خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


استفادۀ کاربردی از توابع سینوس و کسینوس

استفادۀ کاربردی از توابع سینوس و کسینوس
نویسنده : امیر انصاری
منحنی سینوس و تابع مشترک آن، کسینوس، برای مدلسازی موقعیت هایی که به شیوه ای قابل پیش بینی، بارها و بارها تکرار می شوند، عالی هستند. به عنوان مثالهایی می توان به آب و هوا، فروش فصلی کالاها، دمای بدن، ارتفاع جزر و مد در یک بندرگاه، میانگین دماها، و ... اشاره کرد. در این بخش، با چندین مثال به شما نشان می دهم چگونه می توانید از این توابع در موقعیت های عملی استفاده کنید. در هر مورد، اشاره خواهم کرد، چگونه نمودار آن تابع، دامنۀ نوسان، دورۀ تناوب، و هر گونه انتقالی را نشان می دهد. برای اطلاعات بیشتر در مورد این مفاهیم، بخش های پیشین همین فصل را مرور کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



آفتاب بگیرید


سن دیه گو در کالیفورنیا (San Diego, California)، یکی از جذابترین جاهای دنیا می باشد. چه تابستان باشد یا زمستان، شما دوست دارید آنجا باشید. اما اگر شما شخصی باشید که روزهای آفتابی طولانی را دوست داشته باشد، چطور؟ چه زمانی برای رفتن به سن دیه گو بهترین موقع است؟ فرض کنید که فرمول زیر، هنگامی که هر روز از سال را به عنوان ورودی به آن بدهید، تعداد ساعات روشنی روز در سن دیه گو را به شما می دهد. فرض کنید \(t\) آن روز مشخص از سال باشد (از \(1\) تا \(365\))، شما می توانید تعداد ساعات تابش آفتاب در طول آن روز را که با \(H\) نشانش می دهید، با معادلۀ \(H(t)=2.4 \sin (0.017 t - 1.377)+12\) بدست آورید. شکل 9-19 نمودار این معادله را به شما نشان می دهد.

استفادۀ کاربردی از توابع سینوس و کسینوس
دامنۀ نوسان منحنی این سینوس برابر با \(2.4\) می باشد، که بدین معناست که تعداد ساعتهای روشنایی روز تا \(2.4\) ساعت بالاتر و پایینتر از میانگین تعداد ساعات روشنایی روز، گسترش می یابد. میانگین تعداد ساعات روشنایی روز برابر با \(12\) است. هنگامی که \(2.4\) را به این عدد جمع یا از آن تفریق کنید، درخواهید یافت که بسته به زمانی از سال که روز مربوطه در آن قرار دارد، تعداد ساعات روشنایی روز در بازۀ \(14.4\) تا \(9.6\) قرار دارد. دورۀ تناوب برابر با \(\frac{2\pi}{0.017} \approx 370\) است، که بدلیل گرد کردن در فرمول، اندکی طولانی تر از یک سال است. ضریب \(t\) در تابع \(H(t)=2.4 \sin(0.017t-1.377)+12\) بدین معناست که \(0.017\) از این منحنی میزان فضای معمول یک منحنی که \(2\pi\) واحد است، را می گیرد. همانطور که بر روی نمودار می توانید ببینید، روزی که بیشترین روشنایی آفتاب را دارد \(27\) ژوئن می باشد. شما می توانید این بالاترین نقطه را با استفاده از یک ماشین حساب نموداری تعیین کنید. حالا دیگر می دانید چه زمانی باید به سن دیگو بروید.

دمای متوسط


یک مدل نسبتاً منطقی برای میانگین دمای روزانه در پیوریای ایلینویز (Peoria, Illinois)، برابر با \(T(x)=50-42 \cos(0.017x-0.534)\) می باشد، که در آن \(x\) روزی از سال است که از \(1\) ژانویه آغاز می شود. \(T(x)\) دما را در واحد درجۀ فارنهایت نشان می دهد. این نمودار در واحد رادیان می باشد، از آنجا که رادیان ها، برخلاف درجه ها، اعداد حقیقی می باشند، شما نیاز به اعدادی برای شمارش روزها دارید. شکل 10-19 به شما نشان می دهد که نمودار این تابع برای کل یکسال به چه شکلی می باشد.

استفادۀ کاربردی از توابع سینوس و کسینوس
ضریب تابع کسینوس برابر با \(42\) است، بنابراین دامنۀ نوسان این منحنی \(42\) می باشد. در مورد علامت منفیِ قرار گرفته پیش از \(42\) نگران نباشید. به هر حال این نمودار رو به سمت بالا و پایین می رود، بنابراین آن علامت منفی صرفاً منجر می شود تا این نمودار به جای اینکه ابتدا بالا و سپس پایین برود، برعکس عمل کند و ابتدا رو به پایین و سپس رو به بالا برود.

این دورۀ تناوب توسط ضریب \(0.017\) تحت تاثیر قرار گرفته است. نتیجۀ این ضرب اینست که فقط \(0.017\) از منحنی کسینوس میزان فضایی را که معمولاً برای کل یک منحنی اشغال می شود، بگیرد، که برابر با \(2\pi\) یا اندکی بیش از \(6\) واحد است. از آنجا که این نمودار برای یک سال کامل است، این منحنی باید بر روی \(365\) روز گسترش یابد، بنابراین هر کدام از این واحدهای افقی صرفاً اندکی از آن را دارند.

انتقال \(50\) واحدی رو به بالا برابر با دمای متوسط یا میانگین سال می باشد. دامنۀ نوسان \(42\) را به این عدد اضافه کنید، و دمای میانگین تا \(92\) درجه بالا می رود؛ دامنۀ نوسان را تفریق کنید، و میانگین تا \(8\) درجه پایین می آید. توجه داشته باشید که این منحنی اندکی قبل از سمت راست محور \(y\) آغاز می شود تا تغییرات فصل ها را لحاظ کند. برای اطلاعات بیشتر در زمینۀ انتقال منحنی ها به سمت چپ، راست، بالا، و پایین، فصل 22 را ببینید.

با این نمودار چه کاری می توانید انجام دهید؟ می توانید زمانهایی که بیشترین و کمترین دما رخ داده اند را پیش بینی کنید و اگر قصد عزیمت به پیوریا در ایلینویز را داشته باشید، شناختی از انواع آب و هواهایی که باید انتظارش را داشته باشید، پیدا کنید. شکل 11-19 نمودار میانگین دما، همراه با نقاطی برای برخی از روزهای سال و میانگین دما در آن روزها را نشان می دهد. هنگام ترسیم نمودار این شکل ها و محاسبۀ این مقادیر، استفاده از یک ماشین حساب نموداری، اجتناب ناپذیر می باشد. شما می توانید مقادیر \(x\) را وارد تابع کنید تا دریابید که در آن نقاط مشخص، مقادیر \(y\) چه می باشند، یا اینکه می توانید امتداد این منحنی را دنبال کنید تا اندازه های مربوطه را بدست آورید.

استفادۀ کاربردی از توابع سینوس و کسینوس

دمای بدن خودتان را بگیرید


دمای بدن یک انسان در طول روز به جای اینکه در مقدار نُرمال \(98.6\) درجۀ فارنهایت بماند، در نوسان می باشد. و در واقع، هر شخصی یک دمای نُرمال ندارد. بسیاری از افراد گرمتر یا سردتر از حد معمول هستند.

اگر شما یکی از آن افراد خاصِ دارای دمای بدن طبیعی و نرمال باشید، در آن صورت دمای بدن شما هر روز در حدود \(1\) درجه بالاتر یا پایینتر می رود. فرمول \(T(x)=\sin(x+0.262)+98.6\) می تواند مدلی از دمای بدن شما در دورۀ تناوب \(24\) ساعت باشد. متغیر \(x\) تعداد ساعتها از نیمه شب می باشد، بنابراین این معادله از یک ساعت دارای قالب \(24\) ساعته استفاده می کند. این دما در واحد درجۀ فارنهایت می باشد. این نمودار در واحد رادیان می باشد، بنابراین شما می توانید اعداد را برای ساعتها وارد کنید. شکل 12-19 نشان می دهد، نمودار یک دما می تواند چگونه باشد، به برخی از زمان ها و دماها توجه کنید. اکنون می توانید بفهمید که چرا پاهای شما در لحظات آغازین بعد از نیمه شب، سرد می شوند.

استفادۀ کاربردی از توابع سینوس و کسینوس

ایجاد یک هدف


با وجود اینکه مردم در بسیاری از جاهای دنیا تمام طول سال فوتبال بازی می کنند، در برخی از زمانهای سال فروش کفش های فوتبال در فضای باز افزایش را نشان می دهد. در اینجا مدلی برای فروش کفش ها داریم که در آن \(N\) در واحد میلیون جفت کفش و \(m\) ماه سال می باشد: \(N(m)=44 \sin (0.524m)+70\) . از روی این معادله می توانید بگویید که میانگین تعداد جفت کفش های فروش رفته برابر با \(70\) میلیون جفت می باشد، که آن انتقال عمودی رو به بالا است. این عدد بین \(26\) میلیون و \(114\) میلیون، نوسان دارد، که با افزودن یا تفریقِ دامنۀ نوسان، \(44\)، به یا از آن مقدار میانگین بدست می آید. دورۀ تناوب در این مدل برابر با \(\frac{2\pi}{0.524} \approx 11.99\) یا \(12\) ماه می باشد. شکل 13-19 نموداری از این تابع را نشان می دهد.

نموداری مانند موردی که در شکل 13-19 می بینید، می تواند به توزیع کنندگان و خرده فروشان در برنامه های فروششان کمک کند.

استفادۀ کاربردی از توابع سینوس و کسینوس

نظریه پردازی با بیوریتم


سالها پیش، اجتماع نرخ زیادی در بیوریتم های (biorhythms) افراد را نشان داد، بیوریتم یا زیست آهنگ، عبارت از دوره های فیزیکی، عاطفی، و فکری می باشد که یک شخص در طول زندگی اش تجربه می کند. حتی بسیاری از افراد کتابهایی در مورد آنها می نویسند. برخی عقیده دارند که این دوره ها بر چگونگی واکنش یک شخص در موقعیتهای زندگی اش تاثیر می گذارد. آنها حتی پا را فراتر از این نهاده اند تا بگویند که موقعیتهای این منحنی ها بر روی تصمیمات بزرگی که ستاره های سینما و سیاستمداران می گیرند، تاثیر می گذارد.

بیوریتم ها چه ارتباطی با مثلثات دارند؟ این نظریۀ بیوریتم از منحنی سینوس استفاده می کند. ظاهراً، دورۀ زندگی ما با تولد آغاز می شود و همانند منحنی سینوس نوسان پیدا می کند. دورۀ فیزیکی \(23\) روز طول می کشد، دورۀ عاطفی \(28\) روز طول می کشد، و دورۀ فکری \(33\) روز طول می کشد. اگر تمامی این دوره ها را بر روی یک نمودار ترسیم کنید، و این نمودار را با روزی که متولد شده اید آغاز کنید، می توانید ببینید که الان این دوره ها در کجا قرار دارند و در آینده وضعیتشان به چه شکل خواهد بود. شکل 14-19، نموداری از سه دورۀ بیوریتم را که از تاریخ تولد یک شخص آغاز می شوند را نشان می دهد.

در شکل 14-19 می توانید ببینید که چگونه این دوره های مختلف، دارای دوره های تناوب متفاوت می باشند. تصور کنید که این منحنی های سینوس برای سالها و سالها ادامه یابند، از محور \(x\) و از یکدیگر عبور کنند. شکل 15-19 چندین دورۀ بیوریتم را برای چندین شخص خیالی، برای چندین سال در ماه مارچ، ترسیم کرده است.

استفادۀ کاربردی از توابع سینوس و کسینوس
اگر به این نظریۀ بیوریتم باور داشته باشید که بیان می دارد این منحنی ها وجود دارند، می توانید ببینید که در حدود ماه سیزدهم، تمامی این دوره های بالای محور \(x\) قرار دارند، و بعد از حدود ماه بیست و پنجم، همگی زیر محور \(x\) قرار دارند. ظاهراً، هنگامی که یک منحنی بالای محور \(x\) قرار داشته باشد، همه چیز خوش و خرم است ـــ یک شخص در وضعیت سلامت خوب، عواطف خوب، و بسیار هوشمند قرار دارد. هنگامی که این منحنی زیر محور \(x\) باشد، این شخص تمایل دارد که بیمار، افسرده، و کودن باشد. علاوه بر اینها، این نظریه بیان می دارد، هنگامی که این منحنی ها در جهت بالا به پایین یا برعکس از محورها عبور می کنند، آن روزها حیاتی هستند. یک روز حیاتی زمانی است که تحولات و بحران ها امکان پذیرند. در این گونه روزها بهتر است که در تختخوابتان بمانید ـــ اگر آنجا امن تر باشد. من حدس می زنم روشی برای اثبات یا رد این نظریه نباشد، اما مطمئناً کاربرد جالبی از منحنی سینوس را نشان می دهد!


با معرفی سایت خوش آموز به دوستان و همکلاسی هایتان از ما حمایت کنید.

نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.