خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
توابع تعریف شده به صورت قطعه به قطعه (Piecewise-Defined Functions)
گاهی اوقات یک تابع با استفاده از فرمول های مختلف در بخش های مختلف از دامنه اش، در قطعاتی (pieces) توصیف می شود. یک مثال از آن تابع قدر مطلق (absolute value function) می باشد.
$$|x|=
\begin{cases}
x, x \ge 0 \text{ First formula} \\[2ex]
-x, x \lt 0 \text{ Second formula} \\[2ex]
\end{cases}$$
نمودار این تابع در شکل \(\text{1.8}\) نمایش داده شده است. سمت راست معادله بدین معناست که این تابع در صورتی که \(x \ge 0\) برابر با \(x\) است، و در صورتی که \(x \le 0\) برابر با \(-x\) است. توابع تعریف شده به صورت قطعه به قطعه (Piecewise-defined functions) اغلب زمانی پدیدار می شوند که داده های دنیای واقعی مُدل سازی می گردند. در اینجا چند مثال دیگر داریم.
مثال 4 تابع زیر در کل خط حقیقی تعریف می شود اما دارای مقادیری است که بسته به موقعیت \(x\)، با فرمول های مختلف بدست آمده اند.
$$f(x)=
\begin{cases}
-x, x \lt 0 \text{ First formula} \\[2ex]
x^2, 0 \le x \le 1 \text{ Second formula} \\[2ex]
1, x \gt 1 \text{ Third formula} \\[2ex]
\end{cases}$$
هنگامی که \(x \lt 0\)، مقادیری از \(f\) توسط \(y=-x\) بدست می آیند، هنگامیکه \(0 \le x \le 1\)، با \(y=x^2\)، و هنگامیکه \(x \gt 1\)، با \(y=1\). با این حال، این تابع تنها یک تابع است که دامنۀ آن کل مجموعۀ اعداد حقیقی می باشند (شکل \(\text{1.9}\)).
مثال 5 تابعی که مقدار آن در هر عدد \(x\) بزرگترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی با \(x\) باشد، تابع بزرگترین عدد صحیح (greatest integer function)، یا تابع جزء صحیح نامیده می شود، همچنین به آن تابع کف عدد صحیح (integer floor function) نیز گفته می شود. این تابع را با \(\lfloor x \rfloor\) نشان می دهند. شکل \(\text{1.10}\) این نمودار را نشان می دهد. آن را مشاهده کنید.
$$\lfloor 2.4 \rfloor = 2 , \lfloor 1.9 \rfloor=1, \lfloor 0 \rfloor=0, \lfloor -1.2 \rfloor=-2,\\[2ex]
\lfloor 2 \rfloor = 2, \lfloor 0.2 \rfloor= 0, \lfloor -0.3 \rfloor=-1, \lfloor -2 \rfloor =-2 $$
مثال 6 تابعی که مقدار آن در هر عدد \(x\) کوچکترین عدد صحیح، بزرگتر یا برابر با \(x\) است، تابع کوچکترین عدد صحیح (least integer function) یا تابع سقف عدد صحیح (integer ceiling function) نامیده می شود. این تابع با \(\lceil x \rceil\) نشان داده می شود. شکل \(\text{1.11}\) نمودار آن را نشان می دهد. برای مقادیر مثبت از \(x\)، این تابع می تواند نمایش داده شود، به عنوان مثال، هزینۀ پارک کردن \(x\) ساعت در یک پارکینگ که به ازاء هر ساعت یا بخشی از یک ساعت \(1$\) شارژ می کند.
$$|x|=
\begin{cases}
x, x \ge 0 \text{ First formula} \\[2ex]
-x, x \lt 0 \text{ Second formula} \\[2ex]
\end{cases}$$
نمودار این تابع در شکل \(\text{1.8}\) نمایش داده شده است. سمت راست معادله بدین معناست که این تابع در صورتی که \(x \ge 0\) برابر با \(x\) است، و در صورتی که \(x \le 0\) برابر با \(-x\) است. توابع تعریف شده به صورت قطعه به قطعه (Piecewise-defined functions) اغلب زمانی پدیدار می شوند که داده های دنیای واقعی مُدل سازی می گردند. در اینجا چند مثال دیگر داریم.
مثال 4 تابع زیر در کل خط حقیقی تعریف می شود اما دارای مقادیری است که بسته به موقعیت \(x\)، با فرمول های مختلف بدست آمده اند.
$$f(x)=
\begin{cases}
-x, x \lt 0 \text{ First formula} \\[2ex]
x^2, 0 \le x \le 1 \text{ Second formula} \\[2ex]
1, x \gt 1 \text{ Third formula} \\[2ex]
\end{cases}$$
هنگامی که \(x \lt 0\)، مقادیری از \(f\) توسط \(y=-x\) بدست می آیند، هنگامیکه \(0 \le x \le 1\)، با \(y=x^2\)، و هنگامیکه \(x \gt 1\)، با \(y=1\). با این حال، این تابع تنها یک تابع است که دامنۀ آن کل مجموعۀ اعداد حقیقی می باشند (شکل \(\text{1.9}\)).
مثال 5 تابعی که مقدار آن در هر عدد \(x\) بزرگترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی با \(x\) باشد، تابع بزرگترین عدد صحیح (greatest integer function)، یا تابع جزء صحیح نامیده می شود، همچنین به آن تابع کف عدد صحیح (integer floor function) نیز گفته می شود. این تابع را با \(\lfloor x \rfloor\) نشان می دهند. شکل \(\text{1.10}\) این نمودار را نشان می دهد. آن را مشاهده کنید.
$$\lfloor 2.4 \rfloor = 2 , \lfloor 1.9 \rfloor=1, \lfloor 0 \rfloor=0, \lfloor -1.2 \rfloor=-2,\\[2ex]
\lfloor 2 \rfloor = 2, \lfloor 0.2 \rfloor= 0, \lfloor -0.3 \rfloor=-1, \lfloor -2 \rfloor =-2 $$
مثال 6 تابعی که مقدار آن در هر عدد \(x\) کوچکترین عدد صحیح، بزرگتر یا برابر با \(x\) است، تابع کوچکترین عدد صحیح (least integer function) یا تابع سقف عدد صحیح (integer ceiling function) نامیده می شود. این تابع با \(\lceil x \rceil\) نشان داده می شود. شکل \(\text{1.11}\) نمودار آن را نشان می دهد. برای مقادیر مثبت از \(x\)، این تابع می تواند نمایش داده شود، به عنوان مثال، هزینۀ پارک کردن \(x\) ساعت در یک پارکینگ که به ازاء هر ساعت یا بخشی از یک ساعت \(1$\) شارژ می کند.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: