تمرینات توابع

در اینجا به تمرینات مرتبط با مبحث توابع (Functions) می پردازیم. هر چند در ادامه پاسخ تمرینات نیز آمده است اما شدیداً توصیه می کنیم ابتدا تلاش خود را برای حل تمرینات انجام دهید و سپس پاسخ هایتان را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید.

در تمرینات $\text{1-6}$، دامنه (domain) و بُرد (range) هر تابع را بیابید.

$$f(x)=1+x^2$$
$$f(x)=1-\sqrt{x}$$
$$F(x)=\sqrt{5x+10}$$
$$g(x)=\sqrt{x^2-3x}$$
$$f(t)=\frac{4}{3-t}$$
$$G(t)=\frac{2}{t^2-16}$$

در تمرینات $7$ و $8$، کدام نمودارها، نمودارهای توابعی از $x$ می باشند، و کدام ها نمی باشند؟ دلایل پاسخ هایتان را نیز ذکر کنید.

پاسخ تمرینات

$$\text{domain}=(-\infty,\infty); \text{range}=[1,\infty]$$
برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
$$\text{domain}= [0,\infty) ; \text{range}= (-\infty,1]$$
برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
$$\text{domain}= [-2,\infty) ; \text{range}= [0,\infty)$$
$y=\sqrt{5x+10} \ge 0$ $\Leftarrow$ $y$ می تواند هر عدد حقیقی مثبت باشد $\Leftarrow$ $\text{range}=[0,\infty)$

برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
$$\text{domain}= (-\infty,0] \cup [3,\infty) ; \text{range}= [0,\infty)$$
$y=\sqrt{x^2-3x} \ge 0$ $\Leftarrow$ $y$ می تواند هر عدد حقیقی مثبت باشد $\Leftarrow$ $\text{range}= [0,\infty)$

برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
$$\text{domain}=(-\infty,3) \cup (3,\infty) ; \text{range}= (-\infty,0) \cup (0,\infty)$$
$y=\frac{4}{3-t}$، حالا اگر $t \lt 3$ $\Leftarrow$ $3-t \gt 0$ $\Leftarrow$ $\frac{4}{3-t} \gt 0$، یا اگر $t \gt 3$ $\Leftarrow$ $3-t \lt 0$ $\Leftarrow$ $\frac{4}{3-t} \lt 0$ $\Leftarrow$ $y$ می تواند هر عدد حقیقی غیرصفر باشد $\Leftarrow$ $\text{range}= (-\infty,0) \cup (0,\infty)$

برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
$$\text{domain}= (-\infty,-4) \cup (-4,4) \cup (4,\infty); \text{range}= (-\infty,-\frac{1}{8}) \cup (0,\infty)$$
$y=\frac{2}{t^2-16}$، حالا اگر $t \lt -4$ $\Leftarrow$ $t^2-16 \gt 0$ $\Leftarrow$ $\frac{2}{t^2-16} \gt 0$ ، یا اگر $-4 \lt t \lt 4$ $\Leftarrow$ $-16 \le t^2-16 \lt 0$ $\Leftarrow$ $-\frac{2}{16} \ge \frac{2}{t^2-16}$، یا اگر $t \gt 4$ $\Leftarrow$ $t^2-16 \gt 0$ $\Leftarrow$ $\frac{2}{t^2-16} \gt 0$ $\Leftarrow$ $y$ می تواند هر عدد حقیقی غیرصفر باشد $\Leftarrow$ $\text{range}= (-\infty,-\frac{1}{8}] \cup (0,\infty)$

برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
1. نمودار تابعی از $x$ نمی باشد، به این دلیل که در تست خط عمودی (vertical line test) شکست می خورد.
2. نمودار تابعی از $x$ می باشد، زیرا هر خط عمودی این نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع می کند.
برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.
1. نمودار تابعی از $x$ نمی باشد، به این دلیل که در تست خط عمودی شکست می خورد.
2. نمودار تابعی از $x$ نمی باشد، به این دلیل که در تست خط عمودی شکست می خورد.