پاسخنامه هندسه

نویسنده : امیر انصاری

در اینجا پاسخ تمریناتی را داریم که به موضوع هندسه می پردازند. برای مشاهدۀ خود سوالات اینجا کلیک کنید.

مساحت مثلثی که قاعدۀ آن \(7\) سانتیمتر و ارتفاع آن \(4\) سانتیمتر است، چقدر است؟
\(14\) سانتیمتر مربع.
\(A=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2} \cdot 7 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 14 \text{ cm}^2\)
مساحت مثلثی با قاعدۀ \(10\) کیلومتر و ارتفاع \(17\) کیلومتر را بیابید؟
\(85\) کیلومتر مربع.
\(A=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2} \cdot 10 \text{ km} \cdot 17 \text{ km} = 85 \text{ km}^2\)
مساحت مثلثی با قاعدۀ \(2\) فوت و ارتفاع \(33\) اینچ را بیابید؟
\(396\) اینچ مربع.
ابتدا واحد فوت را به اینچ تبدیل کنید. هر فوت برابر با \(12\) اینچ است: \(2 \text{ ft.} = 24 \text{ in.}\)
اکنون مساحت مثلث را در واحد اینچ بدست می آوریم:
\(A=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2} \cdot 24 \text{ in.} \cdot 33 \text{ in.}=396 \text{ in.}^2\)
وتر مثلث قائم الزاویه ای که دو ساق آن \(3\) مایل و \(4\) مایل می باشند را بیابید؟
\(5\) مایل.
از قضیۀ فیثاغورث برای حل کردن این مسأله استفاده می کنیم:
\(a^2 + b^2 = c^2 \\
3^2 + 4^2 = c^2 \\
9+16=c^2 \\
25=c^2\)
هنگامی که \(c\) را در خودش ضرب کنید، نتیجه \(25\) می شود، بنابراین:
\(c=5 \text{ mi.}\)
وتر مثلث قائم الزاویه ای که دو ساق آن \(5\) میلیمتر و \(12\) میلیمتر می باشند، چقدر است؟
\(13\) میلیمتر.
\(a^2+b^2=c^2\\
5^2+12^2=c^2\\
25+144=c^2\\
169=c^2\)
هنگامی که \(c\) را در خودش ضرب کنید نتیجه \(169\) می شود. پاسخ \(13\) می باشد، زیرا \(13^2=169\) .
وتر مثلث قائم الزاویه ای را محاسبه کنید که دو ساق آن \(8\) فوت و \(15\) فوت می باشند؟
\(17\) فوت.
\(a^2+b^2=c^2\\
8^2+15^2=c^2\\
64+225=c^2\\
289=c^2\\
17=c\)
مساحت و محیط مربعی با یک ضلع به اندازۀ \(9\) مایل چقدر می باشند؟
مساحت این مربع \(81\) مایل مربع و محیط آن \(36\) مایل می باشد.
\(A=s^2=(9 \text{ mi.})^2=81 \text{ mi.}^2 \\
P=4 \cdot s=4 \cdot 9 \text{ mi.}=36 \text{ mi.}\)
مساحت و محیط مربعی با ضلع \(31\) سانتیمتر را بیابید.
مساحت این مربع \(961\) سانتیمتر مربع و محیط آن \(124\) سانتیمتر می باشد.
\(A=s^2=(31 \text{ cm})^2=961 \text{ cm}^2\\
P=4s=4 \cdot 31 \text{ cm}=124 \text{ cm}\)
مساحت و محیط مستطیلی با طول \(10\) اینچ و عرض \(5\) اینچ را بیابید.
مساحت این مستطیل \(50\) اینچ مربع و محیط آن \(30\) اینچ است.
\(A=l \cdot w=10 \text{ in.} \cdot 5 \text{ in.} = 50 \text{ in.}^2\\
P = 2 · (l + w) = 2 · (10 \text{ in.} + 5 \text{ in.}) = 30 \text{ in.}\)
مساحت و محیط مستطیلی که دارای طول \(23\) کیلومتر و عرض \(19\) کیلومتر می باشد را تعیین کنید.
مساحت این مستطیل \(437\) کیلومتر مربع و محیط آن \(84\) کیلومتر می باشد.
مساحت یک لوزی با قاعدۀ \(9\) متر و ارتفاع \(6\) متر چقدر است؟
\(54\) متر مربع.
\(A=b \cdot h=9 \text{ m} \cdot 6 \text{ m} = 54 \text{ m}^2\)
مساحت یک متوازی الاضلاع با قاعدۀ \(17\) یارد و ارتفاع \(13\) یارد را بدست آورید.
\(221\) یارد مربع.
\(A = b · h = 17 \text{ yd.} · 13 \text{ yd.} = 221 \text{ yd.}^2\)
مساحت ذوزنقه ای با قاعدهای \(6\) فوت و \(8\) فوت و ارتفاع \(5\) فوت را بیابید.
\(35\) فوت مربع.
\(A = \frac{1}{2} · (b1 + b2) · h\\
= \frac{1}{2} · (6 \text{ ft.} + 8 \text{ ft.}) · 5 \text{ ft.}\\
= \frac{1}{2} · 14 \text{ ft.} · 5 \text{ ft.}\\
= 35 \text{ ft.}^2\)
مساحت ذوزنقه ای که قاعده های آن \(15\) میلیمتر و \(35\) میلیمتر اند و ارتفاعش \(21\) میلیمتر است، چقدر است؟
\(525\) میلیمتر مربع.
مساحت و محیط تقریبی دایره ای با شعاع \(3\) کیلومتر، چقدر است؟
مساحت تقریبی این دایره \(28.26\) کیلومتر مربع و محیط تقریبی آن \(18.84\) کیلومتر می باشد.
\(A = \pi · r^2\\
≈ 3.14 · (3 \text{ km})^2\\
= 3.14 · 9 \text{ km}^2\\
= 28.26 \text{ km}\)

\(C = 2 \pi · r \\
≈ 2 · 3.14 · 3 \text{ km}\\
= 18.84 \text{ km}\)
مساحت و محیط تقریبی دایره ای که شعاع آن \(12\) یارد است را محاسبه کنید.
مساحت تقریبی این دایره \(452.16\) یارد مربع و محیط تقریبی آن \(75.36\) یارد می باشد.
مساحت و محیط تقریبی دایره ای با قطر \(52\) سانتیمتر را بنویسید.
مساحت تقریبی این دایره \(2,122.64 \) سانتیمتر مربع و محیط تقریبی آن \(163.28\) سانتیمتر می باشد.
نکته: در این مسأله قطر دایره داده شده است و از آنجا که شعاع نصف قطر می باشد، شعاع این دایره \(26\) سانتیمتر است.
مساحت و محیط تقریبی دایره ای با قطر \(86\) اینچ را بیابید.
مساحت تقریبی این دایره \(5,805.86\) اینچ مربع و محیط تقریبی آن \(270.04\) اینچ می باشد.
حجم مکعب مربعی که یک ضلع آن \(19\) متر است را بیابید.
\(6,859\) متر مکعب.
\(V = s^3 = (19 \text{ m})^3 = 6,859 \text{ m}^3\)
حجم جعبه ای را که طول آن \(18\) سانتیمتر، عرض آن \(14\) سانتیمتر، و ارتفاع آن \(10\) سانتیمتر است، بیابید.
\(2,520\) سانتیمتر مکعب.
\(V = l · w · h\\
= 18 \text{ cm} · 14 \text{ cm} · 10 \text{ cm} = 2,520 \text{ cm}^3\)
حجم تقریبی یک استوانه که قاعدۀ آن دارای شعاع \(7\) میلیمتر و ارتفاعش \(16\) میلیمتر است، بدست آورید.
حجم تقریبی این استوانه \(2,461.76\) میلیمتر مکعب می باشد.
ابتدا با استفاده از فرمول مساحت دایره، مساحت قاعدۀ این استوانه را بدست می آوریم و سپس آن را در ارتفاع ضرب می کنیم:
\(A_b = π · r^2\\
≈ 3.14 · (7 \text{ mm})^2\\
= 3.14 · 49 \text{ mm}^2\\
= 153.86 \text{ mm}^2\)

\(V = A_b · h\\
= 153.86 \text{ mm}^2 · 16 \text{ mm} = 2,461.76 \text{ mm}^3\)
حجم تقریبی یک مخروط که قاعدۀ آن دارای شعاع \(3\) اینچ و ارتفاعش برابر با \(8\) اینچ است، بیابید.
حجم تقریبی این مخروط \(75.36\) اینچ مکعب می باشد.
\(A_b = π · r^2\\
≈ 3.14 · (3 \text{ in.})^2\\
= 3.14 · 9 \text{ in.}^2\\
= 28.26 \text{ in.}^2\)

\(V = \frac{1}{3} · A_b · h\\
= \frac{1}{3} · 28.26 \text{ in.}^2 · 8 \text{ in.} = 75.36 \text{ in.}^3\)