حسابان (Calculus) اساساً صرفاً جبر و هندسۀ خیلی پیشرفته است. به یک معنا، حتی یک موضوع جدید هم نیست ـــ حسابان قوانین معمولی جبر و هندسه را دریافت می کند و آنها را به نحوی می پیچاند که بتوانند در مسأله های خیلی پیچیده تر مورد استفاده قرار بگیرند. از دیدگاه دیگر، مسلماً، حسابان یک موضوع جدید و سخت تر است.





شکل 1-1 را ببینید. در سمت چپ مردی یک جعبه را در شیب راست رو به سمت بالا هُل می دهد. در سمت راست، همان مرد، همان جعبه را در یک شیب منحنی رو به سمت بالا هل می دهد. مسأله، در هر دو مورد، تعیین میزان انرژی مورد نیاز برای هل دادن جعبه به بالا می باشد. شما مسالۀ سمت چپ را با ریاضیات معمولی می توانید انجام دهید. برای مسالۀ سمت راست، نیاز به حسابان دارید (فرض ما بر اینست که شما میانبرهای علم فیزیک در مورد حل این مسأله را نمی دانید).


در شیب راست، آن مرد با یک نیروی بدون تغییر جعبه را هل می دهد، و جعبه با یک سرعت بدون تغییر شیب را بالا می رود. با چندین فرمول سادۀ فیزیک و ریاضیات معمولی (شامل جبر و مثلثات)، شما می توانید حساب کنید که چقدر کالری از انرژی برای هل دادن جعبه به بالای شیب، مورد نیاز می باشد. توجه داشته باشید که میزان انرژی صرف شده در هر ثانیه یکسان باقی می ماند.

از سوی دیگر، در مورد شیب منحنی، چیزها به طور مداوم تغییر می کنند. تندی شیب تغییر می کند ـــ و نه فقط به صورت افزایشی، همانند اینکه تندی \(3\) فوت اول از تندی \(3\) فوت دوم بیشتر است. آن به طور مداوم تغییر می کند. و آن مرد با یک نیرویی که مدام در حال تغییر است، هل می دهد ـــ هر چقدر شیب تندتر باشد، هل دادن سخت تر است. در نتیجه، میزان انرژی صرف شده نیز تغییر می کند، نه در هر ثانیه یا هر هزارم ثانیه، بلکه بطور مداوم از لحظه ای به لحظه ای دیگر در حال تغییر است. این چیزی است که یک مسالۀ حسابان را می سازد. تا این لحظه، اینکه چرا حسابان به عنوان "ریاضیات تغییرات" توصیف می شود، جای هیچ تعجبی برای شما ندارد. حسابان قوانین عادی ریاضی را می گیرد و آنها را بر روی مسأله های سیال، در حال تحول اعمال می کند.

در مورد مسالۀ شیب منحنی، فرمول فیزیک تغییری نمی کند، و جبر و مثلثات مورد استفاده نیز همان است. تفاوت در اینست که ـــ در مقایسه با مسالۀ شیب مستقیم، که به نوعی آن را در یک مرحله انجام می دادید ـــ شما باید مسالۀ شیب منحنی را به تکه های کوچکتری بشکنید و هر تکه را به صورت جداگانه ای حل کنید. شکل 2-1 بخش کوچکی از شیب منحنی را نشان می دهد که به اندازۀ چندین برابر اندازۀ واقعی اش بزرگتر شده است.


هنگامی که به اندازۀ کافی بزرگنمایی را انجام دادید، طول کوچک شیب منحنی عملاً تبدیل به شیب راست می شود. سپس، از آنجا که آن تکه دارای شیب راست می باشد، می توانید آن تکۀ کوچک را درست همانند مسالۀ شیب راست، حل کنید. هر تکۀ کوچک می تواند به شیوۀ یکسانی حل شود، و سپس شما صرفاً تمامی این تکه ها را با یکدیگر جمع می زنید.

به طور خلاصه، این حسابان است. حسابان مساله ای را که به دلیل تغییر مداوم چیزها، توسط ریاضی عادی قابل انجام نیست، دریافت می کند ـــ مقادیری که تغییر می کنند در یک نمودار به شکل یک منحنی نشان داده می شوند ـــ ، بر روی منحنی بزرگنمایی می کند تا جایی که راست شود، و سپس آن مسأله را با ریاضی عادی به خاتمه می رساند.

چیزی که اختراع حسابان را چنین دستاورد خارق العاده ای می کند اینست که کاری را که به نظر غیرممکن می آید، انجام می دهد: بی نهایت بزرگنمایی می کند. در واقع، هر چیزی در حسابان شامل بی نهایت در یک جهت یا جهت دیگر می باشد، زیرا اگر چیزی مدام تغییر کند، آن چیز بی نهایت تغییر می کند، اغلب از هر لحظۀ بی نهایت کوچک تا لحظۀ بعد.