور که گمان کرده بودید، هنگامیکه دو زاویه و ضلع بین آنها را داشته باشید، می توانید مساحت یک مثلث را بیابید. فرمولهای آن به شرح زیر می باشند.

در مثلث \(ABC\)، اگر اندازۀ اضلاع آن برابر با \(a\)، \(b\)، و \(c\) باشند و این اضلاع روبروی زوایای متناظرشان باشند، می توانید مساحت این مثلث را با یکی از فرمول های زیر بدست آورید:
$$
A=\frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A} \\
A=\frac{b^2 \sin A \sin C}{2 \sin B} \\
A=\frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C}
$$

این فرمول ها در واقع از روی فرمول یافتن مساحت مثلث با \(SAS\)، همراه با اندکی کمک از قانون سینوس ها، ایجاد شده اند. در اینجا چگونگی بوجود آمدن یکی از آنها را می بینید.

  1. با قاعدۀ \(SAS\) برای مساحت کار را آغاز کنید. $$A=\frac{1}{2}ab \sin C$$
  2. قانون سینوس ها که شامل زوایای \(A\) و \(B\) می گردد را بنویسید. $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$$
  3. این تناسب را برای بدست آوردن \(b\) حل کنید. $$
    \sin B \cdot \frac{a}{\sin A}= \frac{b}{\cancel{\sin B}} \cdot \cancel{\sin B} \\
    \frac{\sin B \cdot a}{\sin A} = b
    $$
  4. معادل \(b\) را در فرمول مساحت مرحلۀ 1 جایگذاری کنید. $$
    A=\frac{1}{2}a\biggl(\frac{\sin B \cdot a}{\sin A}\biggr) \sin C \\
    = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin A}
    $$
    این اولین فرمول از فرمولهای بالا می باشد. اگر بخواهید می توانید بقیۀ فرمولها را خودتان با همین روش بسازید.

اکنون مثالی را در نظر بگیرید. فرض کنید مثلثی با زاویۀ \(A\)، که \(45\) درجه می باشد، و زاویۀ \(B\)، که \(55\) درجه می باشد، و ضلع بین آنها، \(c\) که برابر با \(10\) می باشد، دارید. مساحت آن را بیابید.

  1. فرمول صحیح را انتخاب کنید ـــ موردی که در آن \(c^2\) وجود دارد. $$A=\frac{c^2 \sin A \sin B}{2 \sin C}$$
  2. سینوس این دو زاویۀ داده شده را پیدا کنید.
    سینوس \(45\) درجه برابر با \(0.707\)، و سینوس \(55\) درجه برابر با \(0.819\) می باشد.

  3. سینوس سومین زاویه را بیابید.
    اندازۀ زاویۀ \(C\) اینگونه محاسبه می شود:
    $$180-(45+55)=180-100=80$$
    سینوس \(80\) درجه برابر با \(0.985\) می باشد.

  4. این مقادیر را در این فرمول جایگذاری کنید و آن را حل کنید. $$A=\frac{10^2(0.707)(0.819)}{2(0.985)} = 29.393$$
    این مساحت اندکی بیش از \(29\) واحد مربع می باشد.


با معرفی سایت خوش آموز به دوستان و همکلاسی هایتان از ما حمایت کنید.

دیدگاه ها(1)

بیگ مسعود ۱۳۹۹/۱۲/۱۷

باریک الله

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.

لطفا پیش از ارسال دیدگاه ، به نکات زیر توجه فرمایید :

- از نوشتن دیدگاه های غیر مرتبط با پست جدا خودداری کنید. دیدگاه ها و سوالات متفرقۀ خود را می توانید در تالارهای گفتمان خوش آموز مطرح نمایید.
- لطفاً دیدگاه های خود را با حروف فارسی تایپ کنید، دیدگاه های فینگیلیش تایید نمی شوند.
- قبل از ارسال دیدگاه حتما متن پست و نظرات سایر دوستان را بخوانید . نظرات اسپم و تکراری تایید نخواهند شد.
- نظر شما ممکن است بدون پاسخ تایید شوند که در این صورت باید منتظر پاسخ از سوی دیگر کاربران باشید .
- لطفا انتقادات و پیشنهادات و همچنین درخواست های خود را از طریق ایمیل khoshamoz[at].hotmail.com ارسال نمایید
- چرا آموزش های سایت خوش آموز در قالب فایل pdf به صورت یکجا ارائه نمی شوند؟
- چرا برخی پرسش های کاربران پاسخ داده نمی شوند؟