خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


هنگام بزرگنمایی در حسابان چه اتفاقی می افتد؟

هنگام بزرگنمایی در حسابان چه اتفاقی می افتد؟
نویسنده : امیر انصاری
شکل 2-3 سه نمودار از یک منحنی و سه چیز در مورد این منحنی که ممکن است شما علاقه به دانستنش داشته باشید، را نشان می دهد:



  1. شیب یا تندی دقیق در نقطۀ \(C\)
  2. مساحت زیر منحنی بین \(A\) و \(B\)
  3. طول دقیق این منحنی از \(A\) تا \(B\)

شما نمی توانید این پرسش ها را با فرمولهای جبر یا هندسۀ معمولی پاسخ دهید، زیرا فرمولهای معمولی برای شیب، مساحت، و طول برای خطهای راست (و منحنی های ساده همچون دایره) درست کار می کنند، و نه برای منحنی های عجیب و غریب شبیه این مورد.

اولین ردیف از شکل 3-3 جزئیات بزرگنمایی شده از سه نمودار منحنیِ شکل 2-3 را نشان می دهد. ردیف دوم بزرگنمایی بیشتری را نشان می دهد، و ردیف سوم باز هم بزرگنمایی بیشتری را نشان می دهد. در هر پنجرۀ کوچک که بزرگتر شده است (مشابه اولین به دومین ردیف در شکل 3-3)، من یک خط مورب نقطه چین برای کمک به دیدن اینکه چگونه در هر بزرگنمایی، تکه های بزرگ شده از منحنی، راست تر و راست تر می گردند، ترسیم کرده ام. این فرآیند بی نهایت بار تکرار می شود.

هنگام بزرگنمایی در حسابان چه اتفاقی می افتد؟
هنگام بزرگنمایی در حسابان چه اتفاقی می افتد؟
در پایان، شکل 4-3 نتیجه را بعد از به نوعی بی نهایت بار بزرگنمایی نشان می دهد. بعد از اینکه تا ابد بزرگنمایی کردید، یک تکۀ بی نهایت کوچک از منحنی اصلی و آن خط مورب راست، اکنون یکی و همانند هستند. شما می توانید به طول های \(3\) و \(4\) در شکل 4-3 به عنوان \(3\) و \(4\) میلیونیم اینچ، به عنوان \(3\) و \(4\) میلیاردیم اینچ، تریلیونیم، گازیلیون، و ... فکر کنید.

هنگام بزرگنمایی در حسابان چه اتفاقی می افتد؟
اکنون که شما بزرگنمایی را تا ابد انجام داده اید، این منحنی کاملاً راست شده و شما می توانید از فرمولهای معمولی جبر و هندسه برای پاسخ دادن به سه سوالی که در مورد این منحنی در شکل 2-3 مطرح شد، پاسخ دهید.

در مورد نمودار سمت چپ در شکل 4-3، شما هم اکنون می توانید از فرمول معمولی شیب (slope) در جبر استفاده کنید تا شیب را در نقطۀ \(C\) بیابید. مقدار آن دقیقاً برابر با \(\frac{3}{4}\) می باشد ـــ این پاسخ اولین سوال مطرح شده در شکل 2-3 می باشد. این چگونگی کارکرد مشتق گیری (differentiation) می باشد.

برای نمودار میانی در شکل 4-3، فرمول معمولی مساحت مثلث از هندسه، مساحت \(6\) را به شما نتیجه می دهد. سپس شما می توانید مساحت ناحیۀ سایه دار درون نوار نشان داده شده در شکل 2-3 را با افزودن این \(6\) به مساحت مستطیل باریکی که زیر این مثلث قرار گرفته است (مستطیل تیره تر سایه دار شده در شکل 2-3)، بدست آورید. سپس شما این فرآیند را برای تمامی نوارهای باریک دیگر (که نشان داده نشده اند)، تکرار می کنید، و سرانجام صرفاً تمامی این نواحی کوچک را با یکدیگر جمع می زنید. این چگونگی کار کرد انتگرال گیری (integration) می باشد.

و در مورد نمودار سمت راست در شکل 4-3، قضیۀ فیثاغورث از هندسه به شما طول \(5\) را نتیجه می دهد. سپس برای یافتن مجموع طول منحنی از \(A\) تا \(B\) در شکل 2-3، شما چیز یکسانی را برای سایر بخشهای ریز از این منحنی انجام می دهید و سپس تمامی این طول های کوچک را با یکدیگر جمع می زنید. این چگونگی محاسبۀ طول کمان (مسالۀ انتگرال گیری دیگری) می باشد.

حسابان از فرآیند حد برای بزرگنمایی بر روی یک منحنی تا اینکه راست شود، استفاده می کند. بعد از اینکه راست شد، قوانین معمول قدیمی جبر و هندسه را بر روی آنها اعمال می کند. بدین ترتیب، حسابان به جبر و هندسۀ معمولی این قدرت را می دهد تا مسأله های پیچیده شامل تبدیل مقادیر (که بر روی نمودار به شکل منحنی نشان داده می شود) را مدیریت کنند. این مسأله توضیح می دهد که چرا حسابان اینقدر کاربردهای عملی دارد، زیرا هر چیزی که شما بتوانید به آن تکیه کنید، همواره شامل تغییرات می باشد.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.