خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


انتگرال گیری جزء به جزء (Integration by Parts)

انتگرال گیری جزء به جزء (Integration by Parts)
نویسنده : امیر انصاری
من تصور می کنم، ضرری نداشته باشد که از زمینه چینی های نظری که در فصل 15 به طور اغراق آمیزی به آنها پرداختم، به شما یک استراحت بدهم، بنابراین این فصل به اصل مطلب می پردازد و به جای پرداختن به نظریه ها و ایده ها به حقایق کاربردی در مورد چندین تکنیک انتگرال گیری می پردازد. در فصل 15، شما سه روش انتگرال گیری ساده را دیدید: قواعد معکوس (reverse rules)، روش حدس و درست آزمایی (guess-and-check method)، و جایگزینی (substitution). اکنون شما چهار تکنیک پیشرفته را می آموزید: انتگرال گیری جزء به جزء (integration by parts)، انتگرال های مثلثاتی (trigonometric integrals)، جایگزینی های مثلثاتی (trigonometric substitution)، و کسرهای جزئی (partial fractions). آیا آماده اید؟

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



انتگرال گیری جزء به جزء: تقسیم و غلبه


انتگرال گیری جزء به جزء، نسخۀ انتگرال گیری از قاعدۀ حاصلضرب (product rule) برای مشتق گیری می باشد. در این مورد حرف من را قبول کنید. ایدۀ اصلی انتگرال گیری جزء به جزء اینست که انتگرالی را که نمی توانید انجام دهید به یک حاصلضرب ساده منهای انتگرالی که می توانید انجام دهید، تبدیل کنید. در اینجا فرمولش را می بینید:

فرمول انتگرال گیری جزء به جزء: $$\int udv=uv - \int vdu$$

و در اینجا یک یادآور ذهنی برای آن داریم: در دو تکۀ اول ، \(\int udv\) و \(uv\)، حروف \(u\) و \(v\) در ترتیب الفبایی می باشند. اگر آن را به خاطر بیاورید، می توانید بیاد بیاورید که انتگرال موجود در سمت راست همان انتگرال سمت چپ است، با این استثناء که جای \(u\) و \(v\) با هم عوض شده است.

هنوز سعی نکنید که این فرمول را درک کنید. بزودی نحوۀ کارکرد آن را خواهید دید. و در مورد درک اولین مثال زیر تا زمانیکه به انتهای آن برسید، نگران نباشید. فرآیند انتگرال گیری جزء به جزء در اولین مرتبه ای که وارد آن می شوید، ممکن است اندکی پیچیده به نظر آید، بنابراین شما باید صبور باشید. بعد از اینکه چندین مسأله را با آن مدیریت کردید، خواهید دید که آنقدرها هم بد نیست.

جعبۀ انتگرال گیری جزء به جزء: فرمول انتگرال گیری جزء به جزء شامل چهار چیز است: \(u\)، \(v\)، \(du\)، و \(dv\). برای اینکه همه چیز شفاف و واضح باشد، مسأله هایتان را با جعبه ای مشابه جعبه ای که در شکل 1-16 می بینید سازماندهی کنید.
انتگرال گیری جزء به جزء (Integration by Parts)
به عنوان اولین مسالۀ مان، بیایید \(\int \sqrt{x} \ln(x) dx\) را انجام دهیم. فرمول انتگرال گیری جزء به جزء این انتگرال را که شما نمی توانید مستقیماً انجام دهید، به یک حاصلضرب ساده منهای انتگرالی تبدیل می کند که شما چگونگی انجام آن را می دانید. ابتدا، شما باید این انتگراند (تابع زیر انتگرال) را به دو تکه تقسیم کنید ـــ یک تکه به \(u\) و تکۀ دیگر به \(dv\) تبدیل می شود که شما در سمت چپ فرمول می بینید. در این مسأله، \(\ln(x)\) تکۀ \(u\) شما می شود. سپس هر چیز دیگری، یعنی \(\sqrt{x}dx\)، تکۀ \(dv\) می گردد. (در بخش بعدی به شما نشان می دهم، چگونه تصمیم بگیرید که چه چیزی در تکۀ \(u\) قرار می گیرد؛ سپس، هر چیزی که باقی می ماند، به صورت اتوماتیک تکۀ \(dv\) می گردد.) بعد از بازنویسی انتگراند بالا، سمت چپ فرمول شما به شکل زیر در می آید:

انتگرال گیری جزء به جزء (Integration by Parts)
حالا زمان انجام چیز جعبه ای است. برای هر مسالۀ جدید، شما باید یک جعبۀ خالی دارای چهار مربع بسازید، سپس \(u\)تان را (در این مسأله \(\ln(x)\)) در مربع بالا و سمت چپ قرار دهید، و \(dv\)تان را (در این مسأله \(\sqrt{x}dx\)) در مربع پایین و سمت راست قرار دهید. شکل 2-16 را ببینید.

انتگرال گیری جزء به جزء (Integration by Parts)
سپس، \(u\) را مشتق گیری می کنید تا \(du\)تان را بدست آورید، و \(dv\) را انتگرال گیری می کنید تا به \(v\)تان برسید. این فلش ها در شکل 2-16 به شما یادآوری می کنند که در سمت چپ مشتق گیری و در سمت راست انتگرال گیری کنید. اینگونه فکر کنید که مشتق گیری ـــ چیز ساده تر ـــ پایین می رود (مانند پایین رفتن از سرازیری)، و انتگرال گیری ـــ چیز سخت تر ـــ بالا می رود (مانند بالا رفتن در سربالایی).

اکنون این جعبه را کامل کنید:
$$
u=\ln(x) \\
\frac{du}{dx} = \frac{1}{x} \\
du = \frac{1}{x}dx
$$
$$
dv=\sqrt{x} dx \\
\int dv=\int \sqrt{x}dx\\
v=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}}
$$
(این انتگرال با معکوس قانون توان بدست آمده است؛ توجه کنید که شما \(C\) را از قلم انداخته اید.)

شکل 3-16 جعبۀ کامل شده را نشان می دهد.

انتگرال گیری جزء به جزء (Integration by Parts)
شما همچنین می توانید از این جعبۀ چهار مربعی برای کمک به یادآوری سمت راست فرمول انتگرال گیری جزء به جزء استفاده کنید: از مربع بالا و سمت چپ آغاز کنید و یک عدد \(7\) بکشید (یا صرفاً تجسم کنید) که مستقیم رو به سمت راست می رود، سپس به صورت مورب به سمت پایین و چپ می رود. شکل 4-16 را ببینید.

انتگرال گیری جزء به جزء (Integration by Parts)
به یاد داشته باشید چگونه این \(7\) را ترسیم می کنید، به شکل 3-16 بازگردید. سمت راست فرمول انتگرال گیری جزء به جزء به شما می گوید که بخش بالای این \(7\) را انجام دهید، یعنی \(\ln(7) \cdot \frac{2}{3} x ^{\frac{3}{2}}\) منهای انتگرال بخش مورب این \(7\)، یعنی \(\int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x}dx\). در ضمن، انجام دادن تمام اینها از توضیح دادنشان ساده تر است. امتحان کنید. شما خواهید دید که چگونه این طرح جعبۀ چهار مربعی به شما کمک می کند این فرمول را بیاموزید و این مسأله ها را سازماندهی کنید.

برای خاتمه دادن به کار آماده اید؟ همه چیز را در این فرمول جایگذاری کنید:
$$
\int udv = uv - \int vdu \\
\int \sqrt{x} \ln(x) dx = \ln(x) \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{x} dx \\
= \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \ln(x) - \frac{2}{3} \int x^{\frac{1}{2}} dx \\
= \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \ln(x) - \frac{2}{3} \bigl( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C \bigr)
$$
(در انتگرال گیری از معکوس قاعدۀ توان استفاده شده است.)
$$
=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \ln(x) - \frac{4}{9}x^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} C \\
= \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \ln(x) - \frac{4}{9} x^{\frac{3}{2}} + C \text{ ,or } \\
= \frac{2}{3} \sqrt{x^3} \ln(x) - \frac{4}{9} \sqrt{x^3} + C
$$
در مرحلۀ آخر، شما \(-\frac{2}{3}C\) را با \(C\) جایگزین کرده اید، \(-\frac{2}{3}\) ضربدر هر عدد معمولی هنوز هم صرفاً یک عدد معمولی می باشد.

چگونگی انتخاب \(u\)


در اینجا یک ابزار حفظ کردنی عالی در مورد چگونگی انتخاب تکۀ \(u\) داریم (دوباره یاد آوری می کنم، هنگامی که \(u\)تان را انتخاب کردید، هرچیز دیگر به صورت اتوماتیک تکۀ \(dv\) می گردد).

یادآور LIATE: این یادآور ذهنی توسط ریاضیدانی با نام هربرت ای کاسوب (Herbert E. Kasube) ارائه شده است تا در انتخاب تکۀ \(u\) به شما کمک کند:
$$
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
& \text{Meaning} & \text{Example}\\\hline
\text{L} & \text{Logarithmic} & (\log(x)) \\ \hline
\text{I} & \text{Inverse trigonometric} & (\arctan(x)) \\ \hline
\text{A} & \text{Algebraic} & (5x^2+3) \\ \hline
\text{T} & \text{Trigonometric} & (\cos(x)) \\ \hline
\text{E} & \text{Exponential} & (10^x) \\ \hline
\end{array}
$$
ترجمۀ مخفف ها:
Meaning: معنا
Example: مثال
Logarithmic: لگاریتمی
Inverse trigonometric: معکوس مثلثاتی
Algebraic: جبری
Trigonometric: مثلثاتی
Exponential: نمایی

برای انتخاب تکۀ \(u\)تان، در این لیست به ترتیب رو به پایین بروید؛ اولین نوع تابعی که در این لیست وجود دارد و در انتگراند شما ظاهر شده باشد، تکۀ \(u\) می باشد.

برای اینکه این یادآور ذهنی (LIATE) را بخاطر بیاورید می توانید از جملۀ جالب زیر استفاده کنید:

Lilliputians In Africa Tackle Elephants

یادداشت مترجم: معنای این جمله اینست: "اهالی لی لی پوت در آفریقا با فیل ها گلاویز شدند." لی لی پوت اشاره به آن آدم کوچولوها دارد که در کارتون معروف گالیور بودند.

در اینجا مثالی داریم. انتگرال زیر را بدست آورید:
$$\int \arctan(x) dx$$
(توجه داشته باشید که گاهی اوقات انتگرال گیری جزء به جزء برای انتگراند هایی مشابه این مورد که شامل یک تابع واحد می باشند، درست کار می کند.)

  1. لیست LIATE را از بالا به پایین بروید و \(u\) را انتخاب کنید.
    شما می بینید که هیچ تابع لگاریتمی (logarithmic) در \(\arctan(x)dx\) نیست، اما در آن یک تابع مثلثاتی معکوس (inverse trigonometric) وجود دارد، \(\arctan(x)\). بنابراین آن \(u\) شما می باشد. هر چیز دیگر \(dv\) شما می باشد، یعنی، \(dx\).

  2. کارهای مربوط به جعبه را انجام دهید.
    شکل 5-16 را ببینید (برای مشتق \(\arctan(x)\) جدول 2-15 را ببینید).

    انتگرال گیری جزء به جزء (Integration by Parts)
  3. همه چیز را در فرمول انتگرال گیری جزء به جزء جایگذاری کنید یا فقط آن 7 فرضی را در جعبۀ سمت راست از شکل 5-16 ترسیم کنید. $$
    \int udv = uv - \int vdu \\
    \int \arctan(x)dx=x \arctan(x) - \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} dx
    $$
    حالا می توانید با انتگرال گیریِ \(\int x \cdot \frac{1}{1+x^2}dx\) با روش جایگزینی، به \(u=1+x^2\) برسید. خودتان امتحان کنید (برای اطلاعات بیشتر در مورد روش جایگزینی فصل 15 را ببینید). توجه داشته باشید که این \(u\) در \(u=1+x^2\) هیچ ارتباطی با آن \(u\) موجود در انتگرال گیری جزء به جزء ندارد. پاسخ نهایی شما این خواهد بود:
    $$\int \arctan(x)dx= x \arctan(x)-\frac{1}{2} \ln(1+x^2)+C$$
در اینجا مثال دیگری داریم. انتگرال زیر را بدست آورید:
$$\int x \sin(3x)dx$$

  1. لیست LIATE را از بالا به پایین مرور کنید و \(u\) را انتخاب کنید.
    در لیست LIATE از بالا تا پایین پیش بروید، اولین نوع تابعی که در \(x \sin(3x)dx\) می یابید یک تابع بسیار سادۀ جبری می باشد، یعنی \(x\)، بنابراین آن \(u\) شما می باشد. هر چیز دیگری \(dv\) می باشد.

  2. کارهای جعبه را انجام دهید.
    شکل 6-16 را ببینید.

    انتگرال گیری جزء به جزء (Integration by Parts)
  3. همه چیز را در فرمول انتگرال گیری جزء به جزء جایگذاری کنید یا یک \(7\) خیالی بر روی جعبۀ سمت راست در شکل 6-16 تصور کنید. $$
    \int udv=uv - \int vdu \\
    \int x \sin(3x)dx = -\frac{1}{3}x \cos (3x) - \int -\frac{1}{3} \cos(3x)dx \\
    =-\frac{1}{3} x \cos(3x)+\frac{1}{3} \int \cos(3x)dx
    $$
    شما به سادگی می توانید \(\cos(3x)dx\) را با روش جایگزینی یا با روش حدس و درست آزمایی، انتگرال گیری کنید. هر کاری که لازم است انجام دهید. پاسخ نهایی شما اینست:
    $$-\frac{1}{3}x\cos(3x)+\frac{1}{9} \sin(3x)+C$$

انتگرال گیری جزء به جزء: مرتبۀ دوم، مشابه بار اول


گاهی اوقات شما مجبورید روش انتگرال گیری جزء به جزء را بیش از یکبار استفاده کنید، زیرا اولین اجرای این روش شما را فقط تا بخشی از مسیر رسیدن به پاسخ پیش می برد. در اینجا مثالی داریم. انتگرال زیر را بیابید:
$$\int x^2 e^x dx$$
  1. لیست LIATE را پیمایش کنید و \(u\) را انتخاب کنید.
    \(x^2e^x dx\) شامل یک تابع جبری، \(x^2\)، و یک تابع نمایی، \(e^x\)، می باشد (دلیل نمایی بودن این تابع اینست که یک \(x\) در توان آن قرار دارد). اولین مورد در لیست LIATE، برابر با \(x^2\) می باشد، بنابراین آن \(u\) شما می باشد.

  2. کارهای مربوط به جعبه را انجام دهید.
    شکل 7-16 را ببینید.

    انتگرال گیری جزء به جزء (Integration by Parts)
  3. از فرمول انتگرال گیری جزء به جزء یا از یادآور ذهنی 7 استفاده کنید. $$
    \int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int e^x \cdot 2x \text{ } dx\\
    =x^2 e^x - 2 \int x e^x \text{ } dx
    $$
    در نهایت با انتگرال دیگری، \(\int x e^x dx\)، مواجه می شوید، که نمی تواند با هیچکدام از این روش های ساده ـــ قوانین معکوس، حدس زدن و درست آزمایی، و جایگزینی ـــ انجام شود. اما توجه داشته باشید که توان \(x\) از \(2\) به \(1\) کاهش یافته است، بنابراین شما قدری پیشرفت داشته اید. هنگامیکه از انتگرال گیری جزء به جزء دوباره برای \(\int x e^x dx\) استفاده کنید، \(x\) کلاً ناپدید می شود و شما کار را تمام کرده اید. بزن بریم:

  4. انتگرال گیری جزء به جزء را دوباره انجام دهید.
    من به شما اجازه می دهم بیشتر این کار را خودتان انجام دهید. مرحلۀ نهایی این خواهد بود:
    $$\int x e^x dx=xe^x - \int e^x dx \\
    = xe^x - e^x + C$$
  5. نتایج مرحلۀ 4 را بگیرید و آن را جایگزین \(\int xe^x dx\) در مرحلۀ 3 کنید تا کل کار را انجام دهید. $$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2 (xe^x - e^x + C) \\
    =x^2 e^x - 2 xe^x + 2e^x - 2C \\
    = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$$



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.