خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


خارج قسمت تفاضلی (difference quotient)

خارج قسمت تفاضلی (difference quotient)
نویسنده : امیر انصاری
شیپورها را به صدا در آورید! شما هم اکنون به جایی رسیده اید که شاید سنگ بنای حساب دیفرانسیل باشد: خارج قسمت تفاضلی (difference quotient)، که پل ارتباطی بین حدها و مشتق می باشد. اما شما باید در اینجا صبور باشید، زیرا برای من چندین صفحه طول می کشد تا منطق پشت خارج قسمت تفاضلی را توضیح دهم تا بتوانم بعد از آن به شما نشان دهم که آن چیست. اوکی، پس هرچه پیش آید خوش آید. دوباره تکرار می کنم ـــ آیا متوجه این حقیقت مهم شده اید که مشتق صرفاً یک شیب است. شما در جبر چگونگی یافتن شیب یک خط را یاد گرفته اید. در شکل 7-9 شیب یک منحنی در چندین نقطه را به شما دادم، و سپس یک روش میانبر برای یافتن آن مشتق ارائه کردم ـــ اما ریاضیات مهمی را در آن میانه رها کردم. آن ریاضی شامل حدها می باشد، و ما را به دروازۀ حسابان می برد. خودتان را برای بقیۀ ماجرا آماده کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



شیب به شکل \(\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) تعریف می شود، و \(\text{Slope} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) .

برای محاسبۀ یک شیب، شما نیاز به دو نقطه دارید تا آنها را در این فرمول جایگذاری کنید. در مورد یک خط، این کار آسانی است. شما هر دو نقطۀ دلخواه بر روی آن خط را انتخاب می کنید و آنها را در این فرمول جایگذاری می کنید. اما اگر بخواهید، فرضاً شیب سهمی \(f(x)=x^2\) را در نقطۀ \((2,4)\) بدست آورید، ماجرا به این سادگی نیست. شکل 8-9 را بررسی کنید.

شما می توانید خطی را که مماس بر این منحنی در \((2,4)\) ترسیم شده است، ببینید. از آنجا که شیب این خط مماس (tangent line) با شیب این سهمی در \((2,4)\) یکی است، تمام چیزی که نیاز دارید اینست که شیب این خط مماس را به عنوان شیب این سهمی در آن نقطه بدست آورید. شما معادلۀ این خط مماس (خط تانژانت) را نمی دانید، بنابراین نمی توانید نقطۀ دومی را بدست آورید ـــ علاوه بر \((2,4)\) ـــ که برای این فرمول شیب مورد نیاز است.

در اینجا چگونگی رفع این مانع توسط مخترعان حسابان را می بینید. شکل 9-9 دوباره آن خط مماس را نشان می دهد و همینطور یک خط قاطع (secant line) که این سهمی را در \((2,4)\) و در \((10,10)\) قطع می کند.

تعریف خط قاطع (secant line): یک خط قاطع، خطی است که یک منحنی را در دو نقطه قطع می کند. این تعریف بیش از حد ساده شده است، اما درست جواب می دهد.

خارج قسمت تفاضلی (difference quotient)
خارج قسمت تفاضلی (difference quotient)
شیب این خط قاطع با استفاده از فرمول شیب بدست می آید:
$$\text{Slope} =\frac{\text{rise}}{\text{run}}= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}=\frac{100-4}{10-2}=\frac{96}{8}=12$$
شما می توانید ببینید که این خط قاطع تندتر از این خط مماس است، و بدین ترتیب شیب خط قاطع، \(12\) ، بیشتر از شیبی است که شما به دنبالش هستید.

اکنون یک نقطۀ دیگر در \((6,36)\) اضافه کنید و دوباره خط قاطع دیگری را با استفاده از \((2,4)\) رسم کنید. شکل 10-9 را ببینید.

خارج قسمت تفاضلی (difference quotient)
شیب این خط قاطع دوم را محاسبه کنید:
$$\text{Slope} = \frac{36-4}{6-2}=\frac{32}{4}=8$$
شما می توانید ببینید که این خط قاطع نسبت به خط قاطع اول، برآورد بهتری از شیب خط مماس را ارائه می دهد.

اکنون تصور کنید چه می شود اگر این نقطۀ \((6,36)\) را بگیرید و آن را رو به سمت پایین این سهمی و بسوی \((2,4)\) سُر بدهید. آیا می توانید ببینید که همینطور که این نقطه به نقطۀ \((2,4)\) نزدیک و نزدیکتر می شود، خط قاطع به خط مماس، نزدیک و نزدیکتر می گردد و بدین ترتیب شیب این خط قاطع به شیب این خط مماس نزدیک و نزدیکتر می گردد.

بنابراین، شما می توانید شیب این خط مماس را بدست آورید اگر حد (limit) شیب های این خط قاطع در حال حرکت را بدست آورده باشید. بیایید به این نقطۀ در حال حرکت مختصات های \((x_2,y_2)\) را بدهیم. همینطور که این نقطۀ \((x_2,y_2)\) به \((x_1,y_1)\)، یعنی \((2,4)\) ، نزدیک و نزدیکتر می شود، run که برابر با \(x_2 - x_1\) است، به صفر نزدیکتر می شود. بنابراین حدی که نیاز دارید اینست:
$$
\text{Slope}_{\text{of tangent } = \lim_{\text{ as point slides toward (2,4)}}} (\text{slope}_{\text{of moving secant}}) \\
=\lim \limits_{\text{run} \to 0} \frac{\text{rise}}{\text{run}} \\
= \lim \limits_{x_2 \to x_1} \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \\
= \lim \limits_{x_2 \to 2} \frac{y_2 - 4}{x_2 - 2}
$$
ترجمۀ فرمول:
slope of tangent : شیب خط مماس
as point slides toward: همینطور که این نقطه بسوی نقطۀ \((2,4)\) سُر می خورد (و نزدیکتر می شود)
slope of moving secant : شیب خط قاطع در حال حرکت

تماشا کنید هنگامی که چهار نقطۀ بیشتر را بر روی این سهمی جایگذاری می کنید که به \((2,4)\) نزدیک و نزدیکتر می شوند، برای این حد چه اتفاقی می افتد:

  • هنگامی که نقطۀ \((x_2,y_2)\) به \((3,9)\) سُر می خورد، این شیب برابر با \(\frac{9-4}{3-2}=5\) خواهد بود.
  • هنگامی که این نقطه به \((2.1,4.41)\) سُر می خورد، این شیب برابر با \(\frac{4.41-4}{2.1-2}=4.1\) خواهد بود.
  • هنگامی که این نقطه به \((2.001,4.0401)\) می لغزد، این شیب برابر با \(4.01\) خواهد بود.
  • هنگامی که این نقطه به \((2.001,4.004001)\) سُر می خورد، این شیب برابر با \(4.001\) خواهد بود.

مطمئناً به نظر می رسد این شیب به سمت \(4\) می رود. (راستی، این حقیقت که این شیب در نقطۀ \((2,4)\) به سمت \(4\) می رود، و اینکه مختصات \(y\) در این نقطه برابر با \(4\) است، یک تصادف بی معنا است، و ارتباطی بیکدیگر ندارند.)

همانند همۀ مسأله های حد، متغیر این مسأله، \(x_2\) ، به عدد فلش (در اینجا \(2\)) نزدیک می شود، اما هرگز به آن نمی رسد. اگر به \(2\) برسد، شما به \(\frac{4-4}{2-2}=\frac{0}{0}\) می رسید که تعریف نشده می باشد. اما مسلماً، شیب در نقطۀ \((2,4)\) دقیقاً شیبی است که شما می خواهید. در اینجا زیبایی فرآیند حد را می بینید. با این حد، شما به شیب دقیق این خط مماس در نقطۀ \((2,4)\) را بدست آوردید، حتی با وجود اینکه تابع حد، \(\frac{y_2 - 4}{x_2 - 4}\) شیب خطهای قاطع را تولید می کرد.

در اینجا دوباره معادله ای برای شیب این خط مماس را داریم:
$$\text{Slope} = \lim \limits_{x_2 \to 2} \frac{y_2 - 4}{x_2 - 2}$$
و شیب این خط مماس برابر با مشتق (derivative) است.

معنی مشتق: مشتق یک تابع \(f(x)\) در نقطه ای خاص \(x=c\)، که به شکل \(f'(c)\) نوشته می شود، برابر با شیب خط مماس بر \(f\) می باشد که در نقطۀ \(c\) ترسیم شده است.

کسر این شیب \(\frac{y_2 - 4}{x_2 - 2}\) با اصطلاحات جبری بیان شده است. حالا بیایید آن را با استفاده از ظاهر پرطمطراق حسابان بازنویسی کنیم. اما قبل از آن، سرانجام تعریفی که منتظرش بودید را ارائه می دهیم:

تعریف خارج قسمت تفاضلی (difference quotient): یک واژۀ فانتزی برای کسر عمومی شیب، \(\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) یا \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) ، هنگامی که آن را به شیوۀ فانتزی حسابان می نویسید، وجود دارد. یک کسر برابر با یک خارج قسمت (quotient) است، آیا اینطور است؟ و هر دوی \(y_2 - y_1\) و \(x_2 - x_1\) تفاضل (differences) می باشند، آیا اینطور است؟ بنابراین، این چیزی است که خارج قسمت تفاضلی نامیده می شود. بفرمایید:
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

(این رایج ترین روش نگارش خارج قسمت تفاضلی می باشد. شما ممکن است با سایر روش های معادل مواجه شوید.) در ادامه چگونگی تبدیل تدریجی \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) به خارج قسمت تفاضلی را نشان خواهم داد.

اوکی، بیایید این فرآیند تدریجی را بازش کنیم. ابتدا، قسمت run ، یعنی \(x_2 - x_1\) (که در این مثال \(x_2 - 2\) است)، \(h\) نامیده شده است (از من نپرسید چرا). در ادامه، از آنجا که \(x_1 = 2\) و run برابر با \(h\) است، \(x_2\) برابر با \(2+h\) می باشد. سپس \(y_1\) را به شکل \(f(2)\) و \(y_2\) را به شکل \(f(2+h)\) می نویسید. انجام تمامی این جایگذاری ها، مشتق \(x^2\) در \(x=2\) را به شما نتیجه می دهد.
$$f'(2)= \lim \limits_{\text{run} \to 0} \frac{\text{rise}}{\text{run}} \\
=\lim \limits_{x_2 \to 2} \frac{y_2 - 4}{x_2 - 2} \\
=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{(2+h) - 2} \\
=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$$

\(\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}\) به سادگی یک گام از پلکان \(\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) همینطور که این نقطه از این سهمی به سوی \((2,4)\) پایین می رود را که در تصویر 10-9 می بینید، کوچک می کند.

شکل 11-9 در واقع با شکل 10-9 یکسان است با این استثناء که به جای نقاط دقیقی همچون \((6,36)\) و \((10,100)\)، نقطۀ در حال لغزیدن دارای مختصات های عمومی \(\biggl( 2+h,f(2+h) \biggr)\) می باشد، و rise و run به لحاظ \(h\) بیان شده اند. شکل 11-9 شکل نهایی برای حد زیر است:
$$f'(2)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} $$
خارج قسمت تفاضلی (difference quotient)
آیا با این دو شکل شما را گیج کردم؟ نگران نباشید. هر دوی آنها چیز یکسانی را به شما نشان می دهند. هر دو شکل نمایش بصریِ \(f'(2)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}\) هستند. من صرفاً تصور می کنم فکر خوبی باشد که ابتدا شکلی با مختصات دقیق به شما نشان دهم و سپس در شکل 11-9 از تمامی آن چیزهای \(f\) و \(h\) به ظاهر عجیب استفاده کنم.

در پایان، انجام این عملیات ریاضی شیب خط مماس را در \((2,4)\) به شما می دهد:
$$f'(2)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h} \\
=\lim \limits_{h \to 0} \frac{(2+h)^2-(2)^2}{h}$$
(این تابع برابر با \(f(x)=x^2\) می باشد، بنابراین \(f(2+h)=(2+h)^2\) ، آیا همینطور است؟)
$$
= \lim \limits_{h \to 0} \frac{(4+4h+h^2)-4}{h} \\
= \lim \limits_{h \to 0} \frac{4h+h^2}{h} \\
= \lim \limits_{h \to 0} \frac{h(4+h)}{h} \\
= \lim \limits_{h \to 0} (4+h) \\
= 4+0=4
$$
بنابراین، این شیب در نقطۀ \((2,4)\) برابر با \(4\) می باشد.

تعریف اصلی مشتق (derivative): اگر نقطۀ \((2,f(2))\) در معادلۀ حد بالا را با نقطۀ عمومیِ \((x,f(x))\) جایگزین کنید، به تعریف عمومی مشتق به شکل تابعی از \(x\) می رسید:
$$f'(x)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

بنابراین در نهایت شما دیدید که مشتق به شکل حدی از خارج قسمت تفاضلی نوشته می شود.

شکل 12-9 این تعریف عمومی را به صورت گرافیکی نشان می دهد. توجه داشته باشید که شکل 12-9 تقریباً با شکل 11-9 یکسان است، با این استثناء که \(x\) ها جایگزین \(2\) ها در شکل 11-9 شده اند و اینکه نقطۀ در حال حرکت در شکل 12-9 به جای لغزیدن به سوی نقطۀ خاص \((2,f(2))\) ،به سمت پایین و بسوی هر نقطۀ \(\biggl( x,f(x) \biggr)\) سُر می خورد.

خارج قسمت تفاضلی (difference quotient)
اکنون این حد را حل کنید و مشتق آن را برای سهمی \(f(x)=x^2\) را بدست آورید:
$$
f'(x)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
=\lim \limits_{h \to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\
=\lim \limits_{h \to 0} \frac{(x^2+2xh+h^2)-x^2}{h} \\
=\lim \limits_{h \to 0} \frac{2xh+h^2}{h} \\
=\lim \limits_{h \to 0} \frac{h(2x+h)}{h} \\
=\lim \limits_{h \to 0} (2x+h) \\
= 2x+0=2x
$$
بدین ترتیب برای این سهمی، مشتق (که شیب خط تانژانت در هر مقدار \(x\) می باشد) برابر با \(2x\) است. هر عدد دلخواه را در \(x\) جایگذاری کنید، و شیب این سهمی در آن مقدار \(x\) را بدست خواهید آورد. خودتان امتحان کنید.

برای بستن این بخش، بیایید به یک شکل نهایی بنگریم. شکل 13-9 به نوعی خلاصه شدۀ (به شیوه ای ساده شده) تمامی مفاهیم مشکل قبلی در مورد خارج قسمت تفاضلی می باشد. همانند شکل 10-9 ، 11-9 ، و 12-9 ، شکل 13-9 شامل یک پلۀ ساده، یک خط قاطع، و یک خط تانژانت (مماس) می باشد. شیب این خط قاطع \(\frac{\text{rise}}{\text{run}}\) ، یا \(\frac{\triangle y}{\triangle x}\) می باشد. شیب این خط مماس برابر با \(\frac{dy}{dx}\) می باشد. شما می توانید به \(\frac{dy}{dx}\) به عنوان \(\frac{\text{a little (ultimately infinitesimal) bit of y}}{\text{a little (ultimately infinitesimal) bit of x}}\) فکر کنید، و می توانید ببینید که چرا این یکی از نمادهای مورد استفاده برای مشتق می باشد. همینطور که یک گام از پلکان این خط قاطع به اندازۀ هیچی کوچک می شود، یا بعبارتی دیگر، در حدی از \(\triangle x\) و \(\triangle y\) به سوی صفر می رود، داریم:
$$
\frac{dy}{dx} (\text{the slope of the tangent line}) = \frac{\triangle y}{\triangle x} (\text{the slope of the secant line}) $$

ترجمۀ فرمولها:
a little (ultimately infinitesimal) bit of y : یه ذره از \(y\) (به طول بی نهایت کوچک)
a little (ultimately infinitesimal) bit of x : یه ذره از \(x\) (به طول بی نهایت کوچک)
the slope of the tangent line: شیب خط تانژانت (خط مماس)
the slope of the secant line: شیب خط قاطع

خارج قسمت تفاضلی (difference quotient)


نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.