من می خواهم در مورد سه وضعیتی بحث کنم که در آنجا مشتق وجود ندارد (در فصل 7 یک یادآور با نام 33333 مطرح کردیم که می توانید آن را مرور کنید). تا اینجای کار شما مطمئناً می دانید که مشتق یک تابع در یک نقطۀ خاص برابر با شیب خط مماس بر آن نقطه می باشد. بنابراین، اگر نتوانید یک خط مماس رسم کنید، در آنجا مشتقی وجود نخواهد داشت ـــ که در دو مورد اول زیر رخ داده است. در مورد سوم، یک خط مماس وجود دارد، اما شیب و مشتق آن تعریف نشده (undefined) می باشند.

• در هر کدام از انواع ناپیوستگی ها (discontinuity) هیچ خط مماسی وجود ندارد و ازینرو مشتقی هم در آنجا وجود نخواهد داشت: ناپیوستگی برداشتنی (removable discontinuity)، ناپیوستگی نامتناهی (infinite discontinuity)، یا ناپیوستگی جهشی (jump discontinuity) . (این نوع از ناپیوستگی ها در فصل 7 مورد بحث قرار گرفتند و نشان داده شدند.) از اینرو، پیوستگی (Continuity) یک شرط ضروری برای مشتق پذیری (differentiability) می باشد. با این حال، همانطور که دو مورد بعدی نشان می دهند، یک شرط کافی نمی باشد.
  
  
• در یک گوشۀ تیز بر روی یک تابع یا بعبارت دیگر در یک cusp (نقطۀ بازگشت)، هیچ خط مماسی وجود ندارد و ازینرو مشتقی هم در آنجا وجود نخواهد داشت. تابع \(f\) در شکل 14-9 را ببینید.
  
  
• جایی که یک تابع دارای یک خط مماس عمودی باشد (که در یک نقطۀ عطف عمودی رخ می دهد)، شیب تعریف نشده می باشد، و ازینرو مشتق هم وجود نخواهد داشت. تابع \(g\) در شکل 14-9 را ببینید. (نقاط عطف در فصل 11 تشریح خواهند شد.)