یکی از بزرگترین مزایای عبارات و معادلات مثلثاتی اینست که می توانید آنها را به شیوه های مختلفی تنظیم کنید تا مناسب نیاز شما گردند. اتحادهای اصلی که در این فصل آنها را لیست کرده ام مواردی هستند که افراد از آنها به وفور استفاده می کنند (و بیشترشان را به خاطر می سپارند). و شما همچنین چندین نماد جایگزین و قالب اختیاری را نیز در اینجا خواهید یافت.

اتحادهای کسرمتقابل (Reciprocal Identities)

به اولین اتحاد کسرمتقابل و همتای آن نگاهی بیندازید:
$$
\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta} \\
\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}
$$
یک روش جایگزین برای نوشتن این اتحادها، استفاده از توانی از \(-1\) به جای یک کسر استفاده می کند:
$$
\sin \theta = (\csc \theta)^{-1} \\
\csc \theta = (\sin \theta)^{-1}
$$
به توانهایی که به کل تابع اعمال می شود، توجه کنید. اینها توابع معکوس نیستند: \(\csc^{-1} \theta\) و \(\sin^{-1} \theta\) .

سکانت، کسکانت، و کتانژانت به لحاظ فنی سه تابع کسرمتقابل هستند، اما شما می توانید اتحادهایی بنویسید که کسرهای متقابل آنها را نیز نشان دهند. در ادامه دومین اتحاد کسرمتقابل و همتای آن را می بینید:
$$
\cos \theta=\frac{1}{\sec \theta} \\
\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}
$$
دوباره، روش دیگری برای نگارش اینها اینست که از توانی از \(-1\) استفاده کنیم. این پرانتزها به این دلیل مورد استفاده قرار می گیرند که اطمینان حاصل کنید اینها را به عنوان کسرمتقابل شناسایی می کنید و نه معکوس.
$$
\cos \theta=(\sec \theta)^{-1} \\
\sec \theta = (\cos \theta)^{-1}
$$
تانژانت و کسرمتقابل آن، دست کم دارای اسامی مشابه می باشند. دو تابع مثلثاتی دیگر و کسرهای متقابل آنها به نظر نمی رسد که دارای اسامی مناسبی باشند که به این زیبایی با یکدیگر مرتبط شده باشند.
$$
\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} \\
\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}
$$
و برای اینکه نمادهای جایگزین را نیز تکمیل کنیم:
$$
\tan \theta =(\cot \theta)^{-1} \\
\cot \theta =(\tan \theta)^{-1}
$$

اتحادهای نسبت (Ratio Identities)

هر دو اتحاد نسبت شامل کسرهایی دارای سینوس و کسینوس می باشند.
$$
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\
\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}
$$
گاهی اوقات شما تمایل دارید تا تانژانت یا کتانژانت را به لحاظ سینوس یا کسینوس بنویسید، و نه هر دو. در ادامه یک نسخه از هر کدام را می بینید. این مخرج ها از بازنویسیِ یک اتحاد فیثاغورثی منتج شده اند.
$$
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\pm\sqrt{1-\sin^2 \theta}} \\
\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\pm\sqrt{1-\cos^2 \theta}}
$$

اتحادهای فیثاغورثی (Pythagorean Identities)

اولین اتحاد فیثاغورثی از دوستان خوب شما، سینوس و کسینوس استفاده می کند و احتمالاً یکی از پر مصرف ترین اتحادها می باشد.
$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$
دومین اتحاد فیثاغورثی از اولین اتحاد فیثاغورثی منتج می شود؛ به سادگی هر جمله در آن اتحاد را بر مربع تابع کسینوس تقسیم کرده و ساده سازی نمایید.
$$\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta$$
سومین اتحاد فیثاغورثی را می توانید با تقسیم کردن هر کدام از جملات اتحاد فیثاغورثی اول بر مربع سینوس بدست آورید.
$$1+\cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$
شما اغلب با مواردی مواجه می شوید که عبارتی را برابر با \(\sin^2 \theta\) یا \(\cos^2 \theta\) یا \(\tan^2 \theta\) یا \(\cot^2 \theta\) می خواهید. و هنگامیکه از اتحادهای اصلی فیثاغورثی برای بدست آوردن این عبارتها استفاده می کنید، به تفاضل هایی از مربع می رسید. در اینجا چندین نسخۀ جایگزین از این اتحادهای اصلی را می بینید:
$$
\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \\
\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \\
\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 \\
\cot^2 \theta = \csc^2 \theta - 1
$$

اتحادهای زاویۀ مقابل (Opposite-Angle Identities)

اتحاد زاویۀ مقابل شما را قادر می سازد تا یک زاویۀ مثبت را در هنگام استفاده از تابع سینوس، تغییر دهید:
$$\sin (-\theta)=-\sin \theta$$
دومین اتحاد زاویۀ مقابل ممکن است اندکی عجیب به نظر آید ـــ این واقعیت که کسینوس یک زاویۀ منفی دارای مقدار یکسانی با کسینوس زاویۀ مثبت متناظر آن می باشد، همیشه اولش اندکی معماوار می باشد.
$$\cos(-\theta)=\cos \theta$$
اتحاد زاویۀ مقابل برای تانژانت، همان الگوی سینوس را دنبال می کند:
$$\tan (-\theta)=-\tan \theta$$

اتحادهای چند زاویه (Multiple-Angle Identities)

در اینجا اندکی پاداش برای شما داریم. اگر نیاز به اتحادی برای تابع \(\sin 3x\) یا \(\cos 4x\) داشته باشید، همیشه خودتان می توانید با بکار بردن یک جمع یا فرمول زاویۀ مضاعف آنها را بسازید. به عنوان مثال، \(\sin 3x\) می تواند به شکل \(\sin(2x+x)\) و \(\cos 4x\) می تواند به شکل \(\cos (2 \cdot 2x)\) نوشته شود. صرفاً برای اینکه شما را از دردسر رها سازیم، در اینجا چندتا از این اتحادهای خاص را آورده ایم:
$$
\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta \\
\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \\
\tan 3\theta=\frac{3 \tan \theta - \tan^3 \theta}{1-3 \tan^2 \theta} \\
\sin 4\theta = 8 \cos^3 \theta \sin \theta - 4 \cos \theta \sin \theta \\
\cos 4\theta = 8 \cos^4 \theta - 8 \cos^2 \theta + 1 \\
\tan 4\theta = \frac{4\tan \theta - 4\tan^3 \theta}{1-6\tan^2 \theta + \tan^4 \theta}
$$