خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


روش واشر (Washer Method)

روش واشر (Washer Method)
نویسنده : امیر انصاری
تنها تفاوت بین روش واشر (washer method) و روش دیسک (disk method) اینست که در روش واشر هر برش دارای حفره ای در میانش می باشد که شما باید آن را تفریق کنید. هیچ چیز خاص دیگری در موردش وجود ندارد.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



بفرمایید. مساحت محدود شده توسط \(y=x^2\) و \(y=\sqrt{x}\) را بدست آورید، و با گرداندن آن مساحت پیرامون محور \(x\) یک شکل سه بعدی تولید کنید. شکل 7-17 را ببینید.

روش واشر (Washer Method)
حجم این شکل کاسه مانند چیست؟

  1. محل تقاطع این دو منحنی را تعیین کنید.
    ممکن است اندکی آزمون و خطا ببرد تا بدانید که \(y=x^2\) و \(y=\sqrt{x}\) در \(x=0\) و \(x=1\) همدیگر را قطع می کنند. بنابراین شکل سه بعدی موجود در این مسأله این بازه را بر روی محور \(x\) از \(0\) تا \(1\) می گستراند.

  2. مساحت سطح مقطع (cross-sectional area) از یک واشر نمایندۀ (representative washer) باریک را محاسبه کنید.
    هر برش دارای شکل واشر می باشد ـــ شکل 8-17 را ببینید ـــ بنابراین مساحت سطح مقطع آن برابر با مساحت کل دایره منهای مساحت حفره می باشد.

    روش واشر (Washer Method)
    مساحت این دایره منهای حفره برابر با \(\pi R^2 - \pi r^2\) می باشد، که در آن \(R\) شعاع بیرونی (شعاع بزرگتر) و \(r\) شعاع حفره (شعاع کوچکتر) می باشد. در این مسأله، شعاع بیرونی برابر با \(\sqrt{x}\) و شعاع حفره برابر با \(x^2\) می باشد، و نتیجۀ زیر را به شما می دهند:
    $$A=\pi \biggl( \sqrt{x} \biggr)^2 - \pi (x^2)^2 \\
    = \pi x - \pi x^4$$
  3. این مساحت را در ضخامت، \(dx\)، ضرب کنید، تا حجم یک واشر نماینده را بدست آورید. $$\text{Volume}=(\pi x-\pi x^4)dx$$
  4. حجم های این واشرهای باریکتر از کاغذ را از \(0\) تا \(1\) با استفاده از انتگرال گیری، با یکدیگر جمع بزنید. $$\text{Volume} = \int_0^1 (\pi x - \pi x^4)dx \\
    = \pi \int_0^1 (x-x^4) dx \\
    =\pi \biggl[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{5}x^5 \biggr]_0^1 \\
    = \pi \biggl[ \biggl( \frac{1}{2}-\frac{1}{5} \biggr) - (0-0) \biggr] \\
    = \frac{3}{10} \pi \\
    \approx 0.94 \text{ cubic units}$$
مساحت برابر با دایرۀ بزرگ منهای دایرۀ کوچک است. بر روی این حقیقت ساده تمرکز کنید که مساحت یک واشر برابر با مساحت کل دیسک، \(\pi R^2\)، منهای مساحت حفره، \(\pi r^2\)، می باشد: بنابراین، \(\text{Area}=\pi R^2 - \pi r^2\). هنگامی که انتگرال گیری می کنید، \(\int_a^b (\pi R^2 - \pi r^2)dx\) را بدست می آورید. اگر \(\pi\) را فاکتور بگیرید و آن را به بیرون انتگرال منتقل کنید، به \(\pi \int_a^b (R^2 - r^2)dx\) می رسید، که فرمولی است که در بیشتر کتابها داده شده است. اما اگر این فرمول را صرفاً با تکرار کردن حفظ کنید، ممکن است فراموشش کنید. اگر مفهوم سادۀ دایرۀ بزرگ منهای دایرۀ کوچک را به خاطر بسپرید احتمال اینکه فرمول را بیاد بیاورید بیشتر است.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.