من یک تاریخ دان ریاضی نیستم، اما به نظر می رسد همه با این موضوع موافق باشند که رنه دکارت (René Descartes) که حد فاصل سالهای 1596 تا 1650 می زیسته است، دستگاه مختصات x-y را که در شکل 5-5 نشان داده شده است، بوجود آورده است.






اسحاق نیوتون (Isaac Newton) (1642-1727) و گوتفرید لایبنیتس (Gottfried Leibniz) (1646-1716) موفق به اختراع حسابان شدند، اما باور کردنش سخت است که آنها توانسته باشند این کار ار بدون مشارکت دکارت در چندین دهه قبل از آن، انجام داده باشند. دستگاه مختصات (یا صفحۀ موجود بر روی ماشین حساب نموداری تان) را به عنوان پنجره ای رو به سوی جهان حسابان، در نظر بگیرید. تقریباً هر چیزی ـــ معمولاً توابع ـــ در کتاب درسی حسابان شما و در این کتاب، به طور مستقیم یا غیرمستقیم، شامل نمودارهای خطها یا منحنی ها در دستگاه مختصات x-y می باشد.

چهار نمودار موجود در شکل 6-5 را در نظر بگیرید.

این چهار منحنی، تابع می باشند زیرا آزمون خط عمودی (vertical line test) را برآورده می سازند. (توجه: من از واژۀ منحنی در اینجا برای اشاره به هر شکلی استفاده می کنم، خواه آن شکل منحنی یا راست باشد.)


تفاوتی نمی کند که در هر کدام از چهار نمودار موجود در شکل 6-5، خط راست را کجا ترسیم کنید، آن خط آن منحنی را فقط در یک نقطه لمس می کند. خودتان می توانید امتحان کنید.



با این وجود، اگر یک خط عمودی بتواند به نحوی رسم شود که یک منحنی را در دو یا بیشتر نقطه قطع کند، آن گاه آن منحنی یک تابع نخواهد بود. به عنوان مثال، دو منحنی نشان داده شده در شکل 7-5 تابع نمی باشند.


بنابراین، چهار منحنی موجود در شکل 6-5 تابع می باشند، و دو منحنی موجود در شکل 7-5 تابع نیستند، اما هر شش منحنی اشاره شده، رابطه (relations) می باشند.


در حسابان شما زمان اندکی را صرف مطالعۀ ارتباطات غیر-تابع ـــ به عنوان مثال دایره ها ـــ خواهید کرد، اما اکثریت قریب به اتفاق مسأله های حسابان شامل توابع می باشند.