خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را
توابع زوج و توابع فرد: تقارن (Even Functions and Odd Functions: Symmetry)
نمودارهای توابع زوج (Even Functions) و توابع فرد (Odd Functions) دارای ویژگی های تقارنِ (symmetry properties) مشخصی می باشند.
اسامی زوج و فرد از توانهای \(x\) می آیند. اگر \(y\) توان زوجی از \(x\) باشد، مانند \(y=x^2\) یا \(y=x^4\)، تابع زوجی از \(x\) می باشد، زیرا \((-x)^2=x^2\) و \((-x)^4=x^4\). اگر \(y\) توان فردی از \(x\) باشد، مانند \(y=x\) یا \(y=x^3\)، یک تابع فرد از \(x\) می باشد، زیرا \((-x)^1=-x\) و \((-x)^3=-x^3\).
نمودار یک تابع زوج حول محور \(y\) متقارن (symmetric) می باشد. از آنجا که در \(f(-x)=f(x)\)، یک نقطۀ \((x,y)\) بر روی نمودار قرار می گیرد، اگر و فقط اگر نقطۀ \((-x,y)\) بر روی آن نمودار قرار بگیرد (شکل \(\text{1.12a}\)). یک بازتاب از این سو به آن سوی محور \(y\) نمودار را بدون تغییر می گذارد.
نمودار یک تابع فرد حول مبدأ مختصات (origin) متقارن می باشد. از آنجا که در \(f(-x)=-f(x)\)، یک نقطۀ \((x,y)\) بر روی نمودار قرار می گیرد، اگر و فقط اگر \((-x,-y)\) بر روی آن نمودار قرار بگیرد (شکل \(\text{1.12b}\)). به طور معادلی، یک نمودار حول مبدأ متقارن است اگر یک دَوَران \(180^{\circ}\) پیرامون مبدأ، نمودار را بدون تغییر رها کند. توجه داشته باشید که این تعاریف این مفهوم را می رسانند که هر دوی \(x\) و \(-x\) باید در دامنۀ \(f\) باشند.
مثال 8 در اینجا چند تابع داریم که این تعاریف را نشان می دهند.
تعاریف: یک تابع \(y=f(x)\) یک
-
تابع زوج از \(x\) است اگر به ازاء هر \(x\) در دامنۀ این تابع \(f(-x)=f(x)\) باشد.
-
تابع فرد است اگر به ازاء هر \(x\) در دامنۀ این تابع \(f(-x)=-f(x)\) باشد.
اسامی زوج و فرد از توانهای \(x\) می آیند. اگر \(y\) توان زوجی از \(x\) باشد، مانند \(y=x^2\) یا \(y=x^4\)، تابع زوجی از \(x\) می باشد، زیرا \((-x)^2=x^2\) و \((-x)^4=x^4\). اگر \(y\) توان فردی از \(x\) باشد، مانند \(y=x\) یا \(y=x^3\)، یک تابع فرد از \(x\) می باشد، زیرا \((-x)^1=-x\) و \((-x)^3=-x^3\).
نمودار یک تابع زوج حول محور \(y\) متقارن (symmetric) می باشد. از آنجا که در \(f(-x)=f(x)\)، یک نقطۀ \((x,y)\) بر روی نمودار قرار می گیرد، اگر و فقط اگر نقطۀ \((-x,y)\) بر روی آن نمودار قرار بگیرد (شکل \(\text{1.12a}\)). یک بازتاب از این سو به آن سوی محور \(y\) نمودار را بدون تغییر می گذارد.
نمودار یک تابع فرد حول مبدأ مختصات (origin) متقارن می باشد. از آنجا که در \(f(-x)=-f(x)\)، یک نقطۀ \((x,y)\) بر روی نمودار قرار می گیرد، اگر و فقط اگر \((-x,-y)\) بر روی آن نمودار قرار بگیرد (شکل \(\text{1.12b}\)). به طور معادلی، یک نمودار حول مبدأ متقارن است اگر یک دَوَران \(180^{\circ}\) پیرامون مبدأ، نمودار را بدون تغییر رها کند. توجه داشته باشید که این تعاریف این مفهوم را می رسانند که هر دوی \(x\) و \(-x\) باید در دامنۀ \(f\) باشند.
مثال 8 در اینجا چند تابع داریم که این تعاریف را نشان می دهند.
-
\(f(x)=x^2\) تابع زوج: \((-x^2)=x^2\) برای تمامی \(x\) ها؛ متقارن پیرامون محور \(y\).
-
\(f(x)=x^2+1\) تابع زوج: \((-x)^2+1=x^2+1\) برای تمامی \(x\) ها؛ متقارن پیرامون محور \(y\) (شکل \(\text{1.13a}\)).
-
\(f(x)=x\) تابع فرد: \((-x)=-x\) برای تمامی \(x\) ها؛ متقارن پیرامون مبدأ مختصات.
-
\(f(x)=x+1\) نه زوج و نه فرد.
-
زوج نیست: \(f(-x)=-x+1\) اما \(-f(x)=-x-1\). این دو برابر نیستند.
-
زوج نیست: \((-x)+1 \ne x+1\) برای تمامی \(x \ne 0\) ها (شکل \(\text{1.13b}\)).
-
زوج نیست: \(f(-x)=-x+1\) اما \(-f(x)=-x-1\). این دو برابر نیستند.
لیست دوره های آموزش ریاضی در سایت خوش آموز
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
- دوره آموزشی رایگان ریاضی پایه و پیش جبر
- تمرینات دوره آموزشی ریاضی پایه و پیش جبر
- دوره آموزشی رایگان جبر 1
- دوره آموزشی رایگان جبر 2
- دوره آموزشی رایگان هندسه
- دوره آموزشی رایگان مثلثات
- دوره آموزشی رایگان پیش حسابان 1
- دوره آموزشی رایگان حسابان 1
- آموزش رایگان حسابان پیشرفته
برای مشاهدۀ همۀ دوره های ریاضی اینجا کلیک کنید.
نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)
دیدگاه خود را ثبت کنید: