یافتن مشتق دوم، سوم، چهارم، یا بالاتر، به طور باورنکردنی ساده می باشد. مشتق دوم یک تابع صرفاً مشتقِ مشتق اول آن است. مشتق سوم برابر با مشتقِ مشتق دوم می باشد، مشتق چهارم برابر با مشتقِ مشتق سوم آن می باشد، و به همین ترتیب. به عنوان مثال، در اینجا یک تابع و مشتق های اول، دوم، سوم، و مشتق های بعدی آن را داریم. در این مثال، تمامی مشتق ها با قانون توان (power rule) بدست آمده اند:


$$


f(x)=x^4-5x^2+12x-3 \\
f'(x)=4x^3-10x+12 \\
f''(x)=12x^2-10 \\
f'''(x)=24x \\
f^{(4)}(x)=24 \\
f^{(5)}(x)=0 \\
f^{(6)}(x)=0 \\
\text{etc.}=0 \\
\text{etc.}=0
$$

تمامی توابع چندجمله ای (polynomial functions) مانند این، در صورتیکه آنها را مکرراً مشتق گیری نمایید، در نهایت به سمت صفر می روند. از سوی دیگر، توابع گویا مانند \(f(x)=\frac{x^2-5}{x+8}\)، همینطور که مشتق های بالا و بالاتر آن را می گیرید، آشفته و آشفته تر می گردند. و مشتق های بالاتر از توابع سینوس و کسینوس به صورت چرخه ای می باشند. به عنوان مثال:
$$
y=\sin x \\
y'=\cos x\\
y''=-\sin x\\
y'''=-\cos x \\
y^{(4)}=\sin x
$$
این چرخه با هر مضربی از چهار، به طور نامحدود تکرار می شود.

در فصل های 11 و 12 چندین کاربرد از مشتق های بالاتر (higher derivatives) را به شما نشان می دهم ـــ عمدتاً مشتق های دوم. (در اینجا یک پیش نمایش دزدکی داریم: اولین مشتق از موقعیت برابر با سرعت (velocity) و دومین مشتق برابر با شتاب (acceleration) می باشد.) اما فعلاً، اجازه دهید فقط یکی از مفاهیم اصلی را به صورت خلاصه به شما بگویم. اولین مشتق، همانطور که خودتان هم می دانید، به شما می گوید که یک تابع با چه سرعتی تغییر می کند ـــ با چه سرعتی رو به بالا یا پایین می رود ـــ این شیب آن است. مشتق دوم به شما می گوید که مشتق اول با چه سرعتی تغییر می کند ـــ یا بعبارت دیگر، این شیب با چه سرعتی تغییر می کند. مشتق سوم به شما می گوید که مشتق دوم با چه سرعتی تغییر می کند، که بیان می دارد نرخ تغییر شیب آن با چه سرعتی تغییر می کند. اگر در این پیچ و خم اندکی گیج شدید، نگران نباشید، ـــ خود من هم گیج شدم. درک اینکه مشتق های بالاتر چه می گویند، بعد از عبور از مشتق دوم، به صورت افزایشی دشوارتر می گردد، زیرا شما با یک نرخ تغییر آغاز می کنید، سپس به نرخ تغییرِ نرخ تغییرِ نرخ تغییرِ و ... می رسید.