در اینجا به تمرینات مرتبط با مبحث توابع مرکب (Composite Functions) می پردازیم. هر چند در ادامه پاسخ تمرینات نیز آمده است اما شدیداً توصیه می کنیم ابتدا تلاش خود را برای حل تمرینات انجام دهید و سپس پاسخ هایتان را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید.

5. اگر \(f(x)=x+5\) و \(g(x)=x^2-3\)، موارد زیر را بیابید.
   
   1. $$f(g(0))$$
      
   2. $$g(f(0))$$
      
   3. $$f(g(x))$$
      
   4. $$g(f(x))$$
      
   5. $$f(f(-5))$$
      
   6. $$g(g(2))$$
      
   7. $$f(f(x))$$
      
   8. $$g(g(x))$$
      
   
   
6. اگر \(f(x)=x-1\) و \(g(x)=\frac{1}{(x+1)}\)، موارد زیر را بیابید.
   
   1. $$f(g(\frac{1}{2}))$$
      
   2. $$g(f(\frac{1}{2}))$$
      
   3. $$f(g(x))$$
      
   4. $$g(f(x))$$
      
   5. $$f(f(2))$$
      
   6. $$g(g(2))$$
      
   7. $$f(f(x))$$
      
   8. $$g(g(x))$$
      

در تمرینات \(\text{7-10}\)، فرمولی برای \(f \circ g \circ h\) بنویسید.

7. $$f(x)=x+1, g(x)=3x,h(x)=4-x$$
   
8. $$f(x)=3x+4, g(x)=2x-1, h(x)=x^2$$
   
9. $$f(x)=\sqrt{x+1}, g(x)=\frac{1}{x+4}, h(x)=\frac{1}{x}$$
   
10. $$f(x)=\frac{x+2}{3-x}, g(x)=\frac{x^2}{x^2+1}, h(x)=\sqrt{2-x}$$
    

فرض کنید \(f(x)=x-3\)، \(g(x)=\sqrt{x}\)، \(h(x)=x^3\)، و \(j(x)=2x\). هر کدام از توابع موجود در تمرینات \(11\) و \(12\) را به شکل ترکیبی شامل یک یا بیشتر از \(f\)، \(g\)، \(h\)، و \(j\) بنویسید.

11. 1. $$y=\sqrt{x}-3$$
       
    2. $$y=2\sqrt{x}$$
       
    3. $$y=x^{\frac{1}{4}}$$
       
    4. $$y=4x$$
       
    5. $$y=\sqrt{(x-3)^3}$$
       
    6. $$y=(2x-6)^3$$
       
    
    
12. 1. $$y=2x-3$$
       
    2. $$y=x^{\frac{3}{2}}$$
       
    3. $$y=x^9$$
       
    4. $$y=x-6$$
       
    5. $$y=2\sqrt{x-3}$$
       
    6. $$y=\sqrt{x^3-3}$$
       
    
    

13. جدول زیر را کامل کنید.
    
    
    
14. جدول زیر را کامل کنید.
    
    
15. هر عبارت را با استفاده از مقادیر داده شده در جدول ارزیابی کنید:
    
    
    
16. هر عبارت را با استفاده از این توابع ارزیابی کنید:
    
    
    

در تمرینات \(17\) و \(18\)، فرمول هایی برای \(f \circ g\) و \(g \circ f\) بنویسید و دامنه و بُرد هر تابع را بیابید.

17. $$f(x)=\sqrt{x+1}, g(x)=\frac{1}{x}$$
    
18. $$f(x)=x^2, g(x)=1-\sqrt{x}$$
    

19. فرض کنید \(f(x)=\frac{x}{x-2}\). تابع \(y=g(x)\) را بیابید، به نحویکه \((f \circ g)(x)=x\).
    
    
20. فرض کنید \(f(x)=2x^3-4\). تابع \(y=g(x)\) را بیابید، به نحویکه \((f \circ g)(x)=x+2\) .
    

پاسخ تمرینات

5. 1. \(2\)
      
   2. \(22\)
      
   3. \(x^2+2\)
      
   4. \((x+5)^2-3=x^2+10x+22\)
      
   5. \(5\)
      
   6. \(-2\)
      
   7. \(x+10\)
      
   8. \((x^2-3)^2-3=x^4-6x^2+6\)
      
   
   
6. 1. \(-\frac{1}{3}\)
      
   2. \(2\)
      
   3. \(\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{x+1}\)
      
   4. \(\frac{1}{x}\)
      
   5. \(0\)
      
   6. \(\frac{3}{4}\)
      
   7. \(x-2\)
      
   8. \(\frac{1}{\frac{1}{x+1}+1}=\frac{1}{\frac{x+2}{x+1}}=\frac{x+1}{x+2}\)
      
   
   
7. $$(f \circ g \circ h)(x) = f \biggl( g \bigl( h(x) \bigr) \biggr)= f(g(4-x)) \\
   = f(3(4-x))=f(12-3x)=(12-3x)+1=13-3x$$
   
8. $$(f \circ g \circ h)(x) = f \biggl( g \bigl( h(x) \bigr) \biggr)=f(g(x^2)) \\
   f(2(x^2)-1)=f(2x^2-1)=3(2x^2-1)+4=6x^2+1$$
   
9. $$(f \circ g \circ h)(x) = f \biggl( g \bigl( h(x) \bigr) \biggr)= f(g(\frac{1}{x}))\\
   =f(\frac{1}{\frac{1}{x}+4})=f(\frac{x}{1+4x})=\sqrt{\frac{x}{1+4x}+1}=\sqrt{\frac{5x+1}{1+4x}}$$
   
10. $$(f \circ g \circ h)(x) = f \biggl( g \bigl( h(x) \bigr) \biggr)=f(g(\sqrt{2-x}))\\
    =f(\frac{(\sqrt{2-x})^2}{(\sqrt{2-x})^2+1}) =f(\frac{2-x}{3-x})=\frac{\frac{2-x}{3-x}+2}{3-\frac{2-x}{3-x}}=\frac{8-3x}{7-2x}$$
    
11. 1. \((f \circ g)(x)\)
       
    2. \((j \circ g)(x)\)
       
    3. \((g \circ g)(x)\)
       
    4. \((j \circ j)(x)\)
       
    5. \((g \circ h \circ f)(x)\)
       
    6. \((h \circ j \circ f)(x)\)
       
    
    
12. 1. \((f \circ g)(x)\)
       
    2. \((g \circ h)(x)\)
       
    3. \((h \circ h)(x)\)
       
    4. \((f \circ f)(x)\)
       
    5. \((j \circ g \circ f)(x)\)
       
    6. \((g \circ f \circ h)(x)\)
       
    
    
13. 
14. 1. $$(f \circ g)(x)=|g(x)|=\frac{1}{|x-1|}$$
       
    2. $$(f \circ g)(x)= \frac{g(x)-1}{g(x)}= \frac{x}{x+1} \Rightarrow 1-\frac{1}{g(x)}=\frac{x}{x+1}\\
       \Rightarrow 1 - \frac{x}{x+1}= \frac{1}{g(x)} \Rightarrow \frac{1}{x+1} = \frac{1}{g(x)} $$
       بنابراین \(g(x)=x+1\)
       
    3. $$(f \circ g)(x)= \sqrt{g(x)} = |x| \Rightarrow g(x)=x^2$$
       
    4. $$(f \circ g)(x)= f (\sqrt{x})=|x| \Rightarrow f(x)=x^2$$
       (توجه کنید که دامنۀ این تابع مرکب \([0,\infty)\) می باشد.)
       
    
    جدول کامل در اینجا نشان داده شده است، توجه کنید که علامت قدرمطلق در بخش \(d\) اختیاری می باشد.
    
    
    
15. 1. \(f(g(-1))=f(1)=1\)
       
    2. \(g(f(0))=g(-2)=2\)
       
    3. \(f(f(-1))=f(0)=-2\)
       
    4. \(g(g(2))=g(0)=0\)
       
    5. \(g(f(-2))=g(1)=-1\)
       
    6. \(f(g(1))=f(-1)=0\)
       
    
    
16. 1. \(f(g(0))=f(-1)=2-(-1)=3\)، که در آن \(g(0)=0-1=-1\)
       
    2. \(g(f(3))=g(-1)=-(-1)=1\)، که در آن \(f(3)=2-3=-1\)
       
    3. \(g(g(-1))=g(1)=1-1=0\)، که در آن \(g(-1)=-(-1)=1\)
       
    4. \(f(f(2))=f(0)=2-0=2\)، که در آن \(f(2)=2-2=0\)
       
    5. \(g(f(0))=g(2)=2-1=1\)، که در آن \(f(0)=2-0=2\)
       
    6. \(f(g(\frac{1}{2}))=f(-\frac{1}{2})=2-(-\frac{1}{2})=\frac{5}{2}\)، که در آن \(g(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\)
       
    
    
17. 1. $$(f \circ g)(x) = f(g(x))=\sqrt{\frac{1}{x}+1}=\sqrt{\frac{1+x}{x}}\\
       (g \circ f)(x)= g(f(x))=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$$
       
    2. $$\text{Domain } (f \circ g): (-\infty,-1] \cup (0,\infty) \\
       \text{Domain } (g \circ f): (-1,\infty)$$
       
    3. $$\text{Range } (f \circ g): [0,1) \cup (1,\infty)\\
       \text{Range } (g \circ f): (0,\infty)$$
       
    
    
18. 1. $$(f \circ g)(x)=f(g(x))=1-2\sqrt{x}+x\\
       (g \circ f)(x)=g(f(x))=1-|x|$$
       
    2. $$\text{Domain } (f \circ g): [0,\infty)\\
       \text{Domain } (g \circ f): (-\infty,\infty)$$
       
    3. $$\text{Range } (f \circ g): (0,\infty)\\
       \text{Range } (g \circ f): (-\infty,1]$$
       
    
    
19. $$(f \circ g)(x)=x \Rightarrow f(g(x))=x \Rightarrow \frac{g(x)}{g(x)-2}=x \\
    \Rightarrow g(x)=(g(x)-2)x=x \cdot g(x)-2x \Rightarrow g(x)-x \cdot g(x)=-2x \\\Rightarrow g(x)=-\frac{2x}{1-x}=\frac{2x}{x-1}$$
    
20. $$(f \circ g)(x)=x+2 \Rightarrow f(g(x))=x+2 \Rightarrow 2(g(x))^3-4=x+2 \\
    \Rightarrow (g(x))^3 = \frac{x+6}{2} \Rightarrow g(x)= \sqrt[3]{\frac{x+6}{2}}$$