در فصلهای 1 و 2، در مورد فرآیند بزرگنمایی بر روی یک منحنی تا حدی که راست به نظر آید، بارها سخن راندم. ریاضیات حسابان به دلیل این ماهیت منحنی ها درست کار می کند ـــ اینکه آنها به طور موضعی راست می باشند ـــ به عبارت دیگر، منحنی ها در سطح میکروسکوپی، راست هستند. کرۀ زمین گرد می باشد، اما برای ما مسطح به نظر می آید، زیرا در مقایسه با اندازۀ زمین، ما به نوعی در سطح میکروسکوپی هستیم. حسابان به این دلیل درست کار می کند که هنگامی که بزرگنمایی می کنید و منحنی ها راست به نظر می آیند، شما می توانید از جبر و هندسۀ معمولی با آنها استفاده کنید. فرآیند بزرگنمایی از طریق ریاضیات حدها (limits) بدست می آید.

مفهوم حد: یک میکروسکوپ ریاضی

ریاضیات حدها میکروسکوپی است که بر روی یک منحنی بزرگنمایی می کند. در اینجا چگونگی کارکرد حد را می بینید. فرض کنید که می خواهید شیب دقیق (یا تندی) یک سهمی (parabola) با معادلۀ \(y=x^2\) را در نقطۀ \((1,1)\) بدست آورید. شکل 1-3 را ببینید.


با فرمول شیب خط، شما می توانید شیب خط بین \((1,1)\) و \((2,4)\) را بیابید. از \((1,1)\) تا \((2,4)\)، شما \(1\) واحد رو به جلو و \(3\) واحد رو به بالا می روید، بنابراین این شیب برابر با \(\frac{3}{1}\) و یا فقط \(3\) می باشد. اما در شکل 1-3 می توانید ببینید که این خط از خط مماس (tangent line) در \((1,1)\) که تندی سهمی در آن نقطۀ خاص را نشان می دهد، تندتر است. فرآیند حد به نوعی شما را قادر می سازد تا این نقطه را که در \((2,4)\) آغاز می گردد، رو به سمت پایین بسوی \((1,1)\) سُر بدهید تا اینکه یک هزارم اینچ حرکت کند، سپس یک میلیونیم، سپس یک میلیاردیم، و به همین ترتیب به سوی سطح میکروسکوپی پیش رود. اگر عملیات ریاضی را انجام دهید، شیب بین \((1,1)\) و نقطه ای که حرکت می دهید چیزی شبیه \(2.8\)، سپس \(2.6\)، سپس \(2.4\)، و به همین ترتیب می باشد، و سپس هنگامی که به یک هزارم اینچ می رسید، \(2.001\)، \(2.000001\)، \(2.000000001\)، و به همین ترتیب ادامه می یابد. و با ریاضیات تقریباً جادویی حدها، شما نتیجه می گیرید که شیب در \((1,1)\) دقیقاً برابر با \(2\) می باشد، حتی با این وجود که نقطه ای که سُر می خورد هرگز به \((1,1)\) نرسد. (اگر چنین شود، شما فقط یک نقطۀ باقیمانده دارید و نیاز دارید تا این نقاط را از یکدیگر تفکیک کنید تا از فرمول شیب خط استفاده نمایید.) ریاضیات حدها مبتنی بر این فرآیندهای بزرگنمایی می باشد، و دوباره درست کار می کند، زیرا هرچقدر بیشتر بزرگنمایی کنید، منحنی راست تر می شود.