یافتن مساحت دقیق با انتگرال معین

با داشتن تمامی مقدمات ضروری لازم، سرانجام شما آماده اید که به سمت تعیین مساحت های دقیق حرکت کنید ـــ که اصل موضوع انتگرال گیری می باشد. برای انجام تمامی تقریب هایی که انجام دادید نیازی به حسابان ندارید.

همانطور که در مستطیل های راست، چپ، و نقطۀ میانی دیدید، هرچقدر مستطیل بیشتری استفاده کنید، تقریب بهتری خواهید داشت. بنابراین، برای بدست آوردن مساحت دقیق زیر یک منحنی تمام کاری که باید انجام دهید اینست که از بی نهایت مستطیل استفاده کنید. اکنون، شما در واقع نمی توانید این کار را انجام دهید، اما با اختراع فانتزی حدها، این کار به نوعی چیزی است که اتفاق می افتد. در اینجا تعریف انتگرال معین (definite integral) که برای محاسبۀ مساحت دقیق مورد استفاده قرار می گیرد را داریم.

تعریف سادۀ انتگرال معین (definite integral): مساحت دقیق زیر یک منحنی بین $x=a$ و $x=b$ با انتگرال معین بدست می آید، که به شکل حد یک جمع ریمان (Riemann sum) تعریف می شود:
$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \biggl[ f(x_i) \cdot \frac{b-a}{n} \biggr]$$

جمع بندی (summation) بالا (هر چیزی در سمت راست $\lim$) با فرمول $n$ مستطیل راست، $R_n$، که چند صفحه قبل به شما ارائه کردم، یکسان است. تنها تفاوت در اینجا اینست که شما حد آن فرمول را برای تعداد مستطیل هایی که به بی نهایت $(\infty)$ نزدیک می شوند، بدست می آورید.

این تعریف از انتگرال معین (definite integral) یک نسخۀ ساده مبتنی بر فرمول مستطیل راست می باشد. من تعریف اصلی را بعداً به شما می دهم، اما از آنجا که تمامی جمع های ریمان (Riemann sums) برای یک مسالۀ خاص دارای حد یکسانی می باشند ـــ به عبارت دیگر، اهمیتی ندارد که از کدام نوع مستطیل ها استفاده کنید ـــ شما ممکن است بخواهید از تعریف مستطیل راست استفاده کنید. آن دارای حداقل پیچیدگی است و همیشه کفایت می کند.

در اینجا بالاخره به مساحت دقیق زیر $f(x)=x^2+1$ بین $x=0$ و $x=3$ می رسیم:
$$\int_0^3 (x^2+1)dx)= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \biggl[ f(x_i) \cdot \frac{b-a}{n} \biggr] \\
=\lim_{n \to \infty} \biggl( 12+\frac{27}{2n}+\frac{9}{2n^2} \biggr)
$$
اگر در مورد اینکه عبارت داخل پرانتز از کجا آمده است ابهامی دارید، آموزش قبلی در همین فصل را ببینید:

نماد جمع بندی (Summation Notation)

$$= 12+\frac{27}{2 \cdot \infty}+\frac{9}{2 \cdot \infty^2} \\
= 12+\frac{27}{\infty}+\frac{9}{\infty} \\
= 12 + 0 + 0 \\
= 12$$
(یادتان باشد که در یک مسالۀ حد، هر عددی تقسیم بر بی نهایت برابر با صفر می شود.)

اگر در موردش فکر کنید این نتیجه بسیار حیرت آور می باشد. با استفاده از فرآیند حد شما به پاسخ دقیق $12$ ـــ چیزی شبیه $12.0000000000...$ با بی نهایت رقم اعشاری ـــ برای مساحت تابع منحنی $f(x)=x^2+1$ می رسید، و در این مسیر از مساحت های مستطیل های باریکی که در امتداد این منحنی به شیوه ای اره مانند و دندانه وار به صف شده اند، استفاده می کنید. اجازه دهید حدس بزنم ـــ قدرت محض زیبایی ریاضیات اشک را در چشمان شما جاری کرده است.

یافتن مساحت دقیق $12$ با استفاده از حد جمع ریمان کار زیادی می برد (یادتان باشد، شما در ابتدا باید فرمول $n$ مستطیل راست را تعیین کنید). این روش پیچیدۀ انتگرال گیری با تعیین مشتق با روش سختِ مبتنی بر تعریف رسمی آن که بر اساس خارج قسمت تفاضلی (difference quotient) است، قابل مقایسه می باشد (فصل 9 را ببینید). همانطور که شما استفاده از تعریف رسمی مشتق را بعد از فراگیری میانبرهای مشتق گیری متوقف کردید، بعد ار اینکه روش های میانبر ارائه شده در فصل های 15 و 16 را یاد گرفتید، نیازی به استفاده از تعریف رسمی انتگرال معین که مبتنی بر جمع ریمان می باشد نخواهید داشت.

از آنجا که حد تمامی جمع های ریمان یکسان هستند، حدهای $n$ مستطیل چپ و $n$ مستطیل نقطۀ میانی در بی نهایت ـــ برای $f(x)=x^2+1$ بین $x=0$ و $x=3$ ـــ باید نتایج یکسانی را با حد $n$ مستطیل راست در بی نهایت به ما بدهد. عبارتهای بعد از نمادهای حد زیر، فرمول های $n$ مستطیل چپ و $n$ مستطیل نقطۀ میانی می باشند که در انتهای بخش پیشین همین فصل ظاهر شدند. در اینجا حد مستطیل چپ را می بینید:
$$
\int_0^3 (x^2+1)dx = L_{\infty} = \lim_{n \to \infty} \biggl( 12+\frac{27}{2n}+\frac{9}{2n^2} \biggr) \\
=12+\frac{27}{2 \cdot \infty}+\frac{9}{2 \cdot \infty^2} \\
=12-\frac{27}{\infty}+\frac{9}{\infty} \\
= 12 - 0 + 0 \\
=12
$$
و در اینجا حد مستطیل میانه را داریم:
$$\int_0^3 (x^2+1)dx = M_{\infty} = \lim_{n \to \infty} \biggl( 12-\frac{9}{4 n^2} \biggr) \\
=12-\frac{9}{4 \cdot \infty^2} \\
= 12 - \frac{9}{\infty} \\
= 12-0 \\
=12$$
اگر قدری دیرباور هستید که آیا واقعاً این حدها مساحت دقیق زیر $f(x)=x^2+1$ بین $0$ و $3$ را به شما می دهند، شما تنها نیستید. از این گذشته، در این حدها، همانند همۀ مسأله های حد، عدد فلش (arrow-number) که در این مثال برابر با $\infty$ است، صرفاً نزدیک شدن (approached) است؛ آن هرگز به صورت واقعی نمی رسد. و علاوه بر آن، معنای رسیدن به بی نهایت چیست؟ شما نمی توانید آن کار را انجام دهید. و صرفنظر از اینکه چند مستطیل دارید، همیشه آن لبۀ دندانه دار اره ای شکل را خواهید داشت. پس، چگونه چنین روشی می تواند مساحت دقیق را به شما بدهد؟

اینگونه به آن نگاه کنید. شما از روی شکل های 4-14 و 5-14 می توانید بگویید که جمع مساحت های مستطیل های چپ، صرفنظر از تعدادشان، همواره یک تخمین کم (underestimate) خواهد بود (این در مورد توابعی که در محدودۀ سوال افزایش می یابند، برقرار است). و از روی شکل 6-14 می توانید ببینید که جمع مساحت های مستطیل های راست، صرفنظر از اینکه چند تا از آنها دارید، همواره یک تخمین زیاد (overestimate) خواهند بود (برای توابع در حال افزایش). بنابراین، از آنجا که حدها در بی نهایت برای تخمین کم و تخمین زیاد هر دو برابر با $12$ هستند، آن باید مساحت دقیق باشد. (یک استدلال مشابه برای توابع در حال کاهش نیز درست جواب می دهد.)

تمامی جمع های ریمان (Riemann sums) برای یک مسالۀ معین دارای حد یکسانی می باشند. نه تنها حدها در بی نهایت برای مستطیل های چپ، راست، و نقطۀ میانی در یک مسالۀ معین یکسان هستند، حد هر جمع ریمان نیز پاسخ یکسانی را به شما می دهد. شما می توانید یک سری از مستطیل ها با عرض نابرابر داشته باشید؛ شما می توانید ترکیبی از مستطیل های چپ، راست، و نقطۀ میانی داشته باشید؛ یا می توانید مستطل ها را طوری بسازید که منحنی را در جایی غیر از گوشه های بالا و چپ، بالا و راست، و یا بالا و نقطۀ میانی، لمس کنند. تنها چیزی که در اینجا حائز اهمیت است، اینستکه در آن حد، عرض تمامی مستطیل ها تمایل به صفر دارند (و از روی این نتیجه می شود که تعداد این مستطیل ها به بی نهایت نزدیک می شوند). این ما را به انتگرال نه چندان خوشایند زیر می رساند که تمامی این احتمالات را به حساب آورده است.

تعریف انتگرال معین (تعریف اصلی): انتگرال معین از $x=a$ تا $x=b$، یعنی $\int_a^b f(x)dx$، عددی است که در آن تمامی جمع های ریمان به آن تمایل دارند، همینطور که عرض تمامی مستطیل ها تمایل به صفر دارند، و تعداد مستطیل ها به بی نهایت نزدیک می شوند:
$$\int_a^b f(x)dx= \lim_{\max \triangle x_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(c_i)\triangle x_i$$
در این فرمول $\triangle x_i$ عرض $i$امین مثلث و $c_i$ مختصات $x$ نقطه ای می باشد که مثلث $i$ام منحنی $f(x)$ را در آن لمس می کند. $\max \triangle{x_i} \to 0$ به سادگی تضمین می کند که عرض تمامی این مستطیل ها به صفر نزدیک شود و اینکه تعداد مستطیل ها به بی نهایت نزدیک شوند.

آموزش قبلی صفحۀ اصلی دوره آموزش بعدی