تابع \(f(x)=x^2\) (برای \(x \ge 0\)) و تابع \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\) ، توابع معکوس یکدیگر می باشند، زیرا هر کدام از آنها کاری را که تابع دیگر انجام می دهد خنثی می کند. به عبارت دیگر، \(f(x)=x^2\) یک ورودی، فرض بگیرید \(3\)، را می گیرد، و یک خروجی، \(9\) تولید می کند (زیرا \(3^2=9\))؛ تابع \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\) ، \(9\) را به عنوان ورودی می گیرد و \(3\) را به عنوان خروجی تولید می کند، \(f^{-1}(9)=3\). شما تمام این را می توانید در یک مرحله به شکل \(f^{-1}(f(3))= 3\) بنویسید. اگر با \(f^{-1}(x)\) آغاز کنید، به همان شیوه عمل می کند. \(f^{-1}(16)=4\) (زیرا \(\sqrt{16}=4\))، و \(f(4)=16\) (زیرا \(4^2=16\)). اگر این را در یک مرحله بنویسید، به \(f(f^{-1}(16))=16\) می رسید. توجه داشته باشید، هرچند فقط \(f^{-1}(x)\) را به شکل "معکوسِ تابع \(x\)" می خوانند، اما هر دوی این توابع معکوس یکدیگر می باشند.)








هنگامی که نمودار توابع معکوس را ترسیم می کنید، هر کدام از آنها تصویر آینه شدۀ دیگری می باشد، که بر روی خط \(y=x\) بازتاب یافته است. به شکل 13-5 بنگرید، که نمودار توابع معکوس \(f(x)=x^2\) (برای \(x \ge 0\)) و \(f^{-1}(x)=\sqrt{x}\) را نشان می دهد.


اگر در شکل 13-5 این نمودار را به صورت پاد ساعت گرد بچرخانید به نحویکه خط \(y=x\) عمودی گردد، به سادگی می توانید ببینید که \(f(x)\) و \(f^{-1}(x)\) تصویر آینه شدۀ یکدیگر می باشند. یک پیامد این تقارن (symmetry) اینست که اگر یک نقطه مانند \((2,4)\) بر روی یکی از این توابع باشد، نقطۀ \((4,2)\) بر روی تابع دیگر خواهد بود. همچنین، دامنۀ تابع \(f\) برابر با بُرد تابع \(f^{-1}\) خواهد بود، و برد تابع \(f\) برابر با دامنۀ تابع \(f^{-1}\) خواهد بود.