خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


مشتق گیری (Differentiation)

مشتق گیری (Differentiation)
نویسنده : امیر انصاری
حساب دیفرانسیل (differential calculus) ریاضیات تغییر (change) و ریاضیات بی نهایت کوچک ها (infinitesimals) است. شما می توانید بگویید که آن ریاضیات تغییرات بی نهایت کوچک ها می باشد ـــ تغییراتی که در هر یک میلیاردیم ثانیه رخ می دهند.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



بدون حساب دیفرانسیل (differential calculus) ـــ اگر شما صرفاً جبر (algebra)، هندسه (geometry)، و مثلثات (trigonometry) را داشته باشید ـــ شما محدود به ریاضیات چیزهایی هستید که یا تغییر نمی کنند و یا اینکه با نرخ ثابتی تغییر می کنند یا حرکت می کنند. آن مشکلات را از جبر به یاد می آورید؟ یک قطار ایستگاه را در ساعت 3 بعدازظهر ترک می کند و با سرعت \(80\) مایل بر ساعت به سمت غرب می رود. دو ساعت بعد از آن قطار دیگری با سرعت \(50\) مایل بر ساعت ایستگاه را به مقصد شرق ترک می کند ... شما چنین مسأله ای را می توانید با جبر مدیریت کنید، زیرا سرعت ها یا نرخ ها ثابتند. با این حال، دنیای ما یکی از آن نرخ های ثابت نمی باشد ـــ نرخ ها در تغییرات پی در پی و مداومند.

به ارسال انسان به ماه فکر کنید. آپولو 11 از یک سکوی پرتاب در حال حرکت بلند می شود (زمین هم به دور خودش و هم به دور خورشید در حال چرخش است). همینطور که آپولو بالا و بالاتر می رود اصطکاک ایجاد شده توسد اتمسفر و تاثیر جاذبۀ زمین در حال تغییرند، این تغییرات نه در هر ثانیه، نه در هر یک میلیونیم ثانیه، بلکه در هر کسر بی نهایت کوچک از ثانیه رخ می دهند. همچنین وزن فضاپیما همینطور که به طور مداوم سوختش را می سوزاند، تغییر می کند. تمامی این چیزها بر روی سرعت موشک تاثیر می گذارند. علاوه بر همۀ اینها، این موشک باید به یک هدف در حال حرکت، یعنی ماه، برسد. تمامی این چیزها در حال تغییرند، و نرخ تغییر آنها نیز در حال تغییر است. فرض کنید این موشک در یک ثانیه \(1,000\) مایل بر ساعت سرعت داشته باشد، و در ثانیه ای دیگر \(1,020\) مایل بر ساعت سرعت داشته باشد ـــ در طول آن یک ثانیه، سرعت این موشک به معنای واقعی کلمه از میان بی نهایت عددی که بین \(1,000\) و \(1,020\) مایل بر ساعت قرار دارند، عبور می کند. چگونه می توانید برای این چیزهای بی دوام که در هر بخش بی نهایت کوچک ار ثانیه تغییر می کنند، ریاضیات را انجام دهید؟ شما نمی توانید بدون حساب دیفرانسیل این کار را انجام دهید.

و حساب دیفرانسیل برای تمامی انواع چیزهای زمینی نیز همینگونه مورد استفاده قرار می گیرد. به عنوان مثال، بسیاری از تئوری های اقتصادی مدرن، مبتنی بر مشتق گیری (دیفرانسیل گیری) می باشند. در اقتصاد هر چیزی در تغییرات پی در پی مداوم است. قیمتها بالا و پایین می روند، عرضه و تقاضا در نوسانند، و تورم مدام تغییر می کند. این چیزها مدام در تغییرند، و شیوۀ تاثیر گذاری آنها بر روی یکدیگر مدام تغییر می کند. شما برای این به حسابان نیاز دارید.

حساب دیفرانسیل یک از کاربردی ترین و قدرتمندترین اختراعات در تاریخ ریاضیات است. پس بیایید آن را شروع کنیم.

مشتق گرفتن (Differentiating)


مشتق گیری (دیفرانسیل گیری) اولین مفهوم از دو مفهوم اصلی در حسابان می باشد، مفهوم اصلی دیگر انتگرال گیری (integration) می باشد که در بخش پنجم این کتاب مفصل به آن می پردازیم. دیفرانسیل گیری فرآیند یافتن مشتق (derivative) یک تابع مانند \(y=x^2\) می باشد. مشتق (derivative) صرفاً یک واژۀ فانتزی در حسابان برای یک مفهوم ساده که در جبر آن را به نام شیب (slope) می شناسید، می باشد. شیب (Slope) نیز، همانطور که می دانید، یک واژۀ فانتزی در جبر برای اشاره کردن به میزان تندی (steepness) است. و تندی (steepness) یک واژۀ فانتزی برای ... نه، شوخی کردم! تندی یک کلمۀ عادی است که از وقتی که بچه بودید با آن آشنا هستید، مانند اینکه "این جاده سربالایی تندی دارد." هر چیزی که در حساب دیفرانسیل مطالعه می کنید، به این مفهوم سادۀ تندی مرتبط است.

در حساب دیفرانسیل، شما دیفرانسیل گیری را مطالعه می کنید، که فرآیند استخراج مشتق ها (deriving derivatives) ـــ همان یافتن مشتق ها ـــ است. اینها کلمات بزرگی برای مفاهیمی ساده هستند: یافتن تندی یا شیب یک خط یا منحنی. گاهی برخی از این واژه ها را بین دوستانتان مطرح کنید تا آنها را تحت تاثیر قرار دهید. راستی، ریشۀ کلمات differential و differentiation ، برابر با difference (تفاوت، فرق) می باشد.

شکل 1-9 را در نظر بگیرید. تندی \(\frac{1}{2}\) بدین معناست که، همینطور که این آدمک یک فوت به سمت راست می رود، \(\frac{1}{2}\) فوت رو به بالا می رود؛ جایی که این تندی برابر با \(3\) است، همچنانکه \(1\) فوت به سمت راست می رود، \(3\) فوت رو به بالا می رود. جایی که این تندی برابر با صفر باشد، او در بالا قرار دارد، نه رو به سمت پایین و نه رو به سمت بالا می رود؛ و جاییکه این تندی منفی باشد، او رو به سمت پایین می رود. به عنوان مثال، تندی \(-2\) بدین معناست که او به ازاء هر فوتی که به سمت راست می رود، \(2\) فوت رو به پایین می رود. در شکل 2-9 این مسأله دقیقتر نشان داده شده است.

شیب منفی (Negative slope): برای بیاد آوری اینکه رو به سمت پایین و راست رفتن (یا بالا و به سمت چپ رفتن) یک شیب منفی است، یک حرف بزرگ \(N\) را همانطور که در شکل 3-9 نشان داده شده است، در نظر بگیرید.

مشتق گیری (Differentiation)
مشتق گیری (Differentiation)
مشتق گیری (Differentiation)
جزء آن لشکر دانش آموزانی نباشید که شیب خطهای افقی و خطهای عمودی را با یکدیگر اشتباه می گیرند. یک جادۀ مسطح افقی چقدر تند است؟ مسلماً به هیچ وجه تندی ندارد. تندی آن صفر است. بنابراین، یک خط افقی دارای شیب صفر می باشد. (مانند جاییکه آن آدمک در شکل 1-9 بالای آن تپه ایستاده است.) اگر بخواهید یک جادۀ عمودی را رو به بالا رانندگی کنید، چگونه است؟ شما نمی توانید این کار را انجام دهید. و شما نمی توانید شیب یک خط عمودی را بدست آورید ـــ آن وجود ندارد، یا آنطور که ریاضیدانان می گویند تعریف نشده (undefined) است.

شیب یک خط


با مفهوم شیب ادامه دهید ـــ تا اینجا شما باید دانسته باشید که این شیب چیزی است که دیفرانسیل گیری در آن ارتباط است. به نمودار خط \(y=2x+3\) در شکل 4-9 نگاهی بیندازید.

شما از جبر به خاطر دارید ـــ در این مورد مطمئن هستم ـــ که می توانید نقاطی بر روی این خط را با جایگذاری اعدادی در \(x\) و محاسبۀ \(y\) بدست آورید: \(1\) را در \(x\) جایگذاری کنید و \(y\) برابر با \(5\) خواهد بود، که نقطۀ قرار گرفته در \((1,5)\) را به شما می دهد؛ \(4\) را در \(x\) جایگذاری کنید و \(y\) برابر با \(11\) خواهد بود، به شما نقطۀ \((4,11)\) را می دهد و به همین ترتیب.

مشتق گیری (Differentiation)
من مطمئنم که شما همچنین به یاد دارید که چگونه شیب یک خط را محاسبه کنید. من درک می کنم که در اینجا هیچ محاسبه ای نیاز نیست ـــ به ازاء هر \(1\) واحدی که رو به سمت راست می روید، \(2\) واحد رو به سمت بالا می روید، بنابراین این شیب به صورت اتوماتیک برابر با \(2\) خواهد بود. شما همچنین به سادگی می توانید متوجه شوید که \(y=2x+3\) در شکل شیب-تقاطع (slope-intercept) که شکل معادله اش \(y=mx+b\) است، می باشد، و از آنجایی که \(m=2\) است، این شیب برابر با \(2\) است (اگر می خواهید \(y=mx+b\) را مروری کنید نگاهی به فصل 5 بیندازید.) اما من را تحمل کنید زیرا نیاز دارید تا آنچه را که در ادامه می آید بدانید. ابتدا، یادتان باشد که:

فرمول شیب خط: $$\text{Slope} = \frac{\text{rise}}{\text{run}} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

rise مسافتی است که رو به بالا می روید (بخش عمودی در یک پله)، و run مسافتی است که رو به جلو می روید (بخش افقی یک پله). حالا، هر دو نقطۀ دلخواه بر روی این خط را در نظر بگیرید، فرض کنید \((1,5)\) و \((6,15)\)، و rise و run را حساب کنید. از \((1,5)\) تا \((6,15)\) شما \(10\) واحد رو به سمت بالا می روید، زیرا \(5\) بعلاوۀ \(10\) برابر با \(15\) است (یا می توانید بگویید که \(15\) منهای \(5\) برابر با \(10\) می باشد). و از \((1,5)\) تا \((6,15)\) برابر با \(5\) واحد مستقیم می روید، زیرا \(1\) بعلاوۀ \(5\) برابر با \(6\) است (یا به عبارت دیگر، \(6\) منهای \(1\) برابر با \(5\) است). سپس، شما آنها را تقسیم می کنید تا به این شیب برسید:
$$\text{Slope}=\frac{\text{rise}}{\text{run}}=\frac{10}{5} = 2$$
در اینجا چگونگی انجام مسالۀ مشابهی را با استفاده از فرمول شیب می بینید:
$$\text{Slope}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
نقاط \((1,5)\) و \((6,15)\) را در این فرمول جایگذاری کنید:
$$\text{Slope}=\frac{15-5}{6-1}=\frac{10}{5}=2$$
اوکی، بیایید چیزهایی را که در مورد این خط می دانیم، خلاصه کنیم. جدول 1-9 شش نقطه بر روی این خط و شیب بدون تغییر (ثابت) \(2\) را نشان می دهد.

مشتق گیری (Differentiation)

مشتق یک خط (derivative of a line)


بخش پیشین، جبر شیب را به شما نشان داد. اکنون، در اینجا حسابان را داریم. مشتق (شیب) یک خط در شکل 4-9 همواره برابر با \(2\) است، بنابراین آن را اینگونه می نویسید:
$$\frac{dy}{dx} = 2$$
این عبارت را اینگونه بخوانید: دی وای (dee y) دی ایکس (dee x) برابر است با \(2\) .

روش رایج دیگر برای نوشتن همان چیز اینست:
$$ y'=2 $$
و آن را اینگونه می خوانید: وای پریم (y prime) برابر است با \(2\) .

و می گویید:
مشتق تابع \(y=2x+3\) برابر است با \(2\) .



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.