خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


قوانین مشتق گیری برای حرفه ای ها

قوانین مشتق گیری برای حرفه ای ها
نویسنده : امیر انصاری
حالا که کاملاً بر روی قوانین پایه ایِ مشتق گیری مهارت یافته اید، برای دقیقه ای یک نفس عمیق بکشید و به دستاوردهای فعلی تان افتخار کنید ... اوکی، حالا برای یک چالش جدید آماده اید؟ قوانین زیر، مخصوصاً قاعدۀ زنجیری (chain rule)، می توانند سخت باشند. اما شما می دانید که آنها چه می گویند: "نابرده رنج، گنج میسر نمی شود."

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



قانون حاصل ضرب (product rule)


شما از این قانون برای حاصلضرب دو تابع استفاده می کنید، مانند:
$$y=x^3 \cdot \sin x$$
قانون حاصل ضرب (product rule):
اگر \(y=\text{this } \cdot \text{ that}\)
سپس \(y'=\text{this}' \cdot \text{ that} + \text{ this} \cdot \text{ that}'\)

بنابراین، برای \(y=x^3 \cdot \sin x\) خواهیم داشت:
$$
y'=(x^3)' \cdot \sin x + x^3 \cdot (\sin x)' \\
=3x^2 \sin x + x^3 \cos x
$$

قانون خارج قسمت (quotient rule)


این قانون در ارتباط با خارج قسمت دو تابع مانند اینست:
$$y=\frac{\sin x}{x^4}$$
قاعدۀ خارج قسمت (quotient rule):
اگر
$$y=\frac{\text{top}}{\text{bottom}}
$$
سپس
$$y'=\frac{\text{top}' \cdot \text{bottom } - \text{top } \cdot \text{ bottom}' }{\text{bottom}^2}$$

تقریباً هر کتاب حسابانی که من تاکنون دیده ام این قانون را در شکلی اندکی متفاوت که یاد آوری آن سخت تر است، ارائه می دهند. قانون خارج قسمت را به شیوه ای که من نوشته ام به خاطر بسپارید. در بیاد آوری آنچه که در مخرج این کسر است، مشکلی نخواهید داشت ـــ هیچ کس تابحال آن را فراموش نکرده است. ترفند اینست که ترتیب جملات در صورت این کسر را بدانید. به آن اینگونه فکر کنید: شما مشغول مشتق گیری هستید، بنابراین اولین کاری که انجام می دهید گرفتن مشتق است. و آیا اینکه با صورت کسر آغاز کنید، طبیعی تر است یا اینکه با مخرج آن آغاز کنید؟ مسلماً صورت کسر (در اینجا top). بنابراین قانون خارج قسمت با مشتق \(top\) آغاز می شود. اگر آن را به خاطر بسپارید، بقیۀ صورت کسر تقریباً به طور اتوماتیک انجام می شود. توجه کنید که قانون حاصلضرب با مشتق اولین تابعی که از چپ به راست می نویسید آغاز می شود. به شیوۀ مشابهی، قانون خارج قسمت با مشتق اولین تابعی که از بالا به پایین می نویسید آغاز می شود. بر روی این نکات تمرکز کنید و از امروز تا ده سال شما قانون خارج قسمت را به خاطر خواهید داشت ـــ اوه، مطمئناً.

بنابراین در اینجا مشتق \(y=\frac{\sin x}{x^4}\) را داریم:
$$
y'=\frac{(\sin x)' \cdot x^4 - \sin x \cdot (x^4)'}{(x^4)^2} \\
=\frac{x^4 \cos x - 4 x^3 \sin x}{x^8} \\
= \frac{x^3(x \cos x - 4 \sin x)}{x^8} \\
= \frac{x \cos x - 4 \sin x}{x^5}
$$
در ادامۀ این کتاب چگونگی پیدا کردن مشتق چهار تابع مثلثاتی دیگر ـــ تانژانت، کتانژانت، سکانت، و کسکانت ـــ با استفاده از قانون خارج قسمت را نیر به شما نشان خواهم داد. تمامی این چهار تابع می توانند به لحاظ سینوس و کسینوس نوشته شوند، آیا همینطور است؟ (فصل 6 را ببینید.) به عنوان مثال، \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) . اکنون، اگر شما مشتق \(\tan x\) را بخواهید، می توانند از قانون خارج قسمت استفاده کنید:
$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \\
(\tan x)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x} \\
= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} \\
=\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\
= \frac{1}{\cos^2 x} \\
= \sec^2 x
$$
(در بخشی از این عملیات از اتحاد فیثاغورثی استفاده شده است که بیان می دارد: \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) )

این روش در مقایسه با اینکه صرفاً بخواهید پاسخ را با استفاده از ابزارهای یادآور ارائه شده در همین فصل حفظ کنید نیاز به کار بیشتری دارد، اما خوب است بدانید که می توانید به عنوان آخرین پناهگاه به این روش متوسل گردید. سه تابع دیگر سختتر از این نیستند. آنها را نیز امتحان کنید.

قاعدۀ زنجیری (chain rule)


قاعدۀ زنجیری با فاصلۀ زیاد مهارت آمیزترین قانون مشتق گیری می باشد، اما اگر با دقت بر روی چندین نکتۀ مهم تمرکز کنید، واقعاً آنقدرها بد نیست. بیایید با مشتق گیری \(y=\sqrt{4x^3 - 5}\) کار را آغاز کنیم. در اینجا به این دلیل از قاعدۀ زنجیری استفاده می کنید که یک تابع مرکب (composite function) دارید، این تابع مرکب عبارت از تابع \((4x^3-5)\) می باشد که درون تابع دیگر (تابع جذر) قرار دارد.

چگونه یک تابع مرکب (composite function) را تشخیص دهیم: \(y=\sqrt{x}\) یک تابع مرکب نیست، زیرا آرگومانی (argument) از تابع جذر ـــ چیزی که جذر آن را می گیرید ـــ یک \(x\) ساده می باشد. هرگاه که آرگومان یک تابع هر چیزی به جز یک \(x\) ساده باشد، شما یک تابع مرکب دارید. مراقب باشید که یک تابع مرکب را از چیزی مانند \(y=\sqrt{x} \cdot \sin x\) ، که حاصلضرب دو تابع \(\sqrt{x}\) و \(\sin x\) می باشد که هر کدامشان صرفاً یک آرگومان \(x\) ساده دارند، تشخیص دهید.

اوکی، پس شما این تابع مرکب، \(y=\sqrt{4x^3 - 5}\) را دارید. در اینجا چگونگی مشتق گیری آن با استفاده از قاعدۀ زنجیری را می بینید:

  1. شما با تابع بیرونی، \(\sqrt{}\) ، آغاز می کنید، و آن را مشتق گیری می کنید، آنچه را که در داخل آن تابع قرار دارد، نادیده می گیرید. برای اطمینان حاصل کردن از اینکه چیزهای درونی را نادیده می گیرید، آنها را موقتاً با کلمۀ stuff (چیزها) جایگزین کنید.
    بنابراین به \(\sqrt{\text{stuff}}\) می رسید. اوکی، اکنون \(\sqrt{\text{stuff}}\) را به همان روشی که \(y=\sqrt{x}\) را مشتق گیری می کنید، مشتق گیری نمایید. از آنجا که \(y=\sqrt{x}\) با \(y=x^{\frac{1}{2}}\) یکسان است، قانون توان نتیجۀ \(y'=\frac{1}{2} x ^{-\frac{1}{2}}\) را به شما می دهد. بنابراین برای این مسأله، با \(y'=\frac{1}{2} \text{stuff} ^{-\frac{1}{2}}\) آغاز می کنید.

  2. نتیجۀ مرحلۀ 1 را در مشتق تابع درونی، \(\text{stuff}'\) ، ضرب کنید. $$y'=\frac{1}{2} \text{stuff} ^{-\frac{1}{2}} \cdot \text{stuff}'$$
    این را خوب ببینید. تمامی مسأله های قاعدۀ زنجیری این ایدۀ پایه ای را دنبال می کنند. شما این قاعدۀ مشتق را برای تابع بیرونی انجام می دهد، و چیزهای درونی (stuff) را نادیده می گیرید، سپس آن را در مشتق آن چیزها (stuff) ضرب می کنید.

  3. مشتق چیزهای دورنی (stuff) را بگیرید.
    چیزهای درونی (stuff) در این مسأله برابر با \(4x^3 - 5\) می باشند و مشتق آن بنابر قاعدۀ توان برابر با \(12x^2\) می باشد.

  4. اکنون stuff واقعی در مسأله و مشتق آن را به آنجایی که تعلق دارند، برگردانید. $$y'=\frac{1}{2} (4x^3-5) ^{-\frac{1}{2}} \cdot (12x^2)$$
  5. ساده کنید. $$y'=6x^2 (4x^3 - 5)^{-\frac{1}{2}}$$
    یا، اگر توان های منفی را به هر دلیل دوست ندارید:
    $$y'=\frac{6x^2}{(4x^3-5)^{\frac{1}{2}}}$$
    یا، اگر به هر دلیل توانهای کسری را دوست ندارید:
    $$y'=\frac{6x^2}{\sqrt{4x^3-5}}$$

بیایید، مشتق گیری تابع مرکب دیگری را امتحان کنیم:
$$y=\sin(x^2)$$
  1. تابع بیرونی یک تابع سینوس می باشد، بنابراین شما از آنجا کار را آغاز می کنید، مشتق سینوس را می گیرید و چیزهای درونی (stuff) را نادیده می گیرید. در اینجا stuff برابر با \(x^2\) است. مشتق \(\sin x\) برابر با \(\cos x\) است، بنابراین در این مسأله، شما اینگونه آغاز می کنید: $$\cos(\text{stuff})$$
  2. مشتق تابع بیرونی را در مشتق stuff ضرب می کنید. $$y'=\cos(\text{stuff}) \cdot \text{stuff}'$$
  3. در این مسأله stuff برابر با \(x^2 \) می باشد، بنابراین \(\text{stuff}'\) برابر با \(2x\) می باشد. هنگامی که این جملات را به پاسخ باز می گردانید، به نتایج زیر خواهید رسید: $$y'=\cos (x^2) \cdot 2x \\
    =2x \cos (x^2)
    $$
گاهی اوقات کشف اینکه کدام تابع درونی است می تواند اندکی مهارت آمیز باشد ـــ مخصوصاً زمانی که یک تابع درون تابع دیگری قرار داشته باشد و سپس هر دویِ آنها درون تابع سومی باشند (شما می توانید چهار یا تعداد بیشتری توابع تودرتو داشته باشد، اما به احتمال زیاد بیشترین تعدادی که خواهید دید، سه می باشد). در اینجا یک نکته داریم.

پرانتزها دوستان شما هستند. برای مسأله های قاعدۀ زنجیری، یک تابع مرکب را با مجموعه ای از پرانتزها که دور هر تابع درونی قرار گرفته اند، بازنویسی کنید، و هر تابع مثلثاتی مانند \(\sin^ x\) را با توانی که بیرون پرانتز قرار گرفته است بازنویسی کنید، اینگونه: \((\sin x)^2\) .

به عنوان مثال ـــ این مورد سخت است، برای مواجهه با آن آماده شوید ـــ مشتق تابع زیر را بگیرید:
$$y=\sin^3(5x^2 - 4x)$$
در ابتدا، تابع سینوس مکعب شده را بازنویسی کنید:
$$y=(\sin(5x^2 - 4x))^3$$
اکنون مشاهدۀ اینکه این توابع در چه ترتیبی تودرتو شده اند، آسان است. درونی ترین تابع، داخل درونی ترین پرانتزها می باشد ـــ آن \(5x^2-4x\) می باشد. سپس تابع سینوس داخل جفت پرانتز بعدی می باشد ـــ آن \(\sin(\text{stuff})\) است. در پایان تابع درجه سوم در بیرونی ترین قسمت همه چیز قرار دارد ـــ آن \(\text{stuff}^3\) می باشد. (از آنجا که من یک معلم ریاضی هستم، از نظر اخلاقی باید اشاره کنم که \(\text{stuff}\) در \(\text{stuff}^3\) با \(\text{stuff}\) در \(\sin(\text{stuff})\) متفاوتند. به لحاظ ریاضی نباید دو جملۀ متفاوت را با یک چیز یکسان نشان داد، اما نگران نباشید. من از جملۀ \(\text{stuff}\) صرفاً برای اشاره به آنچه که داخل یک تابع است، استفاده کرده ام.) اوکی، حالا که ترتیب این توابع را می دانید، می توانید آنها را از بیرون به درون، مشتق گیری کنید:

  1. بیرونی ترین تابع \(\text{stuff}^3\) می باشد و مشتق آن با قانون توان بدست می آید. $$3 \text{stuff}^2$$
  2. همانند تمامی مسأله های قاعدۀ زنجیری، شما آن را در \(\text{stuff}'\) ضرب می کنید. $$3 \text{stuff}^2 \cdot \text{stuff}'$$
  3. اکنون \(\text{stuff}\) ، \(\sin(5x^2-4x)\) ، را به جایی به آن تعلق دارد، برگردانید. $$3(\sin(5x^2-4x))^2 \cdot (\sin(5x^2-4x))'$$
  4. دوباره از قاعدۀ زنجیری استفاده کنید.
    شما نمی توانید این مسأله را صرفاً با گرفتن یک مشتق ساده به سرعت تمام کنید، زیرا باید تابع مرکب دیگری را مشتق گیری نمایید، \(\sin(5x^2-4x)\) . با تابع \(\sin(5x^2-4x)\) طوری برخورد کنید که گویی مسالۀ واقعی همین است و مشتق آن را بگیرید. مشتق \(\sin x\) برابر با \(\cos x\) می باشد، بنابراین مشتق \(\sin(\text{stuff})\) با \(\cos(\text{stuff})\) آغاز می شود. آن را در \(\text{stuff}'\) ضرب کنید. بدین ترتیب، مشتق \(\sin(\text{stuff})\) برابر است با:
    $$\cos(\text{stuff}) \cdot \text{stuff}'$$
  5. در این مرحله \(\text{stuff}\) برابر با \(5x^2-4x\) می باشد و مشتق آن برابر با \(10x-4\) می باشد. آن چیزها را دوباره جایگذاری کنید. $$\cos(5x^2-4x) \cdot (10x-4)$$
  6. اکنون که شما مشتق \(\sin(5x^2-4x)\) را بدست آورده اید، این نتایج را در نتایج بدست آمده از مرحلۀ 3 جایگذاری کنید. $$3(\sin(5x^2-4x))^2 \cdot \cos(5x^2-4x) \cdot (10x-4)$$
  7. این می تواند اندکی ساده شود. $$(30x-12) \sin^2(5x^2-4x) \cos(5x^2-4x)$$
به شما گفته بودم این مورد اندکی سخت است.

ممکن است برای شما رخ داده باشد که با عدم تعویض بین \(\text{stuff}\) ها، بتوانید در زمان صرفه جویی کنید. این درست است، اما برخی از افراد تمایل دارند تا از این تکنیک استفاده کنند زیرا آنها را مجبور می کند تا در هر مرحله از مسأله \(\text{stuff}\) را دست نخورده رها کنند. این یک نکتۀ بسیار مهم است.

مطمئن شوید که \(\text{stuff}\) را دستکاری نمی کنید.

مادامیکه این نکته را به خاطر داشته باشید، هنگام حل کردن یک مسالۀ قاعدۀ زنجیری، در واقع نیازی به استفاده از کلمۀ \(\text{stuff}\) ندارید. شما صرفاً باید اطمینان حاصل کنید که در هنگام مشتق گیری یک تابع بیرونی، تابع درونی را تغییر ندهید. فرض کنید می خواهید تابع \(f(x)=\ln (x^3)\) را مشتق گیری نمایید. آرگومان این تابع لگاریتم طبیعی برابر با \(x^3\) می باشد. در اولین گام حل این مسأله، که استفاده از قاعدۀ لگاریتم طبیعی می باشد، به آن دست نزنید: \(\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\) . این قانون به شما می گوید که آرگومان این تابع را در مخرج زیر عدد \(1\) قرار دهید. بنابراین بعد از اولین گام در مشتق گیری \(\ln (x^3)\)، شما به \(\frac{1}{x^3}\) می رسید. بعد از آن این مسأله را با ضرب کردن آن در مشتق \(x^3\) که برابر با \(3x^2\) می باشد، به پایان می رسانید. پاسخ نهایی بعد از ساده سازی \(\frac{3}{x}\) می باشد.

با قاعدۀ زنجیری، دو قاعدۀ مشتق گیری را هم زمان استفاده نکنید. روش دیگری برای مطمئن شدن از اینکه قاعدۀ زنجیری را بدرستی درک کرده اید، اینست که یادتان باشد هرگز بیش از یک قاعدۀ مشتق گیری را در یک زمان مورد استفاده قرار ندهید.

در مثال بالا، \(\ln(x^3)\) ، شما ابتدا از قاعدۀ لگاریتم طبیعی (natural log rule) استفاده می کنید، سپس به عنوان یک مرحلۀ جداگانه، از قاعدۀ توان (power rule) برای مشتق گیری \(x^3\) استفاده می کنید. تحت هیچ شرایطی در هر مسالۀ قاعدۀ زنجیری از دو قاعده به صورت همزمان استفاده نکنید. به عنوان مثال، در \(\ln(x^3)\) ، از قاعدۀ لگاریتم طبیعی و قاعدۀ توان به صورت همزمان استفاده نکنید تا به نتیجۀ اشتباه \(\frac{1}{3x^2}\) برسید.

قاعدۀ زنجیری (chain rule) (برای مشتق گیری از یک تابع مرکب):
اگر \(y=f(g(x))\)
سپس \(y'=f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
یا معادل آن:
اگر \(y=f(u)\) و \(u=g(x)\)
سپس \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\) (توجه کنید که چطور \(du\) ها با هم خط می خورند.)

یک مثال و یک نکتۀ دیگر. مشتق \(4x^2 \sin(x^3)\) را بگیرید. در این مسأله یک پیچیدگی جدید وجود دارد ـــ هم شامل قاعدۀ زنجیری و هم شامل قاعدۀ حاصلضرب می باشد. چطور باید آن را آغاز کنید؟

از کجا باید شروع کنم؟ اگر مطمئن نیستید که فرآیند مشتق گیری یک عبارت پیچیده را از کجا آغاز کنید، تصور کنید که عددی را در \(x\) جایگذاری کرده اید و سپس آن عبارت را در ماشین حسابتان به صورت هر مرحله در یک زمان، ارزیابی کنید. آخرین محاسبۀ شما، اولین کاری را که باید انجام دهید به شما می گوید.

فرض کنید عدد \(5\) را در \(x\) ها در عبارت \(4x^2 \sin(x^3)\) جایگذاری کرده اید. ابتدا \(4 \cdot 5^2\) را ارزیابی می کنید که برابر با \(100\) می شود؛ سپس بعد از بدست آوردن \(5^3=125\)، به سراغ \(\sin(125)\) می روید که در حدود \(-0.616\) می باشد. در پایان، \(100\) را در \(-0.616\) ضرب می کنید. از آنجا که آخرین محاسبۀ شما ضرب می باشد، اولین گام شما در مشتق گیری استفاده از قانون حاصلضرب (product rule) می باشد. (اگر به جای آن، آخرین محاسبۀ شما چیزی مانند \(\sin(125)\) باشد، در آن صورت عملیات مشتق گیری را با قاعدۀ زنجیری آغاز می کنید.) قانون حاصلضرب را که به خاطر دارید؟

قاعدۀ حاصلضرب (product rule):
اگر \(y=\text{this } \cdot \text{ that}\) ، سپس \(y'=\text{this}' \cdot \text{ that } + \text{ this } \cdot \text{ that}'\) .

بنابراین برای \(f(x)=4x^2 \sin(x^3)\) داریم:
$$f'(x)=(4x^2)' (\sin(x^3)) + (4x^2)(\sin(x^3))'$$
این مسأله را با بدست آوردن مشتق \(4x^2\) با قاعدۀ توان و مشتق \(\sin(x^3)\) با قاعدۀ زنجیری به پایان می بریم:
$$f'(x)=(8x) (\sin(x^3)) + (4x^2)(\cos(x^3) \cdot 3x^2)$$
و اکنون ساده سازی می کنیم:
$$f'(x)=8x \sin(x^3) + 12x^4 \cos(x^3)$$



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.