ترسیم نمودار سینوس، کسینوس، و تانژانت

شکل 6-6 نمودارهای سینوس، کسینوس، و تانژانت را به شما نشان می دهد، که مسلماً می توانید با یک ماشین حساب نموداری آنها را تولید کنید.

تعریف تناوبی (periodic) و دورۀ تناوب (period): سینوس، کسینوس، و تانژانت ـــ و کسرهای متقابل آنها، کسکانت، سکانت، و کتانژانت ـــ توابع تناوبی هستند، بدین معنا که نمودارهای آنها شامل یک شکل ساده است که بارها و بارها تا ابد به سمت راست و چپ تکرار می گردد. دورۀ تناوب چنین تابعی طول یکی از این چرخه ها است.

اگر دایرۀ واحد را بدانید، به سادگی می توانید این سه نمودار را با دست بازتولید کنید. در ابتدا، توجه داشته باشید که نمودارهای سینوس و کسینوس دارای شکل یکسانی می باشند ـــ کسینوس مشابه سینوس است، فقط \(90^{\circ}\) درجه به سمت چپ لغزیده است. همچنین توجه داشته باشید که شکل سادۀ موجهای آنها تا ارتفاع \(1\) بالا می رود و تا \(-1\) پایین می آید، و تا ابد به سمت چپ و راست ادامه می یابند، این شکل در هر \(360^{\circ}\) تکرار می شود. این \(360^{\circ}\) دورۀ تناوب هر دوی این توابع می باشد. (در ضمن، این تصادفی نیست، همچنین، این \(360\) درجه، برابر با یک چرخش کامل به دور دایرۀ واحد می باشد.) دایرۀ واحد به شما می گوید که \(\sin 0^{\circ} =0\)، \(\sin 90^{\circ} = 1\)، \(\sin 180^{\circ}= 0\)، و \(\sin 270^{\circ}=-1\)، و \(\sin 360^{\circ}=0\)، می باشند. اگر با این پنج نقطه کار را آغاز کنید، می توانید یک چرخه را ترسیم کنید. سپس این چرخه به سمت راست و چپ تکرار می شود. شما می توانید از دایرۀ واحد به همین شیوه برای ترسیم نمودار کسینوس نیز استفاده کنید.

توجه کنید که در شکل 6-6 دورۀ تناوب تابع تانژانت برابر با \(180^{\circ}\) می باشد. اگر این را به یاد داشته باشید و همچنین الگوی سادۀ تکراری که شبیه یک شکل \(S\) وارونه است را به یاد آورید، ترسیم نمودار آن کار سختی نیست. از آنجا که \(\tan \theta = \frac{y}{x}\) است، می توانید با استفاده از دایرۀ واحد تعیین کنید که \(\tan (-45^{\circ}) = -1\)، \(\tan 0^{\circ}=0\)، و \(\tan 45^{\circ}=1\). این نقاط \((-45^{\circ},-1)\)، \((0,0)\)، و \((45^{\circ},1)\) را به شما می دهد. از آنجا که \(\tan(-90^{\circ})\) و \(\tan 90^{\circ}\) هر دو تعریف نشده هستند (زیرا \(\frac{y}{x}\) در این نقاط منجر به قرار گرفتن صفر در مخرج کسر می شود)، شما خطهای مجانب عمودی (vertical asymptotes) را در \(-90^{\circ}\) و \(90^{\circ}\) ترسیم می کنید.

تعریف خط مجانب عمودی (vertical asymptote): یک خط مجانب عمودی یک خط خیالی است که یک منحنی همچنانکه رو به بالا و مثبت بی نهایت یا رو یه پایین و منفی بی نهایت پیش می رود، به آن نزدیک و نزدیکتر می شود (اما هرگز آن را لمس نمی کند). (در فصل های 7 و 8 خطهای مجانب عمودی و همچنین خطهای مجانب افقی، بیشتری را خواهید دید.)

این دو خط مجانب در \(-90^{\circ}\) و \(90^{\circ}\) و و این سه نقطه در \((-45^{\circ},-1)\)، \((0,0)\)، و \((45^{\circ},1)\) به شما نشان می دهند که این \(S\) وارونه را در کجا ترسیم کنید. سپس این شکل \(S\) وارونه در هر \(180^{\circ}\) رو به سمت چپ و راست تکرار می گردد.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی