تمامی مسأله های مشتق گیری که در بخشهای پیشین این فصل ارائه شدند توابعی همچون \(y=x^2 + 5x\) یا \(y=\sin x\) بودند. در اینگونه موارد \(y\) صریحاً (explicitly) به عنوان تابعی از \(x\) نوشته می شود. این بدین معناست که معادلۀ مورد اشاره برای بدست آوردن \(y\) حل می شود؛ به عبارت دیگر، \(y\) به تنهایی، خودش یک سمت این معادله می باشد. (توجه کنید که \(y\) گاهی اوقات به شکل \(f(x)\) نوشته می شود، مانند \(f(x)=x^3-4x^2\)، اما یادتان باشد که این همان \(y=x^3-4x^2\) می باشد و این دو با هم یکسانند.)





با این وجود، گاهی اوقات از شما درخواست می شود تا معادله ای را مشتق گیری کنید که برای بدست آوردن \(y\) حل نمی شود، مانند \(y^5+3x^2 = \sin x - 4y^3\) . این معادله \(y\) را به صورت ضمنی (implicitly) به عنوان تابعی از \(x\) تعریف می کند، و شما نمی توانید آن را به شکل یک تابع صریح بنویسید زیرا نمی تواند برای بدست آوردن \(y\) حل شود. برای اینگونه مسأله ها، شما نیاز به مشتق گیری ضمنی (implicit differentiation) دارید. هنگامی که مشتق گیری را به صورت ضمنی انجام می دهید، تمامی قواعد مشتق گیری به همان شکل کار می کنند، فقط یک استثناء وجود دارد: هنگامی که جمله ای را که در آن یک \(y\) قرار دارد، مشتق گیری می کنید، از قاعدۀ زنجیری (chain rule) با اندکی پیچیدگی استفاده می کنید.

استفاده از قاعدۀ زنجیری برای مشتق گیری چیزی مانند \(\sin(x^3)\) با تکنیک stuff را به یاد دارید؟ مشتق سینوس، برابر با کسینوس می باشد، بنابراین مشتق \(\sin(\text{stuff})\) برابر با \(\cos(\text{stuff}) \cdot \text{stuff}' \) می باشد. شما این مسأله را با یافتن مشتق stuff که \(x^3\) است، به پایان می رسانید، که می شود \(3x^2\)، و سپس جایگذاری ها را انجام می دهید تا به نتیجۀ \(\cos(x^3) \cdot 3x^2\) برسید. در یک مشتق گیری ضمنی، یک \(y\) مانند کلمۀ stuff عمل می کند. بنابراین:
$$
(\sin(\text{stuff}))'=\cos(\text{stuff}) \cdot \text{stuff}' \\
(\sin y)' = \cos y \cdot y'
$$
پیچیدگی در اینجا اینست که در حالیکه کلمۀ stuff موقتاً جای برخی توابع معلوم (known) از \(x\) را می گیرد (مانند \(x^3\) در این مثال)، \(y\) یک تابع مجهول (unknown) از \(x\) است (شما نمی دانید که \(y\) به لحاظ \(x\) برابر با چه چیزی است). و از آنجا که شما نمی دانید \(y\) و \(y'\) برابر چه چیزی هستند ـــ برخلاف \(\text{stuff}\) و \(\text{stuff}'\) ـــ باید در پاسخ نهایی باقی بمانند. اما مفهوم دقیقاً یکسان است و شما با \(y\) درست مانند \(\text{stuff}\) رفتار می کنید. شما فقط در پایان مسأله نمی توانید \(x\) ها را جایگذاری کنید، مانند آنچیزی که در یک مسالۀ قاعدۀ زنجیری معمولی انجام می دادید.

مشتق گیری کنید:
$$y^5+3x^2=\sin x-4y^3$$

1. هر جمله در هر دو سمت این معادله را مشتق گیری کنید. $$y^5+3x^2=\sin x - 4y^3$$
   برای اولین جمله و آخرین جمله، شما از قانون توان استفاده می کنید، و از آنجا که این جملات شامل \(y\) ها می باشند، شما از قاعدۀ زنجیری نیز استفاده می کنید. برای دومین جمله، شما از قانون توان معمولی استفاده می کنید. برای جملۀ سوم، شما از قانون معمولی سینوس استفاده می کنید.
   $$5y^4 \cdot y' + 6x = \cos x - 12y^2 \cdot y'$$
   
2. تمامی جملات شامل \(y'\) را در سمت چپ این معادله جمع آوری کنید و سایر جملات را به سمت راست ببرید. $$5y^4 \cdot y' + 12y^2 \cdot y' = \cos x - 6x$$
   
3. \(y'\) را فاکتور بگیرید. $$y'(5y^4+12y^2) = \cos x - 6x$$
   
4. برای رسیدن به پاسخ نهایی، تقسیم را انجام دهید. $$y'=\frac{\cos x - 6x}{5y^4 + 12y^2}$$
   

توجه داشته باشید که این مشتق، برخلاف سایر مشتق گیری هایی که تاکنون انجام داده اید، به جای \(x\) به لحاظ \(x\) و \(y\) بیان شده است. بنابراین، اگر بخواهید این مشتق را ارزیابی کنید تا شیب را در یک نقطۀ خاص بدست آورید، به هر دو مقدار \(x\) و \(y\) برای جایگذاری در این مشتق نیاز دارید.

همچنین توجه داشته باشید که در بسیاری از کتابهای درسی، نماد \(\frac{dy}{dx}\) به جای \(y'\) در هر مرحله از راه حل مورد استفاده قرار می گیرد. من احساس کردم که استفاده از \(y'\) بهتر است و کمتر دست و پاگیر است. اما \(\frac{dy}{dx}\) این مزیت را دارد که به شما یادآوری می کند مشغول یافتن مشتق یک \(y\) با توجه به \(x\) می باشید. هر کدام از این دو روش خوب است. انتخاب خودتان را داشته باشید.