خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


ترسیم نمودار تابع کسکانت

ترسیم نمودار تابع کسکانت
نویسنده : امیر انصاری
توابع کسکانت (cosecant) و سکانت (secant) دارای مشابهت هایی با یکدیگر می باشند، نه فقط به خاطر اینکه کسرمتقابل سینوس و کسینوس هستند، بلکه علاوه بر آن به این دلیل که نمودارهای آنها بسیار شبیه یکدیگرند. همانطور که در این فصل خواهید دید، ساده ترین روش برای ترسیم نمودار این دو تابع اینست که آنها را به نمودار کسرهای متقابلشان (reciprocals) مرتبط کنیم. انجام این کار در تعیین خطوط مجانب (asymptotes)، (جایی که این منحنی ها به بی نهایت یا منفی بی نهایت نزدیک می شوند)، نقاط برگشت (turning points)، و شکل کلی منحنی، کمک می کند.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



تعیین خطوط مجانب


تابع کسکانت، کسرمتقابل تابع سینوس می باشد (بدین معنا که کسکانت برابر با \(1\) تقسیم بر سینوس است). با وجود اینکه تابع سینوس دارای دامنه ای می باشد که شامل تمامی اعداد ممکن است، این ویژگی در مورد کسرمتقابل آن برقرار نمی باشد. هرجا که تابع سینوس برابر با \(0\) باشد، تابع کسکانت وجود نخواهد داشت. این واقعیت در تعیین خطوط مجانبی که برای ترسیم نمودار تابع کسکانت استفاده می کنید، به شما کمک می کند.

دامنۀ تابع کسکانت شامل تمامی اعداد به جز مضربهای \(\pi\) می شود، زیرا آن اندازه ها جایی هستند که تابع سینوس در آنها برابر با \(0\) می باشد. شما می توانید از این وضعیت برای تعیین خطوط مجانب استفاده کنید، به سادگی معادلاتی بنویسید که از مضربهایی از \(\pi\) استفاده می کنند. خطوط مجانب برای تابع کسکانت در شکل \(x=n\pi\) می باشند، که در آن \(n\) عددی صحیح (integer) می باشد. به عنوان مثالهایی از معادلات این خطوط مجانب می توان به موارد زیر اشاره کرد:
$$x=-3\pi,x=-2\pi,x=-\pi,x=\pi,x=2\pi,x=3\pi,x=4\pi$$

استفاده از نمودار سینوس


یک روش واقعاً کارآمد برای ترسیم نمودار تابع کسکانت اینست که ابتدا یک ترسیم سریعی از تابع سینوس داشته باشیم. با وجود این نمودار در آن مکان، شما می توانید خطوط مجانب را از میان طول از مبدأها (x-intercepts) ترسیم کنید، طول از مبدأ مکانی است که آن منحنی از محور \(x\) عبور می کند. اینها مکان هایی هستند که در آن \(\sin x=0\) می باشند. شما همچنین می توانید از مقادیر بیشینه و کمینه در تابع سینوس برای تعیین مکان نقاط بیشینه و کمینه (که با نام نقاط برگشت شناسایی می شوند) در تابع کسکانت استفاده کنید.

برای ترسیم نمودار \(y=\csc x\) :

  1. نمودار \(y=\sin x\) را از \(-4\pi\) تا \(4\pi\) ترسیم کنید، شکل 1-21 را ببینید.

    ترسیم نمودار تابع کسکانت
  2. خطوط مجانب عمودی را از میان طول از مبدأ ها ترسیم کنید، شکل 2-21 را ببینید.

    ترسیم نمودار تابع کسکانت
  3. نمودار \(y=\csc x\) را بین این خطوط مجانب و در بالا یا پایین منحنی سینوس ترسیم کنید، شکل 3-21 را ببینید.
    کسکانت از بالای منحنی سینوس رو به بالا می رود و از پایین منحنی سینوس رو به پایین می رود. سینوس و کسینوس نقاطی را که در آن ها مقادیر \(y\) برابر با \(1\) و \(-1\) باشند به اشتراک می گذارند.

    بعد از اینکه با استفاده از خطوط مجانب و کسرمتقابل به عنوان راهنماهایی برای ترسیم منحنی کسکانت استفاده کردید، می توانید آن خطهای اضافی را پاک کنید، و صرفاً \(y=\csc x\) را باقی بگذارید. شکل 4-21 نشان می دهد نمودار این تابع که صرفاً خود کسکانت را نشان می دهد، چگونه است.

    ترسیم نمودار تابع کسکانت

بُرد تابع کسکانت شامل تمامی مقادیرِ برابر با یا بزرگتر از \(1\) و تمامی مقادیر برابر با یا کوچکتر از \(-1\) می باشد. در شکل 4-21 می توانید ببینید که در مقادیر این تابع شکافی بین \(1\) و \(-1\) وجود دارد. منحنی کسکانت، درست همانند سایر توابع مثلثاتی، الگوی خودش را بارها و بارها تکرار می کند.

دگرگونی های کسکانت


چگونه می توانید در تابع کسکانت تغییراتی ایجاد کنید؟ این تابع توسط همان اصول ضرب، جمع، و تفریقی که بر روی سایر توابع تاثیر می گذارند، تحت تاثیر قرار می گیرد (برای جزئیات بیشتر فصل 19 را مرور کنید).

نتیجۀ افزودن یک عدد به تابع کسکانت یا تفریق عددی از آن، لغزیدن نمودار رو به سمت بالا یا پایین می باشد. افزودن یا تفریق اعداد به متغیر زاویه، نمودار را به سمت چپ یا راست، سُر می دهد. در اینجا من دو لغزیدن را انجام داده ام، نمودار را \(2\) واحد به سمت چپ و \(2\) واحد به سمت بالا منتقل کرده ام. معادلۀ این نمودار \(y=\csc (x+2)+2\) می باشد. برای درک اینکه چرا افزودن مقداری به زاویه، یعنی \(x\)، نمودار را به سمت چپ منتقل می کند، به فصل 3 مراجعه کنید. در این ضمن، شکل 5-21 نمودار این تابع را نشان می دهد.

ترسیم نمودار تابع کسکانت
اگرچه من خطوط مجانب را در این نمودار نگنجانده ام، شما هنوز هم می توانید محل آنها را بگویید ـــ شکل این نمودار کاملاً واضح است.

ضرب کردن در یک عدد، تندی و دورۀ تناوب تابع کسکانت را تغییر می دهد. اگر تابع کسکانت را در \(2\) ضرب کنید، منحنی آن تندتر می شود و فضای بین پایین و بالای آن افزایش می یابد. اگر متغیر زاویه را در \(2\) ضرب کنید، دوبرابر حدمعمول این منحنی در فضای افقی می گنجد. شکل 6-21 هر دوی این تغییرات را در نمودار \(y=2 \csc 2x\) نشان می دهد.

ترسیم نمودار تابع کسکانت

با معرفی سایت خوش آموز به دوستان و همکلاسی هایتان از ما حمایت کنید.

نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.