خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
روش واشر (Washer Method)
تنها تفاوت بین روش واشر (washer method) و روش دیسک (disk method) اینست که در روش واشر هر برش دارای حفره ای در میانش می باشد که شما باید آن را تفریق کنید. هیچ چیز خاص دیگری در موردش وجود ندارد.
بفرمایید. مساحت محدود شده توسط \(y=x^2\) و \(y=\sqrt{x}\) را بدست آورید، و با گرداندن آن مساحت پیرامون محور \(x\) یک شکل سه بعدی تولید کنید. شکل 7-17 را ببینید.
حجم این شکل کاسه مانند چیست؟
بفرمایید. مساحت محدود شده توسط \(y=x^2\) و \(y=\sqrt{x}\) را بدست آورید، و با گرداندن آن مساحت پیرامون محور \(x\) یک شکل سه بعدی تولید کنید. شکل 7-17 را ببینید.
حجم این شکل کاسه مانند چیست؟
-
محل تقاطع این دو منحنی را تعیین کنید.
ممکن است اندکی آزمون و خطا ببرد تا بدانید که \(y=x^2\) و \(y=\sqrt{x}\) در \(x=0\) و \(x=1\) همدیگر را قطع می کنند. بنابراین شکل سه بعدی موجود در این مسأله این بازه را بر روی محور \(x\) از \(0\) تا \(1\) می گستراند.
-
مساحت سطح مقطع (cross-sectional area) از یک واشر نمایندۀ (representative washer) باریک را محاسبه کنید.
هر برش دارای شکل واشر می باشد ـــ شکل 8-17 را ببینید ـــ بنابراین مساحت سطح مقطع آن برابر با مساحت کل دایره منهای مساحت حفره می باشد.
مساحت این دایره منهای حفره برابر با \(\pi R^2 - \pi r^2\) می باشد، که در آن \(R\) شعاع بیرونی (شعاع بزرگتر) و \(r\) شعاع حفره (شعاع کوچکتر) می باشد. در این مسأله، شعاع بیرونی برابر با \(\sqrt{x}\) و شعاع حفره برابر با \(x^2\) می باشد، و نتیجۀ زیر را به شما می دهند:
$$A=\pi \biggl( \sqrt{x} \biggr)^2 - \pi (x^2)^2 \\
= \pi x - \pi x^4$$
-
این مساحت را در ضخامت، \(dx\)، ضرب کنید، تا حجم یک واشر نماینده را بدست آورید.
$$\text{Volume}=(\pi x-\pi x^4)dx$$
-
حجم های این واشرهای باریکتر از کاغذ را از \(0\) تا \(1\) با استفاده از انتگرال گیری، با یکدیگر جمع بزنید.
$$\text{Volume} = \int_0^1 (\pi x - \pi x^4)dx \\
= \pi \int_0^1 (x-x^4) dx \\
=\pi \biggl[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5 \biggr]_0^1 \\
= \pi \biggl[ \biggl( \frac{1}{2}-\frac{1}{5} \biggr) - (0-0) \biggr] \\
= \frac{3}{10} \pi \\
\approx 0.94 \text{ cubic units}$$
مساحت برابر با دایرۀ بزرگ منهای دایرۀ کوچک است. بر روی این حقیقت ساده تمرکز کنید که مساحت یک واشر برابر با مساحت کل دیسک، \(\pi R^2\)، منهای مساحت حفره، \(\pi r^2\)، می باشد: بنابراین، \(\text{Area}=\pi R^2 - \pi r^2\). هنگامی که انتگرال گیری می کنید، \(\int_a^b (\pi R^2 - \pi r^2)dx\) را بدست می آورید. اگر \(\pi\) را فاکتور بگیرید و آن را به بیرون انتگرال منتقل کنید، به \(\pi \int_a^b (R^2 - r^2)dx\) می رسید، که فرمولی است که در بیشتر کتابها داده شده است. اما اگر این فرمول را صرفاً با تکرار کردن حفظ کنید، ممکن است فراموشش کنید. اگر مفهوم سادۀ دایرۀ بزرگ منهای دایرۀ کوچک را به خاطر بسپرید احتمال اینکه فرمول را بیاد بیاورید بیشتر است.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: