خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
ده اتحاد مثلثاتی غیر اصلی
در فصلهای 11 و 12، پرکاربردترین اتحادها را همراه با جزئیات عالی توضیح دادیم. در اینجا ده اتحاد داریم که در آن فصل ها نیامده بودند، زیرا شما معمولاً از آنها استفاده نمی کنید. برخی از آنها نسبتاً مبهم هستند. این اتحادها برای حفظ کردن مناسب نیستند ـــ بهتر اینست که هر وقت به آنها نیاز داشتید به دنبالشان بگردید.
اتحادهای تبدیل ضرب به جمع (Product-to-Sum Identities) بسیار شبیه یکدیگرند. شما باید با دقت آنها را بررسی کنید تا متوجه تفاوتهای نرم آنها شوید تا بتوانید آنها را بدرستی بکار بگیرید. با وجود اینکه این حاصلضرب زیبا و فشرده به نظر می رسد، کنار آمدن با آن در محاسبات حسابان همیشه آسان نیست ـــ جمع یا تفاضل دو زاویۀ متفاوت ترجیح داده می شود.
اولین اتحاد دو زاویه دارد، \(A\) و \(B\). هنگامی که سینوس یک زاویه را در کسینوس زاویه ای دیگر ضرب می کنید، به یک دوم مجموع یک اتحاد جمع و یک اتحاد تفاضل می رسید. واو!
$$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B)+\sin(A-B)]$$
این بار، سینوس هر دو زاویه را در یکدیگر ضرب کنید، و نتیجه برابر با یک دوم تفاضل بین یک اتحاد جمع و یک اتحاد تفاضل خواهد بود:
$$\sin A \sin B=\frac{1}{2}[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$$
در این اتحاد دو زاویۀ متفاوت و دو تابع متفاوت مورد استفاده قرار گرفته اند.
$$\cos A \sin B=\frac{1}{2}[\sin(A+B)-\sin(A-B)]$$
آخرین اتحاد تبدیل ضرب به جمع، از کسینوس دو زاویه استفاده می کند:
$$\cos A \cos B=\frac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$$
اجازه دهید مثالی از این اتحادهای جدید برایتان بزنم. با استفاده از \(A=45^{\circ}\) و \(B=30^{\circ}\) و اتحاد \(\cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A+B)-\sin(A-B)]\) ، خواهیم داشت:
$$
\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2} [\sin(45^{\circ}+30^{\circ})-\sin(45^{\circ}-30^{\circ})] \\
\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2} [\sin(75^{\circ})-\sin(15^{\circ})] \\
\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} [\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}]
$$
این مقادیر سینوس \(75\) درجه و سینوس \(15\) درجه را از کجا آورده ام؟ من سینوس \(75\) درجه را در فصل 12 بدست آورده ام. برای \(15\) درجه، از سینوس تفاضل بین \(45\) درجه و \(30\) درجه استفاده نموده ام. اکنون ساده سازی ها را انجام می دهیم.
$$
\require{cancel}
\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2}[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}] \\
=\frac{1}{2}[\frac{2\sqrt{2}}{4}] = \frac{\sqrt{2}}{4}
$$
اتحادهای تبدیل جمع به ضرب (Sum-to-Product Identities) برای مدلسازی فرکانس های صوتی مفید هستند. به دو تُن مختلف فکر کنید که با منحنی سینوس نشان داده شده اند. آنها را با یکدیگر جمع کنید، اینکه این تن صداها چگونه با یکدیگر ترکیب می شوند بستگی به فرکانس مجزای هر کدامشان دارد. این اتحادها یک تابع به شما می دهند که چیزی را که رخ داده است مدلسازی می کند.
اولین اتحاد دو زاویۀ متفاوت را می گیرد، \(A\) و \(B\)، و سینوس آنها را با یکدیگر جمع می زند. نتیجه: دو برابر حاصلضرب سینوس و کسینوس دو زاویۀ جدید که با نصف کردن مجموع و تفاضل این زوایا بدست آمده اند. خودتان ببینید:
$$\sin A + \sin B = 2 \sin (\frac{A+B}{2}) \cos (\frac{A-B}{2})$$
شما می توانید به لحاظ فنی، اتحاد بعدی را یک اتحاد تبدیل تفاضل به ضرب بنامید، اگرچه معلم های ریاضی آن را معمولاً همراه با اتحادهای تبدیل جمع به ضرب، دسته بندی می کنند. مسلماً، شما می توانید این تفاضل را یک جمع در نظر بگیرید اگر آن را به شکل مجموع سینوس و متضاد سینوس دیگری نامگذاری کنید.
$$\sin A - \sin B= 2 \cos (\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2})$$
اتحاد بعدی شامل جمع کسینوس دو زاویه می باشد.
$$\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos (\frac{A-B}{2})$$
همانطور که خودتان هم احتمالاً انتظار دارید، آخرین اتحاد تبدیل جمع به ضرب داری تفاضل کسینوس دو زاویه می باشد.
$$\cos A - \cos B = -2 \sin(\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2})$$
برای اینکه به چگونگی استفاده از این اتحادها نگاهی بیندازید، من به شما تفاضل بین کسینوس زوایای \(A=60\) و \(B=30\) را نشان می دهم.
$$
\cos A - \cos B = -2 \sin(\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2}) \\
\cos 60^{\circ} - \cos 30^{\circ} = -2 \sin(\frac{60^{\circ}+30^{\circ}}{2}) \sin (\frac{60^{\circ}-30}{2}) \\
\cos 60^{\circ} - \cos 30^{\circ} = -2 \sin (45^{\circ}) \sin (15^{\circ}) \\
\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})
$$
من سینوس \(15\) درجه را از بخش قبلی انتخاب کرده ام. ساده سازی را انجام می دهیم:
$$
\frac{1-\sqrt{3}}{2} =-2(\frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}) \\
= -\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = -\frac{\sqrt{12}-\sqrt{4}}{4} \\
=-\frac{2\sqrt{3}-2}{4} = -\frac{2(\sqrt{3}-1)}{4} \\
=\frac{1-\sqrt{3}}{2}
$$
فرمول کاهش، دو تابع مثلثاتی را به یکی کاهش می دهد. این فرمول در هنگام مطالعۀ نیروی یک فنر، موقعیت یک آونگ نوسانی، یا جریان در یک مدار الکتریکی، مفید است. این فرمول جمع دو تابع مختلف با ورودی مشترک \(x\) را می گیرد و این جمع را به یک تابع واحد که در آن ضریب سینوس برابر با دامنۀ نوسان و فاز انتقال برابر با \(\theta\) می باشد، تغییر می دهد. \(a\) و \(b\) مختصات نقطۀ خاصی در ضلع دوم از \(\theta\) می باشد که در موقعیت استاندارد است:
$$a \sin x + b \cos x =\sqrt{a^2+b^2} \sin (x+\theta)$$
برای بدست آوردن سینوس و کسینوس \(x\)، می توانید از نسخه های ساده شده استفاده کنید:
$$
\sin x = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
\cos x = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
$$
کارل مول وید (Karl Mollweide) یک معلم ستاره شناسی بود. کار او در ستاره شناسی و ریاضیات او را به سمت کشف اتحادی هدایت کرد که می توانست اندازه های اضلاع یک مثلث را بگیرد و آنها را به عبارتی شامل توابع مثلثاتی مرتبط کند. معادلات مول وید شامل تمامی شش بخش یک مثلث می شوند: سه زاویه، \(A\)، \(B\)، و \(C\)، و سه ضلع متناظر با زوایای روبروی آنها، \(a\)، \(b\)، و \(c\).
$$
\frac{a+b}{c} = \frac{\cos(\frac{A-B}{2})}{\sin(\frac{C}{2})} \\
\text{ or } \\
\frac{a-b}{c} = \frac{\sin(\frac{A-B}{2})}{\cos(\frac{C}{2})}
$$
برای اینکه مثالی از این تناسب ها را به شما نشان دهم، از یک مثلث قائم الزاویۀ \(\text{30-60-90}\)، با اضلاع \(1\)، \(\sqrt{3}\)، و \(2\) استفاده می کنم، زیرا این اعداد بسیار زیبا هستند. ضلع روبروی زاویۀ \(A=30^{\circ}\) اندازه اش \(1\) است. اندازۀ ضلع روبروی زاویۀ \(B=60\) برابر با \(\sqrt{3}\) است. و اندازۀ ضلع روبروی زاویۀ قائمه برابر با \(2\) می باشد. با استفاده از معادلۀ سمت چپ مول وید، خواهیم داشت:
$$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos(\frac{A-B}{2})}{\sin(\frac{C}{2})} = \frac{\cos(\frac{30^{\circ}-60^{\circ}}{2})}{\sin(\frac{90^{\circ}}{2})} \\
= \frac{\cos(-15^{\circ})}{\sin(45^{\circ})} = \frac{\cos(15^{\circ})}{\sin(45^{\circ})} \\
\frac{1+\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \\
=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{4}}{2\sqrt{4}} \\
=\frac{2\sqrt{3}+2}{4} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{4} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}
$$
اتحادهای تبدیل ضرب به جمع
اتحادهای تبدیل ضرب به جمع (Product-to-Sum Identities) بسیار شبیه یکدیگرند. شما باید با دقت آنها را بررسی کنید تا متوجه تفاوتهای نرم آنها شوید تا بتوانید آنها را بدرستی بکار بگیرید. با وجود اینکه این حاصلضرب زیبا و فشرده به نظر می رسد، کنار آمدن با آن در محاسبات حسابان همیشه آسان نیست ـــ جمع یا تفاضل دو زاویۀ متفاوت ترجیح داده می شود.
اولین اتحاد دو زاویه دارد، \(A\) و \(B\). هنگامی که سینوس یک زاویه را در کسینوس زاویه ای دیگر ضرب می کنید، به یک دوم مجموع یک اتحاد جمع و یک اتحاد تفاضل می رسید. واو!
$$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin (A+B)+\sin(A-B)]$$
این بار، سینوس هر دو زاویه را در یکدیگر ضرب کنید، و نتیجه برابر با یک دوم تفاضل بین یک اتحاد جمع و یک اتحاد تفاضل خواهد بود:
$$\sin A \sin B=\frac{1}{2}[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$$
در این اتحاد دو زاویۀ متفاوت و دو تابع متفاوت مورد استفاده قرار گرفته اند.
$$\cos A \sin B=\frac{1}{2}[\sin(A+B)-\sin(A-B)]$$
آخرین اتحاد تبدیل ضرب به جمع، از کسینوس دو زاویه استفاده می کند:
$$\cos A \cos B=\frac{1}{2}[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$$
اجازه دهید مثالی از این اتحادهای جدید برایتان بزنم. با استفاده از \(A=45^{\circ}\) و \(B=30^{\circ}\) و اتحاد \(\cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A+B)-\sin(A-B)]\) ، خواهیم داشت:
$$
\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2} [\sin(45^{\circ}+30^{\circ})-\sin(45^{\circ}-30^{\circ})] \\
\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2} [\sin(75^{\circ})-\sin(15^{\circ})] \\
\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} [\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}]
$$
این مقادیر سینوس \(75\) درجه و سینوس \(15\) درجه را از کجا آورده ام؟ من سینوس \(75\) درجه را در فصل 12 بدست آورده ام. برای \(15\) درجه، از سینوس تفاضل بین \(45\) درجه و \(30\) درجه استفاده نموده ام. اکنون ساده سازی ها را انجام می دهیم.
$$
\require{cancel}
\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2}[\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}] \\
=\frac{1}{2}[\frac{2\sqrt{2}}{4}] = \frac{\sqrt{2}}{4}
$$
اتحادهای تبدیل جمع به ضرب
اتحادهای تبدیل جمع به ضرب (Sum-to-Product Identities) برای مدلسازی فرکانس های صوتی مفید هستند. به دو تُن مختلف فکر کنید که با منحنی سینوس نشان داده شده اند. آنها را با یکدیگر جمع کنید، اینکه این تن صداها چگونه با یکدیگر ترکیب می شوند بستگی به فرکانس مجزای هر کدامشان دارد. این اتحادها یک تابع به شما می دهند که چیزی را که رخ داده است مدلسازی می کند.
اولین اتحاد دو زاویۀ متفاوت را می گیرد، \(A\) و \(B\)، و سینوس آنها را با یکدیگر جمع می زند. نتیجه: دو برابر حاصلضرب سینوس و کسینوس دو زاویۀ جدید که با نصف کردن مجموع و تفاضل این زوایا بدست آمده اند. خودتان ببینید:
$$\sin A + \sin B = 2 \sin (\frac{A+B}{2}) \cos (\frac{A-B}{2})$$
شما می توانید به لحاظ فنی، اتحاد بعدی را یک اتحاد تبدیل تفاضل به ضرب بنامید، اگرچه معلم های ریاضی آن را معمولاً همراه با اتحادهای تبدیل جمع به ضرب، دسته بندی می کنند. مسلماً، شما می توانید این تفاضل را یک جمع در نظر بگیرید اگر آن را به شکل مجموع سینوس و متضاد سینوس دیگری نامگذاری کنید.
$$\sin A - \sin B= 2 \cos (\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2})$$
اتحاد بعدی شامل جمع کسینوس دو زاویه می باشد.
$$\cos A + \cos B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos (\frac{A-B}{2})$$
همانطور که خودتان هم احتمالاً انتظار دارید، آخرین اتحاد تبدیل جمع به ضرب داری تفاضل کسینوس دو زاویه می باشد.
$$\cos A - \cos B = -2 \sin(\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2})$$
برای اینکه به چگونگی استفاده از این اتحادها نگاهی بیندازید، من به شما تفاضل بین کسینوس زوایای \(A=60\) و \(B=30\) را نشان می دهم.
$$
\cos A - \cos B = -2 \sin(\frac{A+B}{2}) \sin (\frac{A-B}{2}) \\
\cos 60^{\circ} - \cos 30^{\circ} = -2 \sin(\frac{60^{\circ}+30^{\circ}}{2}) \sin (\frac{60^{\circ}-30}{2}) \\
\cos 60^{\circ} - \cos 30^{\circ} = -2 \sin (45^{\circ}) \sin (15^{\circ}) \\
\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})
$$
من سینوس \(15\) درجه را از بخش قبلی انتخاب کرده ام. ساده سازی را انجام می دهیم:
$$
\frac{1-\sqrt{3}}{2} =-2(\frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}) \\
= -\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = -\frac{\sqrt{12}-\sqrt{4}}{4} \\
=-\frac{2\sqrt{3}-2}{4} = -\frac{2(\sqrt{3}-1)}{4} \\
=\frac{1-\sqrt{3}}{2}
$$
فرمول کاهش (Reduction Formula)
فرمول کاهش، دو تابع مثلثاتی را به یکی کاهش می دهد. این فرمول در هنگام مطالعۀ نیروی یک فنر، موقعیت یک آونگ نوسانی، یا جریان در یک مدار الکتریکی، مفید است. این فرمول جمع دو تابع مختلف با ورودی مشترک \(x\) را می گیرد و این جمع را به یک تابع واحد که در آن ضریب سینوس برابر با دامنۀ نوسان و فاز انتقال برابر با \(\theta\) می باشد، تغییر می دهد. \(a\) و \(b\) مختصات نقطۀ خاصی در ضلع دوم از \(\theta\) می باشد که در موقعیت استاندارد است:
$$a \sin x + b \cos x =\sqrt{a^2+b^2} \sin (x+\theta)$$
برای بدست آوردن سینوس و کسینوس \(x\)، می توانید از نسخه های ساده شده استفاده کنید:
$$
\sin x = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
\cos x = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}
$$
معادلات مول وید (Mollweide’s Equations)
کارل مول وید (Karl Mollweide) یک معلم ستاره شناسی بود. کار او در ستاره شناسی و ریاضیات او را به سمت کشف اتحادی هدایت کرد که می توانست اندازه های اضلاع یک مثلث را بگیرد و آنها را به عبارتی شامل توابع مثلثاتی مرتبط کند. معادلات مول وید شامل تمامی شش بخش یک مثلث می شوند: سه زاویه، \(A\)، \(B\)، و \(C\)، و سه ضلع متناظر با زوایای روبروی آنها، \(a\)، \(b\)، و \(c\).
$$
\frac{a+b}{c} = \frac{\cos(\frac{A-B}{2})}{\sin(\frac{C}{2})} \\
\text{ or } \\
\frac{a-b}{c} = \frac{\sin(\frac{A-B}{2})}{\cos(\frac{C}{2})}
$$
برای اینکه مثالی از این تناسب ها را به شما نشان دهم، از یک مثلث قائم الزاویۀ \(\text{30-60-90}\)، با اضلاع \(1\)، \(\sqrt{3}\)، و \(2\) استفاده می کنم، زیرا این اعداد بسیار زیبا هستند. ضلع روبروی زاویۀ \(A=30^{\circ}\) اندازه اش \(1\) است. اندازۀ ضلع روبروی زاویۀ \(B=60\) برابر با \(\sqrt{3}\) است. و اندازۀ ضلع روبروی زاویۀ قائمه برابر با \(2\) می باشد. با استفاده از معادلۀ سمت چپ مول وید، خواهیم داشت:
$$\frac{a+b}{c}=\frac{\cos(\frac{A-B}{2})}{\sin(\frac{C}{2})} = \frac{\cos(\frac{30^{\circ}-60^{\circ}}{2})}{\sin(\frac{90^{\circ}}{2})} \\
= \frac{\cos(-15^{\circ})}{\sin(45^{\circ})} = \frac{\cos(15^{\circ})}{\sin(45^{\circ})} \\
\frac{1+\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \\
=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{4}}{2\sqrt{4}} \\
=\frac{2\sqrt{3}+2}{4} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{4} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}
$$
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: