در اینجا به تمرینات مرتبط با مبحث تئوری و مثال ها (Theory and Examples) می پردازیم. هر چند در ادامه پاسخ تمرینات نیز آمده است اما شدیداً توصیه می کنیم ابتدا تلاش خود را برای حل تمرینات انجام دهید و سپس پاسخ هایتان را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید.

59. متغیر \(s\) با \(t\) متناسب است، و هنگامی که \(t=75\) باشد \(s=25\). هنگامی که \(s=60\) باشد \(t\) را تعیین کنید.
    
    
60. انرژی جنبشی (Kinetic energy): انرژی جنبشی \(K\) یک جرم (mass) با مربع سرعت سیر (Velocity) آن \(v\) متناسب است. اگر هنگامیکه \(v=18 \frac{\text{m}}{\text{sec}}\) است، \(K=12,960\) ژول (joules) باشد، وقتیکه \(v=10 \frac{\text{m}}{\text{sec}}\) است، \(K\) چقدر است؟
    
    
61. متغیرهای \(r\) و \(s\) به صورت معکوس متناسبند، و وقتیکه \(s=4\) باشد \(r=6\) است. هنگامیکه \(r=10\) باشد، \(s\) را تعیین کنید.
    
    
62. قانون بویل (Boyle’s Law): قانون بویل بیان می دارد که حجم \(V\) یک گاز در دمای ثابت، هرگاه که فشار \(P\) کاهش یابد، افزایش می یابد، بنابراین \(V\) و \(P\) به صورت معکوس متناسب هستند. اگر \(P=14.7 \frac{\text{lb}}{\text{in}^2}\) در حالیکه \(V=1000 \text{in}^3\) است، آن گاه وقتیکه \(P=23.4 \frac{\text{lb}}{\text{in}^2}\) باشد، \(V\) چقدر است؟
    
    
63. یک جعبه با بالای باز از یک تکه مقوای مستطیل شکل به ابعاد \(14 \text{ in.}\) در \(22 \text{ in.}\) با بریدن مربع های هم اندازه با ضلع \(x\) در هر گوشۀ این مقوا و سپس تا کردن اضلاع به شکلی که در تصویر می بینید، ساخته شده است. حجم \(V\) این جعبه را به شکل تابعی از \(x\) بنویسید.
    
    
    
64. شکل زیر مستطیلی را نشان می دهد که در یک مثلث قائم الزاویۀ متساوی الساقین (isosceles right triangle) که وتر (hypotenuse) آن \(2\) واحد طول دارد، محاط شده است.
    
    1. مختصات \(y\) از نقطۀ \(P\) را به لحاظ \(x\) بیان کنید. (شما ممکن است با نوشتن یک معادله برای خط \(AB\) کار را آغاز کنید.)
       
    2. مساحت این مستطیل را به لحاظ \(x\) بیان کنید.
       
    
    

در تمرینهای 65 و 66، هر معادله را با نمودارش مطابقت دهید. از یک ابزار ترسیم نمودار استفاده نکنید، و دلایل پاسخ هایتان را ذکر کنید.

65. 1. \(y=x^4\)
       
    2. \(y=x^7\)
       
    3. \(y=x^{10}\)
       
    
    
    
66. 1. \(y=5x\)
       
    2. \(y=5^x\)
       
    3. \(y=x^5\)
       
    
    

67. T
    1. نمودار تابع \(f(x)=\frac{x}{2}\) و \(g(x)=1+(\frac{4}{x})\) را با یکدیگر ترسیم کنید تا مقادیری از \(x\) را شناسایی کنید که در آنها: \(\frac{x}{2} \gt 1 + \frac{4}{x}\)
       
       
    2. یافته هایتان در بخش \(\text{a}\) را به صورت جبری تصدیق کنید.
       
    
    
68. T
    1. نمودار توابع \(f(x)=\frac{3}{x-1}\) و \(g(x)=\frac{2}{x+1}\) را با یکدیگر بکشید تا مقادیری از \(x\) را شناسایی کنید که: \(\frac{3}{x-1} \lt \frac{2}{x+1}\)
       
       
    2. یافته هایتان در بخش \(\text{a}\) را به صورت جبری تصدیق کنید.
       
    
    
69. برای اینکه یک منحنی پیرامون محور \(x\) متقارن (symmetric) باشد، نقطۀ \((x,y)\) باید روی این منحنی قرار بگیرد، فقط و اگر فقط نقطۀ \((x,-y)\) بر روی آن منحنی قرار گرفته باشد. توضیح دهید که چرا یک منحنی که پیرامون محور \(x\) متقارن می باشد، نمودار یک تابع نیست، به جز تابع \(y=0\).
    
    
70. سیصد کتاب به قیمت هر کدام \($40\) بفروش می رسند، نتیجه اش درآمدی برابر با \((300)($40)=$12,000\) می شود. به ازاء هر \($5\) دلار افزایش در قیمت، تعداد \(25\) کتاب کمتر به فروش می رسد. درآمد (revenue)، \(R\)، را به شکل تابعی از تعداد \(x\) از \($5\) افزایش بنویسید.
    
    
71. یک آغُل به شکل یک مثلث قائم الزاویۀ متساوی الساقین (isosceles right triangle) با ساقهایی به طول \(x\) فوت و وتری به طول \(h\) فوت ساخته شده است. اگر هزینۀ حصارکشی برای ساقها \(\frac{$5}{\text{ft}}\)، و برای وتر \(\frac{$10}{\text{ft}}\) باشد، مجموع هزینه ساخت و ساز، \(C\)، را به شکل تابعی از \(h\) بنویسید.
    
    
72. هزینه های صنعتی (Industrial costs): یک نیروگاه در کنار یک رودخانه با عرض \(800 \text{ ft}\) قرار گرفته است. برای کشیدن یک کابل از نیروگاه به محلی در شهر، \(2\) مایل پایینتر از رودخانه در سمت مقابل آن، هزینۀ کابل گذاری از این سو به آنسوی رودخانه \($180\) به ازاء هر فوت و به ازاء هر فوت در امتداد رودخانه در خشکی برابر با \($100\) می باشد.
    
    
    
    1. فرض کنید که این کابل از نیروگاه به نقطۀ \(Q\) در آنسوی رودخانه می رود که از نقطۀ \(P\) که مستقیماً در آنسوی رودخانه قرار دارد، \(x\) فوت فاصله دارد. تابعی بنویسید، \(C(x)\)، که هزینۀ کابل گذاری را به لحاظ فاصلۀ \(x\) بدهد.
       
       
    2. جدولی از مقادیر تولید کنید تا تعیین کنید آیا ارزانترین موقعیت برای مسافت \(Q\) از \(P\)، کمتر از \(2000 \text{ ft}\) است یا بیشتر از \(2000 \text{ ft}\).
       
    
    

پاسخ تمرینات

59. $$s=kt \Rightarrow 25 = k(75) \Rightarrow k=\frac{1}{3} \Rightarrow s=\frac{1}{3}t;60=\frac{1}{3}t \Rightarrow t=180$$
    
60. $$K=cv^2 \Rightarrow 12,960 = c(18)^2 \Rightarrow c=40 \Rightarrow K=40v^2; K=40(10)^2=4000 \text{ joules}$$
    
61. $$r=\frac{k}{s} \Rightarrow 6=\frac{k}{4} \Rightarrow k=24 \Rightarrow r=\frac{24}{s};10=\frac{24}{s} \Rightarrow s=\frac{12}{5}$$
    
62. $$P=\frac{k}{v} \Rightarrow 14.7 = \frac{k}{1000} \Rightarrow k=14700 \\
    \Rightarrow P=\frac{14700}{v};23.4=\frac{14700}{v} \Rightarrow \frac{24500}{39} \approx 628.2 \text{ in}^3$$
    
63. $$v=f(x)=x(14-2x)(22-2x)=4x^3-72x^2+308x;0 \lt x \lt 7$$
    
64. 1. اجازه دهید \(h\) نشان دهندۀ ارتفاع این مثلث باشد. از آنجا که این مثلث متساوی الساقین است:
       \(\bigl( \overline{AB} \bigr)^2 + \bigl( \overline{AB} \bigr)^2 = 2^2 \Rightarrow \overline{AB}=\sqrt{2}\)
       بنابراین، \(h^2+1^2=\bigl( \sqrt{2} \bigr)^2 \Rightarrow h=1\)
       \(\Leftarrow\) \(B\) در \((0,1)\) است. \(\Leftarrow\) شیب \(AB=-1\) است. \(\Leftarrow\) معادلۀ \(AB\) برابر است با
       \(y=f(x)=-x+1;x \in [0,1]\)
       
       
    2. \(A(x)=2xy=2x(-x+1)=-2x^2+2x;x \in [0,1]\)
       
    
    
65. 1. نمودار \(h\)، زیرا یک تابع زوج است و نسبت به نمودار \(g\) با سرعت کمتری افزایش می یابد.
       
    2. نمودار \(f\)، زیرا یک تابع فرد است.
       
    3. نمودار \(g\)، زیرا یک تابع زوج است و نسبت به نمودار \(h\) با سرعت بیشتری افزایش می یابد.
       
    
    
66. 1. نمودار \(f\)، زیرا خطی (linear) است.
       
    2. نمودار \(g\)، زیرا شامل \((0,1)\) است.
       
    3. نمودار \(h\)، زیرا یک تابع غیرخطیِ فرد (nonlinear odd) می باشد.
       
    
    
67. 1. از روی نمودار، \(\frac{x}{2} \gt 1 + \frac{4}{x} \Rightarrow x \in (-2,0) \cup (4,\infty)\)
       
       
       
    2. \(\frac{x}{2} \gt 1 + \frac{4}{x} \Rightarrow \frac{x}{2} - 1 - \frac{4}{x} \gt 0 \\
       x \gt 0: \frac{x}{2} - 1 - \frac{4}{x} \gt 0 \Rightarrow \frac{x^2-2x-8}{2x} \gt 0 \Rightarrow \frac{(x-4)(x+2)}{2x} \gt 0 \\
       \Rightarrow x \gt 4 \text{ since x is positive;}
       \)
       زیرا \(x\) مثبت است.
       
       \(x \lt 0: \frac{x}{2} - 1 - \frac{4}{x} \gt 0 \Rightarrow \frac{x^2-2x-8}{2x} \lt 0 \Rightarrow \frac{(x-4)(x+2)}{2x} \lt 0 \\
       \Rightarrow x \lt -2 \text{ since x is negative; } \)
       زیرا \(x\) منفی است.
       علامت های \((x-4)(x+2)\)
       بازه های پاسخ: \((-2,0) \cup (4,\infty)\)
       
    
    
68. 1. از روی نمودار داریم: \(\frac{3}{x-1} \lt \frac{2}{x+1} \Rightarrow x \in (-\infty,-5) \cup (-1,1)\)
       
       
       
    2. \(x \lt -1: \frac{3}{x-1} \lt \frac{2}{x+1} \Rightarrow \frac{3(x+1)}{(x-1)} \gt 2 \\
       \Rightarrow 3x + 3 \lt 2x - 2 \Rightarrow x \lt -5\)
       بنابراین، \(x \in (-\infty,-5)\) این نامعادله را حل می کند.
       \(-1 \lt x \lt 1: \frac{3}{x-1} \lt \frac{2}{x+1} \Rightarrow \frac{3(x+1)}{x-1} \lt 2\\
       \Rightarrow 3x+3 \gt 2x-2 \Rightarrow x \gt -5\)
       که در صورتیکه \(x \gt -1\) باشد، برقرار است. بنابراین، \(x \in (-1,1)\) این نامساوی را حل می کند.
       \(1 \lt x: \frac{3}{x-1} \lt \frac{2}{x+1} \Rightarrow 3x+3 \lt 2x-2 \Rightarrow x \lt -5\)
       که اگر \(1 \lt x\) باشد، هرگز برقرار نمی باشد. بنابراین هیچ پاسخی در اینجا وجود ندارد.
       در نتیجه \(x \in (-\infty,-5) \cup (-1,1)\)
       
       
    
    
69. یک منحنی که پیرامون محور \(x\) متقارن می باشد آزمون خط عمودی (vertical line test) را پاس نخواهد کرد زیرا نقاط \((x,y)\) و \((x,-y)\) بر روی یک خط عمودی یکسان قرار می گیرند. نمودار تابع \(y=f(x)=0\) برابر با محور \(x\) می باشد، یک خط عمودی که در آن یک مقدار واحد \(y\)، که برابر با \(0\) است، به ازاء هر مقدار \(x\) وجود دارد.
    
    
70. \(\text{price} = 40 + 5x, \text{quantity}=300-25x \Rightarrow R(x)=(40+5x)(300-25x)\)
    
    
71. \(x^2+x^2=h^2 \Rightarrow x=\frac{h}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}h}{2}\\
    \text{Cost}=5(2x)+10h \Rightarrow X(h)=10\bigl( \frac{\sqrt{2}h}{2} \bigr) + 10h=5h \bigl( \sqrt{2}+2 \bigr)\)
    
    
72. 1. توجه کنید که \(2 \text{ mi} = 10,560 \text{ ft}\)، بنابراین طول کابل زیر رودخانه برابر با \(\sqrt{800^2+x^2}\) فوت می باشد که هزینۀ هر فوت آن \($180\) است و طول کابل خشکی \((10,560-x)\) فوت به بهای هر فوت \($100\) می باشد. هزینه برابر است با: \(C(x)=180\sqrt{800^2+x^2}+100(10,560-x)\).
       
       
    2. \(C(0)=$1,200,000\\
       C(500) \approx $1,175,812\\
       C(1000) \approx $1,186,512\\
       C(1500) \approx $1,212,000\\
       C(2000) \approx $1,243,732\\
       C(2500) \approx $1,278,479\\
       C(3000) \approx $1,314,870\)
       مقادیر بالاتر از این همگی بزرگتر می باشند. آشکار می شود که ارزانترین موقعیت کمتر از \(2000\) فوت از نقطۀ \(P\) می باشد.