خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


سری های بی نهایت (Infinite Series)

سری های بی نهایت (Infinite Series)
نویسنده : امیر انصاری
سری های بی نهایت (Infinite series)، یا سلسله های بی نهایت، با جمع کردن بی نهایت عدد با یکدیگر سر و کار دارند. این مسأله را روی ماشین حسابتان امتحان نکنید، مگر اینکه زمان اضافی بسیاری در اختیارتان باشد. در اینجا مثال ساده ای داریم. دنبالۀ اعداد زیر با فرآیند دوبرابر کردن، ایجاد شده است ـــ هر جمله دوبرابر جملۀ قبل از آن می باشد:


$$1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .$$
سری های بی نهایت مرتبط با این دنبالۀ اعداد، صرفاً جمع این اعداد می باشند:
$$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + . . .$$

سری های واگرا (Divergent series)


سری پیشین که مربوط به دوبرابر کردن اعداد بود، یک سری واگرا (divergent) می باشد، زیرا اگر شما این جمع را به طور نامحدود انجام دهید، مجموع آن بدون هیچ مرزی، بزرگ و بزرگتر می گردد. و اگر بتوانید تمامی اعداد این مجموعه را با یکدیگر جمع بزنید، مجموع آن برابر با بی نهایت خواهد بود. واگرا معمولاً بدین معناست که سری ها تا بی نهایت با یکدیگر جمع زده می شوند (استثناء هایی هم وجود دارد).

سری های واگرا نسبتاً غیرجذاب هستند، زیرا چیزی را که شما انتظار دارید انجام می دهند. شما به افزودن اعداد بیشتر ادامه می دهید، بنابراین مجموع آنها به رشد کردن ادامه می دهد، و اگر این کار را تا ابد ادامه دهید، این مجموع تا بی نهایت رشد می کند.

سری های همگرا (Convergent series)


سری های همگرا بسیار جذاب ترند. در یک سری همگرا، شما همچنان به افزودن اعداد ادامه می دهید، جمع رشد می کند، اما با وجود اینکه شما این اعداد را تا ابد اضافه می کنید و مجموع نیز تا ابد رشد می کند، جمع این بی نهایت جمله یک عدد متناهی (finite) می باشد. این نتیجۀ شگفت آور، پارادوکس مشهور زنون (Zeno) در مورد آشیل (Achilles) و لاک پشت را به یاد من می آورد. (زنون یک فیلسوف یونانی است که پنج قرن قبل از میلاد می زیسته است.)

آشیل با یک لاک پشت مسابقۀ دو می دهد. قهرمان سخاوتمند ما یک مسافت \(100\) یاردی به لاک پشت فُرجه می دهد. آشیل با سرعت \(20\) مایل بر ساعت می دود؛ لاک پشت با سرعت \(2\) مایل بر ساعت می دود. زنون از استدلال زیر استفاده می کند تا اثبات کند که آشیل هرگز نمی تواند لاک پشت را بگیرد یا از آن عبور کند.

فرض کنید شما یک روزنامه نگار هستید که این مسابقۀ ورزشی را پوشش می دهید، و یک سری از عکسها را برای مقالۀ تان می گیرید. شکل 8-2 موقعیت آغازین و دو عکس اول شما را نشان می دهد.

سری های بی نهایت (Infinite Series)
شما عکس اولتان را در لحظه ای می گیرید که آشیل به نقطه ای می رسد که لاک پشت از آنجا آغاز کرده بود. زمانی که آشیل به آنجا می رسد، لاک پشت رو به جلو حرکت کرده است و هم اکنون \(10\) یارد جلوتر از آشیل می باشد. (این لاک پشت به اندازۀ یک دهم سرعت آشیل سرعت دارد، بنابراین در مدت زمانی که برای آشیل طول می کشد تا \(100\) یارد را طی کند، لاک پشت \(10\) یارد را می پیماید.) اگر عملیات ریاضی آن را انجام بدهید، درخواهید یافت که برای آشیل حدود \(10\) ثانیه طول می کشد تا این \(100\) یارد را بپیماید. (به منظور استدلال، بیایید آن را دقیقاً \(10\) ثانیه بنامیم.)

شما برنامۀ جالبی دارید که شما را قادر می سازد تا به اولین عکستان نگاه کنید و دقیقاً متوجه شوید که وقتیکه آشیل از نقطۀ آغازین لاک پشت عبور می کند، لاک پشت در کجا قرار دارد. در تصویر میانی از شکل 8-2 ، موقعیت لاک پشت با نقطۀ \(A\) نشان داده شده است. سپس عکس دومتان را می گیرید که در آن آشیل به نقطۀ \(A\) می رسد، که برای او در حدودی بیش از یک ثانیه طول می کشد. در آن ثانیه، لاک پشت \(1\) یارد جلوتر رفته است و به نقطۀ \(B\) رسیده است. شما عکس سومتان را می گیرید (که در اینجا نشان داده نشده است) که در آن آشیل به نقطۀ \(B\) رسیده است و لاک پشت رو به جلو رفته و به نقطۀ \(C\) رسیده است.

هر بار که آشیل به نقطه ای می رسد که قبلاً لاک پشت در آنجا بوده است، شما عکس دیگری می اندازید. هیچ پایانی برای این سری عکسها وجود ندارد. فرض کنید شما و دوربین عکسبرداریتان بتوانند بی نهایت سریع کار کنند، شما می توانید بی نهایت عکس اینچنینی بگیرید. و هر مرتبۀ واحد که آشیل به نقطه ای که لاک پشت در آنجا بوده است می رسد، لاک پشت مسافت بیشتری را طی کرده است ـــ حتی اگر این مسافت برابر با یک میلیمتر یا یک میلیونیم یک میلیمتر باشد. این فرآیند هرگز پایان نمی یابد، درست است؟ از این رو این استدلال برقرار است، زیرا شما هرگز نمی توانید به پایان این سری های بی نهایت عکسهایتان برسید، آشیل هرگز نمی تواند به لاک پشت برسد یا از آن عبور کند.

خوب، همانطور که همه می دانند، آشیل در واقع هم به لاک پشت می رسد و هم از آن عبور می کند ـــ از اینرو این یک پارادوکس است. ریاضیات سری های بی نهایت توضیح می دهند که چگونه حاصلجمع این سری های بی نهایت از بازه های زمانی، یک زمان متناهی می گردد ـــ زمان دقیقی که آشیل از لاک پشت عبور می کند. برای آن دسته از شما که کنجکاویید، در اینجا پاسخش را داریم:
$$10 \text{ sec. } + 1 \text{ sec. } + 0.1 \text{ sec. } + 0.01 \text{ sec. } + 0.001 \text{ sec. } + ... = 11.111...\text{ sec. } \text{ or } 11\frac{1}{9} \text{ sec. }$$
آشیل بعد از \(11\frac{1}{9}\) ثانیه در نشانۀ \(111\frac{1}{9}\) یارد از لاک پشت عبور می کند. سری های بی نهایت دارای پارادوکس های برخلاف روال معمول و عجیب و غریب دیگری نیز می باشند. در بخش پنجم تعداد بیشتری از آنها را خواهید دید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.