خوش آموز درخت تو گر بار دانش بگیرد، به زیر آوری چرخ نیلوفری را


تمرینات یافتن فرمول برای توابع

تمرینات یافتن فرمول برای توابع
نویسنده : امیر انصاری
در اینجا به تمرینات مرتبط با مبحث یافتن فرمول برای توابع (Finding Formulas for Functions) می پردازیم. هر چند در ادامه پاسخ تمرینات نیز آمده است اما شدیداً توصیه می کنیم ابتدا تلاش خود را برای حل تمرینات انجام دهید و سپس پاسخ هایتان را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید.

سیستم یکپارچۀ سازمانی راهکار



  1. مساحت (area) و محیط (perimeter) یک مثلث متساوی الاضلاع (equilateral triangle) را به شکل تابعی از طول ضلع این مثلث (\(x\)) بیان کنید.

  2. طول ضلع یک مربع را به شکل تابعی از طول قطر (diagonal) آن مربع (\(d\)) بیان کنید. سپس مساحت آن را به شکل تابعی از طول قطرش بیان کنید.

  3. طول لبۀ یک مکعب مربع (cube) را به شکل تابعی از طول قطر آن مکعب مربع (\(d\)) بیان کنید. سپس مساحت رویه (surface area) و حجم (volume) آن مکعب مربع را به شکل تابعی از طول قطرش بیان کنید.

  4. یک نقطۀ \(P\) در رُبع صفحۀ اول (first quadrant) بر روی نمودارِ تابع \(f(x)=\sqrt{x}\) قرار گرفته است. مختصات \(P\) را به شکل تابعی از شیب (slope) خطی که \(P\) را به مبدأ مختصات (origin) متصل می کند، بیان کنید.

  5. نقطۀ \((x,y)\) را که بر روی نمودار خط \(2x+4y=5\) قرار گرفته است، در نظر بگیرید. در نظر بگیرید \(L\) مسافت بین نقطۀ \((x,y)\) تا مبدأ مختصات \((0,0)\) می باشد. \(L\) را به شکل تابعی از \(x\) بنویسید.

  6. نقطۀ \((x,y)\) را که بر روی نمودار \(y=\sqrt{x-3}\) قرار گرفته است، در نظر بگیرید. اجازه دهید \(L\) مسافت بین \((x,y)\) و \((4,0)\) باشد. \(L\) را به شکل تابعی از \(y\) بنویسید.

پاسخ تمرینات


  1. \(\text{base}=x; (\text{height})^2 + \biggl( \frac{x}{2} \biggr)^2=x^2 \Rightarrow \text{height}=\frac{\sqrt{3}}{2}x;\)
    مساحت برابر است با \(a(x)=\frac{1}{2}(\text{base})(\text{height})=\frac{1}{2}x \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2}x \biggr) = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2;\)
    محیط (perimeter) برابر است با \(p(x)=x+x+x=3x\)

    برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.

  2. \(s=\text{side length} \Rightarrow s^2+s^2=d^2 \Rightarrow s=\frac{d}{\sqrt{2}}\)
    و مساحت برابر است با \(a=s^2 \Rightarrow a=\frac{1}{2}d^2\)

    برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.

  3. اجازه دهید \(D\) برابر با طول قطر یکی از وجه های مکعب و \(l\) طول یک لبه باشد. سپس \(l^2+D^2=d^2\) و \(D^2=2l^2\) \(\Leftarrow\) \(3l^2=d^2\) \(\Leftarrow\) \(l=\frac{d}{\sqrt{3}}\) . مساحت رویه برابر است با \(6l^2=\frac{6d^2}{3}=2d^2\) و حجم برابر است با \(l^3=\biggl( \frac{d^2}{3} \biggr)^{\frac{3}{2}}=\frac{d^3}{3\sqrt{3}}\)

    برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.

  4. مختصات \(P\) برابر با \(\biggl( x,\sqrt{x} \biggr)\) است، بنابراین شیب خطی که \(P\) را به مبدأ مختصات متصل می کند برابر با \(m=\frac{\sqrt{x}}{x}=\frac{1}{\sqrt{x}} (x \gt 0)\). بنابراین \(\biggl( x,\sqrt{x} \biggr)=\biggl( \frac{1}{m^2},\frac{1}{m} \biggr)\)

    برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.

  5. $$2x+4y=5 \Rightarrow y=-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}; \\
    L=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=\sqrt{x^2+(-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4})^2}\\
    =\sqrt{x^2+\frac{1}{4}x^2-\frac{5}{4}x+\frac{25}{16}}=\sqrt{\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{4}x+\frac{25}{16}}\\
    =\sqrt{\frac{20x^2-20x+25}{16}}=\frac{\sqrt{20x^2-20x+25}}{4}$$

    برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.

  6. $$y=\sqrt{x-3} \Rightarrow y^2+3=x;\\
    L=\sqrt{(x-4)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(y^2+3-4)^2+y^2}=\sqrt{(y^2-1)^2+y^2}\\
    =\sqrt{y^4-2y^2+1+y^2}=\sqrt{y^4-y^2+1}$$

    برای مشاهدۀ پاسخ تشریحی این تمرین اینجا کلیک کنید.



نمایش دیدگاه ها (0 دیدگاه)

دیدگاه خود را ثبت کنید:

انتخاب تصویر ویرایش حذف
توجه! حداکثر حجم مجاز برای تصویر 500 کیلوبایت می باشد.