خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


ارتباط بین حد و پیوستگی

ارتباط بین حد و پیوستگی
نویسنده : امیر انصاری
قبل از آن که موضوعات حدها از بخشهای قبلی این فصل را بسط بدهم، می خواهم یک مفهوم مرتبط را به شما معرفی کنم ـــ پیوستگی (continuity). این یک مفهوم خیلی ساده است. یک تابع پیوسته (continuous function) به سادگی تابعی است که هیچ شکافی در آن نیست ـــ یک تابع که بدون برداشتن مدادتان از روی کاغذ می توانید آن را ترسیم کنید. چهار تابع موجود در شکل 5-7 را در نظر بگیرید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



ارتباط بین حد و پیوستگی
اینکه یک تابع پیوسته است یا نه، تقریباً همیشه واضح است. دو تابع اول در شکل 5-7، \(f(x)\) و \(g(x)\)، هیچ شکافی ندارند، بنابراین آنها پیوسته هستند. دو تابع بعدی، \(p(x)\) و \(q(x)\)، در \(x=3\) دارای شکاف می باشند، بنابراین آنها پیوسته نیستند. این دو تابع دارای شکاف، در سراسر آنها پیوسته نیستند، اما از آنجایی که شما می توانید بخشهایی از آنها را بدون برداشتن مدادتان از روی کاغذ ترسیم کنید، می توانید بگویید که آن بخشها از آن توابع پیوسته هستند. و گاهی اوقات یک تابع در سرتاسر هر جایی که تعریف شده است، پیوسته است. چنین تابعی به عنوان تابع پیوسته در سرتاسر دامنۀ آن، توصیف می شود، بدین معنا که شکاف یا شکاف های آن در مقادیر \(x\) ای رخ می دهند که تابع مذکور در آنجا تعریف نشده باشد. تابع \(p(x)\) در سرتاسر دامنه اش، پیوسته است؛ از سوی دیگر، \(q(x)\) در سرتاسر دامنه اش پیوسته نیست، زیرا در \(x=3\)، که در دامنۀ این تابع قرار دارد، پیوسته نیست. اغلب، مهمترین مسأله اینست که آیا یک تابع در یک مقدار \(x\) خاص، پیوسته است یا خیر. مگر اینکه در آنجا شکافی باشد.

پیوستگی در توابع چندجمله ای (Continuity of polynomial functions): تمامی توابع چندجمله ای در همۀ قسمتهایشان، پیوسته هستند.

پیوستگی در توابع گویا (Continuity of rational functions): تمامی توابع گویا در سرتاسر دامنۀ شان پیوسته هستند ـــ یک تابع گویا خارج قسمت دو تابع چندجمله ای می باشد. آنها در مقادیر \(x\) ای که در دامنۀ شان نباشد، غیرپیوسته هستند ـــ یعنی، مقادیر \(x\) ای که مخرج آنها صفر باشد.

ارتباط حد و پیوستگی


در چهار تابع موجود در شکل 5-7 به جایی که \(x=3\) است، بنگرید. بررسی کنید که آیا هر تابع در آنجا پیوسته است یا خیر، و آیا در آن مقدار \(x\) یک حد وجود دارد یا خیر. دو تابع اول، \(f\) و \(g\)، در \(x=3\) هیچ شکافی ندارند، بنابراین در آنجا پیوسته هستند. همچنین هر دوی این توابع دارای حدهایی در \(x=3\) می باشند، و در هر دو مورد، حد برابر با ارتفاع آن تابع در \(x=3\) است، زیرا، همینطور که \(x\) از سمت چپ و راست به \(3\) نزدیک می شود، \(y\) به \(f(3)\) و \(g(3)\) نزدیک و نزدیکتر می گردد.

از سوی دیگر، توابع \(p\) و \(q\)، در \(x=3\) پیوسته نیستند (یا شما می توانید بگویید که در آنجا ناپیوسته هستند)، و هیچکدام یک حد دو طرفۀ معمولی در \(x=3\) ندارند. در مورد هر دوی این توابع، شکافهای موجود در \(x=2\) نه تنها پیوستگی را شکسته اند، بلکه همچنین منجر شده اند که در آنجا حدی هم نباشد، زیرا همینطور که از سمت چپ و راست به \(x=3\) نزدیک می شوید، بر روی مقدار \(y\) واحدی نشانه روی نمی کنید.

به همین راحتی. اگر تابعی در یک مقدار \(x\) پیوسته باشد، باید یک حد دوطرفۀ معمولی برای آن مقدار \(x\) وجود داشته باشد. و اگر یک ناپیوستگی در یک مقدار \(x\) وجود داشته باشد، هیچ حد دوطرفه ای در آنجا وجود ندارد ... خوب، تقریباً. برای مشاهدۀ استثناء ها به خواندن ادامه بدهید.

استثناء حفره (hole exception)


استثناء حفره تنها استثنائی در این قانون است که پیوستگی و حدها در آن به یکدیگر مرتبطند، اما این یک استثناء مهم است. و من باید بپذیرم، برای من اندکی عجیب است که بگویم حد و پیوستگی معمولاً به یکدیگر مرتبطند و در مورد این استثناء صحبت کنم زیرا این استثناء کل ماجرا است. هنگامی که همه چیز را در این مورد در نظر بگیرید، این استثناء از این قانون مهم تر است. دو تابع موجود در شکل 6-7 را در نظر بگیرید.

ارتباط بین حد و پیوستگی
این توابع در \(x=2\) دارای شکافهایی هستند و مسلماً در آنجا پیوسته نمی باشند، اما همینطور که \(x\) به \(2\) میل می کند، دارای حدهایی می باشند. در هر مورد، حد برابر با ارتفاع حفره می باشد.

استثناء حفره (hole exception): تنها روشی که یک تابع ناپیوسته می تواند یک حد معمولی دو طرفه داشته باشد در جایی است که ناپیوستگی یک حفرۀ بی نهایت کوچک در آن تابع باشد.

بنابراین هر دو تابع موجود در شکل 6-7 همینطور که \(x\) به \(2\) نزدیک می شود، دارای حد یکسانی هستند؛ این حد برابر با \(4\) می باشد، و این حقیقت که \(r(2)=1\) و \(s(2)\) تعریف نشده است، بی ربط هستند. در هر دوی این توابع، همینطور که \(x\) از هر دو سمت بر روی \(2\) نشانه گیری می کند، ارتفاع این تابع بر روی ارتفاع آن حفره نشانه روی می کند ـــ این حد آن است.

حد در یک حفره: حد در یک حفره ارتفاع آن حفره می باشد.

شما ممکن است با خودتان فکر کنید "این عالی است، اما چرا باید برای من مهم باشد؟" خوب، فقط برای یک دقیقه مرا همراهی کنید. در مثال توپ در حال سقوط که در بخشهای پیشین همین فصل ارائه کردم، من سعی داشتم تا سرعت میانگین را در طول صفر زمان سپری شده محاسبه کنم. این محاسبه به من نتیجۀ \(\frac{\text{zero distance}}{\text{zero time}}\) را می داد. از آنجا که \(\frac{0}{0}\) تعریف نشده است، نتیجه یک حفره در این تابع بود. حفره های توابع اغلب از غیرممکن بودن تقسیم صفر بر صفر رخ می دهند. در این نوع توابع فرآیند حد حیاتی است، و چنین توابعی مهمترین بخش مشتق (derivative) می باشند، و مشتق ها مهمترین بخش حساب دیفرانسیل (differential calculus) می باشند.

ارتباط بین مشتق و حفره: یک مشتق همواره شامل کسر تعریف نشدۀ \(\frac{0}{0}\) و همواره شامل حد یک تابعِ دارای یک حفره می باشد. (اگر در این زمینه کنجکاو هستید، تمامی حدها در فصل 9 ـــ که مشتق در آنجا به صورت رسمی تعریف شده است ـــ حدهای توابعی دارای حفره ها می باشند.)

پیوستگی (continuity)


تمام چیزی که برای درک کامل مفهوم پیوستگی باید بدانید اینست که یک تابع در صورتی پیوسته است که در برخی مقادیر \(x\) آن حفره ای نباشد. با این وجود، از آنجا که شما ممکن است تعریف رسمی زیر را بیازمایید، من گمان می کنم بخواهید این را بدانید.

تعریف پیوستگی: یک تابع \(f(x)\) در یک نقطه \(x=a\) پیوسته است، اگر سه شرط زیر برآورده گردند:

  1. \(f(a)\) تعریف شده باشد،
  2. \(\lim \limits_{x \to a} f(x)\) وجود داشته باشد، و
  3. \(f(a)= \lim \limits_{x \to a} f(x)\) .

درست همانند تعریف رسمیِ یک حد، تعریف پیوستگی همیشه به عنوان یک آزمون سه بخشی ارائه می شود، اما شرط \(3\) تنها شرطی است که واقعاً باید در موردش نگران باشید، زیرا شرطهای \(1\) و \(2\) در آن جاساز شده اند. با این حال، باید یادتان باشد که این شرط \(3\) هنگامی که سمت چپ یا راست این معادله هر دو تعریف نشده (undefined) یا ناموجود (nonexistent) باشند، برآورده نمی شود.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.